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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

SÉRIES I NTRODUCTION AUX SÉRIES

1 1.1

SÉRIE , SOMME , PREMIE RS EXEMPLES

Définition (Série, sommes partielles) Soit (u n )n∈N ∈ CN . Pour tout n ∈ N, on pose : X partielle). La suite (Un )n∈N est appelée la série de terme général un et notée un .

Un =

n X

uk

(nème somme

k=0

X Une série n’est donc jamais qu’une suite, et dire que la série u n converge (resp. diverge) revient X simplement à dire que la suite (Un )n∈N des sommes partielles de (u n )n∈N converge (resp. diverge). La nature de la série u n est par définition sa convergence ou sa divergence. Mais alors si les séries ne sont que des suites, pourquoi se doter d’une théorie des séries ? La théorie des suites n’est-elle pas suffisante ? La réponse est non. — Grande question de la théorie des suites : À quelle condition la suite (u n )n∈N est-elle convergente ? X — Grande question de la théorie des séries : À quelle condition sur la S UITE (u n )n∈N la SÉRIE u n est-elle convergente ? Cette question spécifique appelle des résultats spécifiques qui sont l’objet du chapitre. X Il est facile et utile de résumer ce chapitre par quelques intuitions simples. D’abord, si la série u n converge, i.e. si S − S = 0. De fait, si on s’approche la suite (Un )n∈N converge vers un certain S ∈ C, alors : u n = Un − Un−1 −→ n→+∞ de S en additionnant u0 , u1 , u2 . . . , il paraît naturel qu’on finisse par ne plus ajouter grand-chose à mesure que n grandit. LA RÉCIPROQU E EST ARCHI -FAUS SE en revanche, il ne suffit pas que (u n )n∈N tende vers 0 pour que (Un )n∈N converge. Par n X1 X 1 1 exemple : lim ∼ ln n −→ +∞, de sorte que la série diverge. = 0, mais nous savons bien que : n→+∞ n→+∞ n k n→+∞ n k=1 X La convergence de la S ÉRIE u n repose schématiquement sur deux caractéristiques de la SUITE (u n )n∈N : — la taille de u n lorsque n tend vers +∞, — l’importance des compensations mutuelles que les nombres u0 , u1 , u2 . . . occasionnent quand on les additionne. Le cas des suites POSITIVES nous occupera un certain temps. S’ils sont positifs, les réels uX 0 , u 1 , u 2 . . . s’empilent les uns sur les autres sans jamais se compenser quand on les additionne et la convergence de la série u n ne dépend que de la taille asymptotique de (u n )n∈N . Le cas des suites réelles qui changent régulièrement de signe — ou plus généralement des suites complexesX — est plus délicat et plus diversifié. Nous nous intéresserons au moins de près aux séries alternées, i.e. aux séries de la forme (−1)n an dans lesquelles la suite (an )n∈N est de signe constant. C’est le cas le plus simple de compensations des termes sommés entre eux, dont voici un premier exemple. Exemple

Les séries

X 1 n2

et

X (−1)n−1 n

convergent.

n n X X 1 (−1)k−1 . La suite (Un )n∈N∗ est et V = n 2 k k k=1 k=1 clairement croissante, donc pour montrer qu’elle converge, il nous reste à montrer qu’elle est majorée. Or pour    n  n n X X X 1 1 1 1 1 tout n ¾ 2 : Un = 1 + = 1 + 1 − ¶ 2. Archi-classique ! − = 1 + ¶ 1 + n k(k − 1) k2 k−1 k k=2 k=2 k=2 X1 La suite (Vn )n∈N∗ ressemble quant à elle de loin à la série qui diverge, mais ses termes se compensent en n  n  n 2n (−1)k−1 1 1 1 partie les uns les autres. En effet, pour tout n ∈ N∗ : V2n = = = − . k 2k 2 k( 2 k − 1) 2k − 1 k=1 k=1 k=1

Démonstration

Pour tout n ∈ N∗ , posons :

Un =

X 1

X

X

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Cette nouvelle expression montre que (V2n )n∈N∗ est croissante, mais aussi majorée donc convergente car pour n n X X 1 1 U tout n ∈ N∗ : V2n = ¶ = n ¶ 1. La suite (V2n+1 )n∈N converge alors vers la même 2 2 2 k( 2 k − 1) 2k k=1 k=1 1 1 = 0. Conclusion : (Vn )n∈N∗ converge. et lim limite car pour tout n ∈ N∗ : V2n+1 = V2n + n→+∞ 2n + 1 2n + 1 n (−1) Retenez bien ceci. Les réels se sont compensés de proche en proche et nous ont permis de passer d’une n 1 1 ≈ . somme de termes A SSEZ GROS en valeur absolue à des termes BEAUCOUP PLUS PETITS : 4n2 2n(2n − 1) La compensation a favorisé la convergence.

