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Correction des DM chap 1 à 3 en Financial Markets année 2020-2021...

Description

Séance 1 Connaissances préliminaires et notions de probabilités et statistiques

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Exercice 1.1. Rappels de statistiques et de probabilités (1) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% On considère deux valeurs bancaires, ITCD et HT On désigne par r!A la rentabilité de ITCD et par r!B celle de HT. Alors que r!A peut prendre trois états: bull market ( r!A =30%), bear market ( r!A =10%), crise ( r!A =-10%), la rentabilité r!B ne peut prendre que deux états: bull market ( r!B = +25%) et crise ( r!B = −15%). Les probabilités jointes sont résumées par le tableau suivant:

r!A

r!B

crise

bear

bull

bull

0,1

0,1

0,4

crise

0,15

0,15

0,1

1. A partir de l’observation du tableau, vous attendez-vous à une corrélation positive ou négative entre les rentabilités des deux valeurs ? On constate que les probabilités que les deux sociétés soient simultanément dans un bull market ou en crise sont plus grandes que la probabilité d’événements opposés. On s’attend donc à une corrélation positive. 2.Calculez les lois marginales. Les lois marginales expriment les probabilités des résultats de l’une des sociétés indépendamment de l’autre société. On obtient ces probabilités en sommant le long des lignes et le long des colonnes. (cf. Fiche_1_correction.xls) Onglet I.4 (25%, 25% et 50% contre 60% et 40%)

r!A

r!B

bull

Crise 0.1

bear 0.1

bull 0.4

0.25

0.6

crise

0.15

0.15

0.1

-0.15

0.4

-0.1

0.1

0.3

0.25

0.25

0.5

P(rA)

C1 - Public N atix is

P(rB)

3. Calculez les espérances de rentabilité des deux valeurs. (cf. Fiche_1_correction.xls) Onglet I.4 E(RA)=0.25*-0.1+0.25*0.1+0.3*0.5=0.15 E(RB)=0.6*0.25+0.4*(-0.15)=0.09 15.00% 9.00%

E(RA) E(RB)

4. Calculez les variances et écarts types des deux valeurs. (cf. Fiche_1_correction.xls) Onglet I.4 V(RA)=0.25*(-0.1-0.15)^2+0.25*(0.1-0.15)^2+0.3*(0.5-0.15)^2=0.0530 Sigma(RA)=0.2302 V(RB)=0.6*(0.25-0.09)^2+0.4*(-0.15-0.09)^2=0.0384 Sigma(RB)=0.1959

V(RA) V(RB) sigma(RA) sigma(RB)

0.0275 0.0384 0.1658 0.1960

5. Calculez la covariance. (cf. Fiche_1_correction.xls) Onglet I.4 Cov(RA,RB)=0.1*(0.25-0.15)*(0.25-0.09) + … +0.1*(0.3-0.15)*(-0.15-0.09) = 0.0120 Cov(RA,RB) 0.0120

6. Calculez la corrélation. (cf. Fiche_1_correction.xls) Onglet I.4 ~ ~ cov Ri , R j ~ ~ r Ri , R j = ~ ~ s Ri ´ s R j

(

)

( ) ( ) ( )

Corr(RA,RB) 0.369274473

7. Établissez la probabilité conditionnelle de r!A sachant que HT est dans un bull market. (cf. Fiche_1_correction.xls) Onglet I.4 P(RA|B=bull) Crise Bear

bull

0.1667

0.6667

0.1667

P(RA(Crise)|B=bull)=0.1/(0.1+0.1+0.4)= 0.1667 P(RA(Bear)|B=bull)=0.1/(0.1+0.1+0.4)= 0.1667 P(RA(Bull)|B=bull)=0.4/(0.1+0.1+0.4)= 0.6667