Définition (Somme d’une série convergente, restes) Soit (u n )n∈N ∈ CN . On suppose que la série +∞ n X X • La limite finie : lim u k est notée u k et appelée la somme de la série. n→+∞

k=0

• Pour tout n ∈ N, si on pose :

k=0 n X

+∞ X

Rn = k=0

uk −

+∞ X

uk

uk =

k=0

(nème reste de la série),

X

u n converge.

alors :

k=n+1

lim R n = 0.

n→+∞

Comme dans le cas des suites, les premiers termes d’une série n’ont pas d’influence sur sa nature, i.e. sur sa convergence ou sa divergence. Ils affectent en revanche la valeur de sa somme lorsqu’elle est convergente. Vous en serez peut-être déçus, mais le but de la théorie des séries n’est pas tant de calculer les sommes de séries convergentes que de savoir tracer une frontière nette entre le monde des séries convergentes et le monde des séries divergentes.

Définition-théorème (Série géométrique) Soit z ∈ C. La série +∞ X 1 zn = si et seulement si : |z| < 1. Dans ce cas : . 1 − z n=0

Démonstration

Pour tout n ∈ N :

X

  1 − z n+1 zk = 1−z  k=0 n+1 n X

z n , dite série géométrique de raison z, est convergente

si :

z 6= 1

si :

z = 1.

Le résultat découle donc du comportement asymptotique bien connu de la SU ITE géométrique (z n )n∈N . Exemple

La série

X1

, dite série harmonique, diverge — ET POU RTANT :

n Démonstration

lim

n→+∞



1 = 0. n

2n 2n X1 X X 1 n 1 1 = , or si la série était convergente = ¾ n 2n 2 k 2n k=n+1 k=n+1 n 2n 2n X 1 X1 X1 = − −→ S − S = 0 — contradiction ! k k=1 k k=1 k n→+∞ k=n+1

• Preuve n◦ 1 : Pour tout n ∈ N∗ : de somme S, on aurait :

• Preuve n◦ 2 : Pour tout x > −1 : ln(1 + x) ¶ x, donc pour tout n ∈ N∗ :   X n n n  X  1 X 1 ln 1 + ¾ = et on conclut par minoration. ln(k+1)−ln k = ln(n+1) −→ +∞, n→+∞ k k=1 k k=1 k=1

1.2

D IVERGE NCE GROSSIÈ RE

Théorème (Condition nécessaire de convergence d’une série) Soit (u n )n∈N ∈ CN . X Si la série u n converge : lim u n = 0. n→+∞

Démonstration

Si

X

u n converge, disons vers S :

un =

n X k=0

2

uk −

n−1 X

uk

k=0

−→ S − S = 0.

n→+∞



Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

N (Divergence grossière) Soit X (u n )n∈N ∈ C . On dit que la série N ’admet PA S 0 pour limite. Dans ce cas, u n diverge « tout court ».

Définition

X

u n diverge grossièrement si (u n )n∈N

X La réciproque de l’implication : u n converge =⇒ lim u n = 0 est fausse en général. Affir$ Attention ! n→+∞ mer le contraire, c’est avouer qu’on Xn’a ABSOLUMENT RIEN COMPRIS à la théorie des séries. S’il suffisait de montrer que : u n converge, ce chapitre spécifique n’existerait pas ! En résumé : lim u n = 0 pour montrer que n→+∞

Une somme infinie de quantités qui tendent vers 0 peut ne pas converger.

Exemple

1.3

Répétons-le, la série harmonique

X1 n

diverge, ET POU RTANT :

lim

n→+∞

1 = 0. n

OPÉRATIONS SUR LE S SÉ RIES

Théorème (Opérations sur les séries) Soient (u n )n∈N , (vn )n∈N ∈ CN . X X • Pour tout λ ∈ C∗ , les séries u n et (λu n ) ont même nature. X X X • Si les séries u n et vn convergent, la série (u n + vn ) converge aussi. X X X vn diverge, la série (u n + vn ) diverge. • Si la série u n converge alors que la série X X X • La série u n converge si et seulement si les séries Re(u n ) et Im(u n ) convergent. Démonstration

Le résultat est vrai pour les suites, et justement les séries sont des suites.