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8. Calculez l’espérance conditionnelle de r!A sachant que HT est dans un bull market. (cf. Fiche_1_correction.xls) Onglet I.4 E(RA|B=bull)=0.1667*(-0.1)+0.1667*(0.1)+0.6667*(0.3) =0.20

9. Calculez la variance et la volatilité conditionnelle de r!A sachant que HT est dans un bull market. (cf. Fiche_1_correction.xls) Onglet I.4 V((RA|B=bull) =0.1667*(-0.1-0.2)^2+0.1667*(0.1-0.2)^2+0.6667*(0.3-0.2)^2 =0.0233

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V(RA|B=bull)

0.0233

sigma(RA|B=bull)

0.1528

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Exercice 1.2 : Rappels de statistiques et de probabilités (2) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Le département quantitatif vous transmet les informations suivantes concernant deux actions liées au même secteur de l’exploitation forestière. Les rentabilités et les probabilités de ces deux sociétés sont les suivantes:

r!A

-15%

15%

30%

pA

30%

30%

40%

r!B

-16,22%

25%

pB

30%

70%

1. Calculez les espérances et variances des deux sociétés. Onglet I.5 E(RA)=0.3*-0.15+0.3*0.15+0.4*0.3=0.1200 E(RB)=0.3*-0.1622+0.7*(0.25)=0.1263 E(RA) E(RB)

12.00% 12.63%

V(RA)=0.3*(-0.15-0.12)^2+0.3*(0.15-0.12)^2+0.4*(0.3-0.12)^2 = 0.0351 V(RB)=0.3*(-0.1622-0.1263)^2+0.7*(0.25-0.1263)^2 = 0.0357 V(RA) 0.0351 V(RB) 0.0357 sigma(RA) 0.1873 sigma(RB) 0.1889

2. Votre fonction d’utilité est du type moyenne-variance : U (r! ) = E (r! ) -

1 A ×V (r! ) 2

A quoi correspond intuitivement le coefficient A ? Laquelle de ces deux actions préférez vous ? (cf. Fiche_1_correction.xls) Onglet I.5 « A » représente aversion pour le risque (variance) Les espérances de rentabilité ainsi que les mesures de variabilité des deux projets sont identiques. Pourtant le profile de risque est bien différent. Pour une même espérance de rendement choisir variance la plus faible (critère esp-var – cf. rappel).

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3. Calculez la skewness, Sk, et la kurtosis, Ku, (cœfficient d’asymétrie et cœfficient d’aplatissement) des deux actions. Que concluez vous quand au risque de ces deux actions ? Rappel :

é æ r! - μ ö3 ù Sk (r!) = E ê ç ÷ú ëê è σ ø ûú et

éæ r! - μ ö 4 ù Ku (r! ) = E êç ÷ ú ëêè σ ø ûú

E(RA) E(RB) V(RA) V(RB) sigma(RA) sigma(RB) Sk(RA)

12.00% 12.63% 0.0351 0.0357 0.1873 0.1889 -0.5420

Sk(RB) Ku(RA)

-0.87287 1.635108

Ku(RB)

1.761905

(cf. Fiche_1_correction.xls) Onglet I.5 Ces deux projets ont une skewness négative signifiant qu’il y a des valeurs négatives qui font pencher la distribution vers la gauche. Le deuxième projet a une skewness plus négative et une kurtosis plus forte que le premier projet. >> projet A moins risqué (mais dépend fct utilité) 4. Quelles sont à votre avis les préférences pour la skewness et la kurtosis ? De manière générale, les investisseurs aiment la skewness positive, mais n’aiment pas la kurtosis élevée.

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5. Proposez une amélioration de la fonction d’utilité tenant compte de ces moments d’ordre supérieur.