$ Attention !

X X X • Si les séries u n et vn divergent toutes les deux, on ne peut rien dire en général de (u n + vn ). Par exemple, la X1 X1 X1 X2 X1 X1 série = 0 converge. diverge, donc la série : + = aussi, mais la série : − n n n n n n X X X • Si les séries u n et vn convergent, on ne peut rien dire en général de la série u n vn . Nous verrons bientôt que X (−1)n X  (−1)n (−1)n  X 1 la série p × p diverge. converge, et pourtant la série : = p n n n n

1.4

COMPARAISON SÉRIE -INTÉGRALE ET SÉ RIES DE RIEMANN

Nous avons déjà pratiqué pas mal les comparaisons série-intégrale au chapitre « Analyse asymptotique de niveau 2 », qui Zn n X f (k) à l’intégrale comparent typiquement la somme f (t) dt pour une fonction MONOTONE f . 0

k=0

Définition-théorème (Séries de Riemann, fonction ζ) Soit α ∈ R. La série +∞ X 1 si et seulement si : α > 1. On pose dans ce cas : ζ(α) = . nα n=1 Nous savions déjà que la série harmonique

X 1 , dite série de Riemann, converge nα

X1

diverge, nous apprenons ici qu’elle fait office de seuil dans le cadre des n séries de Riemann. « Au-delà », convergence — « en deçà », divergence. La fonction ζ est une fonction usuelle majeure des mathématiques intimement liée à la répartition des nombres premiers — en dépit des apparences ! 3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Démonstration Pour α ¶ 0 :

1

lim

X 1 diverge (grossièrement). Nous supposerons nα 6 1 = 0 donc la série est dans ce cas décroissante sur R+∗ , donc pour tous k ∈ N∗ et désormais : α > 0. La fonction t 7−→ α t Z k+1 dt 1 1 1 1 1 ¶ ¶ α ¶ α , puis par croissance de l’intégrale : t ∈ [k, k + 1] : . α ¶ α α t t (k + 1) k k α k (k + 1) Z n+1 n n Z k+1 X X (n + 1)1−α − 1 1 dt dt ∗ = = • Cas où α ∈ ]0, 1[ : Pour tout n ∈ N : , or : ¾ tα tα 1−α kα k=1 1 k=1 k n X X 1 1 = +∞ par minoration. La série 1 − α > 0, donc : lim diverge. α α n→+∞ k n k=1 Z n+1 n n Z k+1 X 1 X dt dt ∗ = ln(n + 1), donc par minoration : • Cas où α = 1 : Pour tout n ∈ N : = ¾ α tX t k n 1 X k=1 k k=1 1 1 lim diverge. = +∞ — nouvelle preuve que la série harmonique n→+∞ n k k=1  n  n n+1 X 1 X X 1 1 1 ∗ = • Cas où α > 1 : Pour tout n ∈ N : − ¾ 0, donc la suite kα kα (n + 1)α kα k=1 k=1 k=1 n∈N∗ est croissante. Pour montrer qu’elle converge, d’après le théorème de la limite monotone, il nous reste à montrer qu’elle est majorée. Or c’est le cas car pour tout n ∈ N∗ , sachant que α − 1 > 0 : Z Zn n n−1 n−1 X X k+1 dt X 1 1 1 1 1 1 − ¶ 1+ = 1+ .  ¶ 1 + = 1 + = 1 + α−1 α α α − 1 (α − 1)n t α −1 (k + 1)α kα t 1 k=1 k k=1

Exemple

La série

X

n→+∞

nα

k=1

1 diverge. n ln n

1 sur ]1, +∞[, pour tout n ¾ 2 : Démonstration Par décroissance de la fonction t 7−→ t ln t Z Z Z n+1 n n n n k+1 k+1 X X 1 X X dt dt dt 1 = ln ln(n+1)− ln ln 2, donc : lim = +∞. = ¾ = n→+∞ t ln t k ln k t ln t k ln k k ln k 2 k=2 k=2 k=2 k k=2 k

2

SÉRIES À TERMES POSITIFS

On étudie à présent les séries dont le terme général est positif — sous-entendu : ou nul. Ce qui est vrai de ces séries serait en fait vrai des séries dont le terme général est négatif ou nul. L’essentiel est donc, dans ce paragraphe, que le terme général soit DE SIGNE CONS TA NT — et même À PARTIR D’UN CERTA IN RANG .

$ Attention !

Quand vous utilisez les théorèmes de ce paragraphe, vérifiez bien la POSITIVIT É des suites étudiées !

Théorème (Adaptation aux séries du théorème de la limite monotone) Soit (u n )n∈N ∈ RN POSITIVE . La série converge si et seulement si elle est majorée. n X En cas de divergence, toujours grâce à la positivité : lim u k = +∞. n→+∞

Démonstration

La suite

 n X k=0

n∈N

un

k=0

 uk

X

est croissante car pour tout n ∈ N :

n+1 X k=0

uk −

n X

u k = u n+1 ¾ 0.

Elle

k=0

converge donc en effet si et seulement si elle est majorée d’après le théorème de la limite monotone.

Théorème (Comparaison par des inégalités) Soient (u n )n∈N , (vn )n∈N ∈ RN . On suppose que : tout n ∈ N. X X (i) Si la série vn converge, la série u n converge aussi. X X vn diverge aussi. (ii) Si la série u n diverge, la série

4

0 ¶ u n ¶ vn



pour

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

n n X X vk . Pour tout n ∈ N : uk ¶ k=0 X k=0 X (i) Si la série vn converge, la série u n est majorée, donc converge d’après l’adaptation aux séries du théorème de la limite monotone. n X X u k = +∞ d’après l’adaptation aux séries du théorème de la limite (ii) Si la série u n diverge : lim n→+∞ n k=0 X X monotone, donc : lim  vk = +∞ par minoration, donc la série vn diverge.

Démonstration

n→+∞

Exemple

La série

X

k=0

1 converge. n2 (2 + sin n)

X 1 1 1 ¶ 2 , or la série de Riemann Pour tout n ∈ N∗ : 0 ¶ 2 converge car : n X n (2 + sin n) n2 1 donc la série converge aussi d’après le théorème de comparaison par des inégalités. n2 (2 + sin n)

Démonstration 2 > 1,

Exemple

La série

X ecos n p diverge. n

X 1 1 ecos n Démonstration Pour tout n ∈ N∗ : 0 ¶ p ¶ p , or la série p diverge car : X ecos n n e n n série p diverge aussi d’après le théorème de comparaison par des inégalités. n

1 ¶ 1, 2

donc la

Théorème (Comparaison par des équivalents) Soient (u n )n∈N , (vn )n∈N ∈ RN . On suppose que ces suites sont POSI X X TIVES et que : u n ∼ vn . Les séries u n et vn ont alors même nature. n→+∞

$ Attention !

On a vite fait d’oublier l’hypothèse fondamentale de POSITIVIT É !

Démonstration La relation d’équivalence sur les suites étant symétrique, il nous suffit de montrer  que si la X X u  un série vn converge, la série u n converge aussi. Or par hypothèse : lim = 1, donc :  n  < 2 à n→+∞ v vn X n partirX d’un certain rang, ou encore : 0 ¶ u n ¶ 2vn . Par comparaison du coup, si la série vn converge, la série u n converge aussi. 

Exemple

La série

X n2



1 n+

Démonstration converge car :

3

p  converge. n

1 1  , Cette série est à termes positifs et : p  n→∼ 2 + ∞ n3 n n+ n X 1  3 > 1, donc la série p  par comparaison. n2 n + n

or la série de Riemann

X 1 n3

LE LIEN SUITE -SÉRIE

Le lien suite-série est d’une grande banalité à ce stade de l’année, mais il faut connaître plus que le résultat, il faut surtout en comprendre la philosophie.

Théorème (Lien suite-série) Soit (an )n∈N ∈ CN . La SUITE (an )n∈N et la SÉRIE

Démonstration

Pour tout n ∈ N∗ , par simplification télescopique : 5

X

n−1 X k=0

(an+1 − an ) ont même nature.

(ak+1 − ak ) = an − a0 .



Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

On peut donc étudier une suite en se servant des techniques spécifiques de la théorie des séries, ou au contraire étudier une série au moyen des techniques spécifiques de la théorie des suites. Aviez-vous compris que la simplification télescopique est l’analogue discret du théorème fondamental du calcul intégral ? La suite (an+1 − an )n∈N est en quelque sorte la « dérivée » de la suite (an )n∈N , tout comme la fonction f ′ définie par une limite de taux d’accroissement est la dérivée de la fonction f . Or comment passe-t-on de f ′ à f ? On somme au sens du calcul intégral, tout comme on le fait avec les suites dans le cadre d’une simplification télescopique : Z b n−1 X f ′ (x) dx = f (b) − f (a) dans un cas et : (ak+1 − ak ) = an − am dans l’autre. a