1 U (r! ) = E (r! ) - A1 ×V (r! ) + A2 × Sk (!r ) - A3 × Ku(!r) 2 Avec A1 A2 A3 positifs Rappel :

é æ r! - μ ö3 ù Sk (r!) = E ê ç ÷ú êë è σ ø úû et

éæ r! - μ ö 4 ù Ku (r! ) = E êç ÷ ú êëè σ ø úû

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Exercice 1.3. Ventes à découvert %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Rq2: Rappel notion de vente à découvert (position courte/« Short »). C’est le fait de vendre un titre que l’on ne possède pas : le produit de la vente est alors ajouté pour acheter d’autres actifs. Dans le cadre d’un portefeuille formé de 2 titres A et B, on pourrait par exemple, vendre à découvert un actif A (x serait alors négatif) pour acheter plus que 100% de sa richesse initiale dans le deuxième actif B. 1. Vous gérer un fonds Long-Short et vous souhaitez vendre à découvert 100 actions de la société Keep Quiet à 73€ par titre. Le dépôt en garantie initial est de 55%, combien de collatéral devez-vous investir ? Collatéral = Dépôt en garantie initial x Nb_action x Prix_action = 0.55 x 100 x 73 = 4015 € 4015

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2. Supposons que le cours de la société chute à 65€. Quel est votre pourcentage de marge ? Si la marge de maintenance est de 30%, que se passe-t-il ? Pourcentage de Marge= [ (nb_action x ancien_prix) + collatéral – (nb_action x nouveau_prix)] / (nb_action x nouveau_prix) = [ ( 100 x 73) + 4015 - ( 100 x 65)] / (100 x 65)=74,08% 74,08% Si la marge de maintenance est 30% >>Pourcentage de Marge (74.08%)> marge de maintenance (30%) >> Pas d’appel de marge rien 3. Supposons que le cours rebondisse ensuite à 80€. Quel est votre pourcentage de marge ? Pourcentage de Marge= [ (nb_action x ancien_prix) + collatéral – (nb_action x nouveau_prix)] / (nb_action x nouveau_prix) = [ ( 100 x 73) + 4015 - ( 100 x 80)] / (100 x 80)=41,44% 41,44% Si la marge de maintenance est 30% >>Pourcentage de Marge (41.44%)> marge de maintenance (30%) >> Pas d’appel de marge 4. A quel prix devrez-vous répondre à un appel de marge ? Prix limite appel de marge = { [ (nb_action x ancien_prix) + collatéral ] / (nb_action) } / (marge de maintenance + 1 ) = { [ (100 x 73) + 4015 ] / (100) } / ( 0.3+ 1 ) = 87.03 € 87,03 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Faire les exercices supplémentaires : S1.1 et S1.2 (à la fin de la brochure) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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Séances 2 et 3 Espérance d’utilité, critère moyenne-variance et dominance stochastique

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Exercice 2-3.1. Espérance d’utilité et équivalent certain %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1. Un agent rationnel au sens de von Neumann – Morgenstern est indifférent entre les loteries A et B ci-dessous. Préfère-t-il A à C ou le contraire ? Loterie A ≡ (0, ½ ; 20, 1/3 ; 50, 1/6) Loterie B ≡ (0, 2/3 ; 50, 1/3) Loterie C ≡ (0, ¼ ; 20, ¾) On considèrera que u(0) = 0 et on posera de façon arbitraire – afin de résoudre ce problème – que u(50) = 20. On a supposé que : u(0) = 0 et u(50) = 20 On sait que : A ~ B On en déduit que : 1/3 . u(20) + 1/6 . u(50) = 1/3 . u(50) et donc que u(20) = 10 D’où : u(C) = 7,5 Et : u(A) = 20/3 Ainsi C ! A 2. Un individu dont les préférences satisfont les axiomes de von Neumann – Morgenstern préfère strictement la loterie A ≡ (1000, 10% ; 100, 70% ; 0, 20%) à la loterie B ≡ (500, 10% ; 100, 90%). Par ailleurs, il lui est indifférent de recevoir 200 euros avec certitude ou de jouer à la loterie (1000, 62,5% ; 0, 37,5%). Laquelle des loteries C et D ci-dessous préférera-t-il ? Loterie C ≡ (500, 90% ; 0 ; 10%) Loterie D ≡ (500, 80% ; 100, 20%) On suppose que u(0) = 0 et u(1000) = 1 de façon arbitraire. On sait que A ! B D’où : 0,1 + 0,7 . u(100) > 0,1. u(500) + 0,9 . u(100) Et : 1 > u(500) + 2. u(100) Par ailleurs, on sait que : u(200) = 5/8 Je dois comparer les loteries C et D c’est à dire 0,9 . u(500) vs 0,8 . u(500) + 0,2 . u(100) 0,1 . u(500) vs 0,2 . u(100) u(500) vs 2 . u(100)

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soit 2 . u(500) vs 2 . u(100) + u(500) Or on sait que u(500) + 2. u(100) < 1 Il faut donc savoir si 2 . u(500) est supérieur ou inférieur à 1 On a calculé précédemment que u(200) = 5/8. Si on suppose une fonction d’utilité croissante avec la richesse u(500) > 5/8 et 2. u(500) > 1 Je peux donc conclure que C ! D %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Exercice 2-3.2. Utilité quadratique et approche moyenne/variance %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1. Soit la fonction d’utilité suivante, où l’utilité dépend de la richesse :

b U (W ) = W - W 2 . 2 Supposons que la richesse est liée à la richesse initiale et au rendement d’un actif risqué de la façon suivante :

W = W0 (1 + R) . 1. Montrez qu’on peut réécrire la fonction d’utilité pour l’exprimer en fonction du rendement de la façon suivante :

U (R ) = k 0 + k1R -

k2 2 R 2

Solution :

b b U (W ) = W0 (1 + R ) - (W0 (1 + R )) 2 = W0 +W0 R - (W0 2 + 2W0 2R +W0 2R 2 ) 2 2 b b = (W0 - W0 2 ) + (W0 - bW0 2 ) R - ( W0 2 ) R2 2 2

2. Posez E ( R) = μ et E[( R - E ( R))2 ] = σ 2 (verifier que prop de variance bien intégrées) Trouvez une expression de l’espérance d’utilité ( E [U ( R)]) à partir de μ et σ 2 seulement. Solution :

E (U (W )) = k0 + k1E ( R ) E (U (W )) = k0 + k1 μ -

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k2 k E ( R 2 ) = k0 + k1 E ( R) - 2 ( (Var ( R ) + ( E ( R))2 ) 2 2

k2 2 (σ + μ 2 ) 2

3. Trouvez la pente d’une courbe d’indifférence dans le plan rendement espéré/écart type. Expliquez le signe de cette pente. Solution : >> on est sur courbe iso utilité donc dE(U(W))=0 on a donc : dE (U (W )) = 0 = k1 d μ - k2 σdσ - k2 μdμ dμ k 2σ Þ = dσ k1 - k2 μ Dans la mesure où l’utilité marginale de la richesse est encore positive ( k1 > k2 μ), les courbes d’indifférence auront une pente positive dans le plan rendement espéré/écart type. Avec σ sur l’axe des abscisses, les courbes d’indifférence deviennent plates lorsque σ = 0, et leur pente augmente avec la valeur de σ . Donc, nous aurons des courbes d’indifférence convexes dans le plan espéré/écart type

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Exercice 2-3.3. Dominance stochastique et critère de choix moyenne/variance %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Considérons les rendements de deux portefeuilles « équilibré » et « dynamique » et leurs probabilités selon les états de la nature de l’économie.

États de la nature

Équilibré

Récession profonde3% Récession 4% Redémarrage 5% Croissance 6% Euphorie 7%

Dynamique Probabilité 3% 5% 7% 9% 11%

0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

1. Calculez la moyenne, la variance, l’écart type, le skewness et la kurtosis des rentabilités de ces deux actifs. Commentez. Etats de la nature

A

B

Probabilité

récession profonde récession redémarrage croissance euphorie

3% 4% 5% 6% 7%

3% 5% 7% 9% 11%

0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

E(.) V(.) sigma(.)