k=m

Au chapitre « Dérivabilité », nous avons appris à exploiter f , i.e. à remonter de f ′ à f , au moyen du théorème des accroissements finis. D’après l’inégalité des accroissements finis, quand nous savons borner f ′ , nous savons aussi borner f . Bref, la taille de f ′ conditionne celle de f . Le lien suite-série estX l’analogue de cette idée dans le cas discret. Typiquement, si la suite (an+1 − an )n∈N tend suffisamment vers 0, i.e. si la série (an+1 − an ) converge, la suite (an )n∈N converge elle aussi. ′

Exemple

La série

X1 n

diverge. Encore !

  X  X 1 ln(n + 1) − ln n = ln 1 + Démonstration (Preuve n◦ 3) La SU ITE (ln n)n∈N∗ diverge, donc la S ÉRIE   n X1 1 1 diverge. également. Comme cette série est à termes positifs et : ln 1 + ∼ , la série n n n→+∞ n Nous pouvons en fait pousser le lien suite-série un peu plus loin sur le même exemple. Exemple

Il existe un réel γ, appelé constante d’Euler, pour lequel :

n X 1 k=1

n X 1

= ln n + γ + o(1). k n→+∞

Encore !

Nous souhaitons prouver que la SU ITE (an )n∈N∗ X converge. En vertu du lien suite-série, il nous suffit pour cela de montrer que la SÉRIE (an+1 − an ) converge.       n−1 n X X 1 1 1 1 1 ∼ Or pour tout n ¾ 2 : an − an−1 = ln n − . Cet − ln(n − 1) − = − − ln 1 − n→+∞ 2n2 n n k k k=1 k=1 X équivalent prouve d’abord que la série (an+1 − an ) est à termes positifs à partir d’un certain rang, mais comme X 1 X la série de Riemann converge, il prouve aussi que la série (an+1 − an ) converge par comparaison. n2 Conclusion : la suite (an )n∈N∗ converge.

Démonstration Posons pour tout n ∈ N∗ :

an = ln n−

k=1

k

.

Terminons ce paragraphe par une tentative de calcul apparemment gratuite relative aux accroissements de la suite (n ln n)n∈N∗ . Nous allons d’abord calculer un développement asymptotique de ces accroissements, puis nous sommerons en hommage à la philosophie du lien suite-série.      1 1 1 1 1 − 2+ (n + 1) ln(n + 1) − n ln n = n ln 1 + + ln(n + 1) + o + ln(n + 1) = n n→+∞ n 2n n3   3n3 n 1 1 1 = ln(n + 1) + 1 − + +o 2 . n→+∞ 2n 3n2 n  X 1 Ce développement montre que la série (n + 1) ln(n + 1) − n ln n − ln(n + 1) − 1 + converge par comparaison X 1 2n car la série de Riemann est à termes positifs et converge. Et alors ? Cela signifie que pour un certain réel ℓ : n2  n−1 X 1 (k + 1) ln(k + 1) − k ln k − ln(k + 1) − 1 + = ℓ + o(1), 2k n→+∞ k=1 n−1 X 1 1 = ℓ + o(1). En d’autres termes : i.e. après simplification télescopique que : n ln n − ln(n!) − (n − 1) + 2 k=1 k n→+∞  1 ln n γ + ℓ′ + o(1) si on pose : ℓ′ = 1− ℓ+ . ln(n!) = n ln n − n + ln n+ γ + o(1) + 1− ℓ+ o(1) = n ln n − n + n→+∞ n→+∞ 2 2 2  n p  n p n n n ln n−n+ ln2 n +ℓ′ +o(1) ℓ′ ℓ′ o(1) = Finalement : n! = e e n. Nous venons ainsi de retrouver e n×e ∼ n→+∞ n→+∞ n→+∞ e e la formule de Stirling sans aide à partir d’une tentative de rien du tout. Les intégrales de Wallis montrent bien sûr que : p ′ eℓ = 2π, mais cela relève d’une autre investigation.

6

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CONVERGENCE ABSOLUE ET SÉRIES ALTERNÉES

4 4.1

CONVERGE NCE ABSOLUE

Définition (Convergence absolue) Soit (u n )n∈N ∈ CN . On dit que la série X converge absolument si la série |u n | converge.

Exemple

La série

X (−1)n n2

converge absolument car, comme :

2 > 1,

X

u n est absolument convergente ou qu...