5.00% 0.0200% 1.41%

7.00% 0.0800% 2.83%

A (Xi-Exi)^2 0.0004 0.0001 0 1E-04 0.0004

E(.) V(.) sigma(.) S(.) K(.)

B

A (Xi-Exi)^3 -8E-06 -1E-06 0 1E-06 0.000008 -4.2E-22

0.0016 0.0004 0 0.0004 0.0016

A 5.00% 0.0200% 1.41% 0.0000 1.7000

-6.4E-05 -8E-06 0 8E-06 0.000064 -1.7E-20

B

A (Xi-Exi)^4 1.6E-07 1E-08 0 1E-08 1.6E-07 6.8E-08

B

0.00000256 0.00000016 0 0.00000016 0.00000256 0.000001088

B 7.00% 0.0800% 2.83% 0.0000 1.7000

(cf. Fiche_2_correction.xls) Onglet II.10 : probable non-normalité (Sk et Ku) (distribution equi pondérée ! )

C1 - Public N atix is

1 A ×V (r! ) 2 Le département commercial de votre société de gestion vous communique les cœfficients d’aversion pour le risque (A) de 3 de vos clients privés : 2. Considérons une fonction d’utilité du type moyenne-variance : U (r! ) = E (r! ) -

M. Pink A = 66,67

M. Blonde A = 10

M. Red A = 90

Quel portefeuille conseillez-vous à chacun de vos clients ? Commentez. (cf. Fiche_2_correction.xls) Onglet II.10 Utility A 4.33% 4.90% 4.10%

Pink indifférent Blonde préfère B Red préfère A

C1 - Public N atix is

B 4.33% 6.60% 3.40%

coeff risque A1 A2 A3

aversion 66.66667 10 90

3. Représentez les différentes courbes d’indifférence pour chaque client dans un plan rendement espéré/écart type où vous ferez figurer les coordonnées des deux portefeuilles. Cf. avant (cf. Fiche_2_correction.xls) Onglet II.10 Chart U sigma(.) 0.00% 0.01% 0.02% 0.03% 0.04% 0.05% 0.06% 0.07% 0.08% 0.09% 0.10%

0.00% 1.00% 1.41% 1.73% 2.00% 2.24% 2.45% 2.65% 2.83% 3.00% 3.16%

9%

I 4.33% 4.67% 5.00% 5.33% 5.67% 6.00% 6.33% 6.67% 7.00% 7.33% 7.67%

4.90% II(a) 4.90% 4.95% 5.00% 5.05% 5.10% 5.15% 5.20% 5.25% 5.30% 5.35% 5.40%

6.60% II(b) 6.60% 6.65% 6.70% 6.75% 6.80% 6.85% 6.90% 6.95% 7.00% 7.05% 7.10%

4.10% III(b) 4.10% 4.55% 5.00% 5.45% 5.90% 6.35% 6.80% 7.25% 7.70% 8.15% 8.60%

3.40% III(a) 3.40% 3.85% 4.30% 4.75% 5.20% 5.65% 6.10% 6.55% 7.00% 7.45% 7.90%

3.00%

3.50%

I II(a) II(b)

8%

III(b) III(a)

7%

6%

5%

4%

3% 0.00%

0.50%

Pink indifférent Blonde préfère B Red préfère A

C1 - Public N atix is

1.00%

1.50%

2.00%

2.50%

4. Classez ces deux portefeuilles selon les critères de dominance stochastique à l’ordre 1 puis à l’ordre 2. Que constatez-vous ? Expliquez ? return 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11%

Prob(A) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0 0 0 0

Prob(B) 0.2 0 0.2 0 0.2 0 0.2 0 0.2

G(A) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1 1 1

F(B) 0.2 0.2 0.4 0.4 0.6 0.6 0.8 0.8 1

F-G 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.4 -0.2 -0.2 0

(cf. Fiche_2_correction.xls) Onglet II.10 : B domine Ici la non-normalité fait que le critère MV n’est pas équivalent à celui de la DS 5. Considérez à présent les deux portefeuilles suivants : Etats de la nature

Equilibré+

Récession profonde3% Récession 4% Redémarrage 5% Croissance 6% Euphorie 7%

Dynamique+

Probabilité

3% 5% 7% 9% 11%

0,03 0,22 0,5 0,22 0,03

Reprenez les questions 1 à 4 et commentez. (cf. Fiche_2_correction.xls) Onglet II.10 (2) Ici plus proche de la normalité Critère MV équivalent au critère DS Etats de la nature

A

B

Probabilité

récession profonde récession Redémarrage Croissance Euphorie

3% 4% 5% 6% 7%

3% 5% 7% 9% 11%

0.03 0.22 0.5 0.22 0.03 1

E(.) V(.) sigma(.) S(.) K(.)

5.00% 0.0068% 0.82% 0.0000 3.0277

7.00% 0.0272% 1.65% 0.0000 3.0277

Ici plus proche de la normalité

C1 - Public N atix is

Somme(FG) 0 -0.2 -0.4 -0.8 -1.2 -1.6 -1.8 -2 -2

Utility A 4.77% 4.97% 4.69%

B 6.09% 6.86% 5.78%

coeff risque A1 A2 A3

aversion 66.66667 10 90

Préfèrent tous B

Prendre le graph précèdent et replacer A et B return 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11%

Prob(A) 0.03 0.22 0.5 0.22 0.03 0 0 0 0

Prob(B) 0.03 0 0.22 0 0.5 0 0.22 0 0.03

G(A) 0.03 0.25 0.75 0.97 1 1 1 1 1

Critère MV équivalent au critère DS

C1 - Public N atix is

F(B) 0.03 0.03 0.25 0.25 0.75 0.75 0.97 0.97 1

F-G 0 -0.22 -0.5 -0.72 -0.25 -0.25 -0.03 -0.03 0

Somme(FG) 0 -0.22 -0.72 -1.44 -1.69 -1.94 -1.97 -2 -2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Exercice 2-3.4. Primes de risque %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Considérons un étudiant dont le comportement face au risque peut être représenté par une fonction d’utilité logarithmique . Sa richesse, une chambre de bonne dans le quartier latin, s’élève à 200000€. Sa banque suisse lui conseille de vendre son bien immobilier et lui propose deux types de placements pour la somme placée : (1) Fonds à formule : • 50% de gagner 14000€ • 50% de perdre 14000€ (2) Fonds de hedge funds : • 80% de gagner 25000€ • 20% de perdre 50000€ 1. Calculez et comparez les primes de risque de Markowitz et de Arrow-Pratt de cet étudiant pour le fonds à formule . 2. Effectuez de même avec le fonds de hedge funds. Commentez.

Rappel : La prime de risque de Arrow-Pratt se calcule de la façon suivante :

U¢¢ (W! ) 1 π = - σW2! U ¢(W! ) 2 Avec U(W)=ln(W) -U’’(W)/U’(W)=1/W La prime de risque de Markowitz est définie telle que :

! )ù = U é E(W ! )- ρù E ëéU (W û ë û ou encore

ρ = richesse espérée - équivalent certain de la richesse (cf. Fiche_3_correction.xls) Onglet III.11

C1 - Public N atix is

Ces résultats illustrent la différence d’aversion pour le risque pour les risques (relativement) petits et actuariellement neutres du fonds à formule qui correspondent davantage aux hypothèses de Pratt-Arrow et pour les risques larges ou actuariellement non neutres (fonds de hedge)...