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muy completo todo el temario...

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Introducción a la Microeconomía. ADE

Ahijado, Cortés, Sánchez

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Introducción a la Microeconomía (Grado en ADE) CURSO CERO Introducción Por curso cero entendemos la propuesta de algunas herramientas teóricas y prácticas de carácter matemático, necesarios para acometer la materia del mismo, en este caso una introducción a los aspectos microeconómicos de la Economía. Está dirigido sólo a aquellos alumnos o alumnas que lo necesiten, y serán ellos mismos los que decidan su utilización o no, es decir, es completamente optativo. Naturalmente, no pretende sustituir a otros cursos u herramientas más elaboradas y rigurosas. Para aquellos alumnos que crean conveniente un ampliación la UNED, dispone de un curso algo más avanzado en el siguiente enlace: http://ocw.innova.uned.es/ocwuniversia La Introducción a la Economía que se desarrolla en esta asignatura forma parte de lo que se puede llamar Economía Neoclásica o Marginalista, que es la que se enseña a este nivel en cualquier universidad del mundo. Como tal, es decir, marginalista, implica hacer uso profuso de conceptos que implican cambios o variaciones infinitesimales en diversas variables, como utilidades, costes, ingresos, beneficios, y otros. De modo que son muy pertinentes las matemáticas asociadas al cálculo diferencial. Por otro lado, cabe decir a este nivel, que tal como se señala en la guías de la asignatura y en los materiales didácticos recomendados, las matemáticas utilizadas en este caso son muy elementales y de naturaleza introductoria, además de pocas y básicas. Fundamentalmente se utilizarán derivadas sencillas, y en algún caso a la altura del tercer módulo del programa (estructuras de mercado) algunos sistemas de ecuaciones sencillos.

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1. Derivadas La forma en la que se estudia inicialmente una función es estática: ¿cuánto vale si “x” toma este valor? Pero también podemos estudiar las funciones de forma dinámica: ¿con qué rapidez se produce la variación de ? Podemos, por ejemplo, estudiar la variación media de una función, es decir, cuanto varía entre dos puntos “a” y “b”. O la pendiente (o inclinación) de la recta tangente a la curva en un punto, que representa la rapidez de cambio instantáneo, y se llama derivada de la función en un punto. A veces podemos necesitar conocer la función derivada de una función. Aunque teóricamente la derivada se determina a través del cálculo de límites, esto puede resultar bastante engorroso. Por esto, es más sencillo utilizar reglas para derivar. Utilizando las derivadas se pueden estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones, lo que ayudará para su representación gráfica: se trata de obtener información de las funciones a partir de su derivada. ¿Qué es la derivada? Consideremos una función continua. Supongamos que queremos estudiar cómo variará la función, expresado de otra forma, “su velocidad de cambio" o cómo variará una variable respecto a la otra. La Variación Media (V.M) nos dice cómo variará la función por unidad de tiempo, en un intervalo (a; b):

.

Gráficamente, la V.M. es la pendiente de la recta que une los puntos (a; ) y (b; ).

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Para que una función tenga derivada en un punto debe ser continua en él. El recíproco no es cierto. Reglas de derivación Para calcular la derivada de cualquier función (sin necesidad de hacerlo a través de la definición) es necesario aprenderse las derivadas de unas pocas funciones y aplicar posteriormente unas reglas.

-

Derivada de una constante. Si =a, entonces =0 Derivada de una suma. La derivada de + es + Derivada de una potencia. Si = , su derivada es = , Derivada del producto de una constante por una función. La derivada de es Regla del producto. La derivada de es +

-

Regla del cociente. La derivada de

-

es

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EJEMPLO ECONÓMICO 1 Si x=

se puede reescribir del siguiente modo recordando que un número elevado a

una potencia negativa es lo mismo que la unidad dividida entre ese número, es decir: x=

es igual que x=

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Diferenciando:

= -b

descomponiendo el último multiplicando queda así

= -b

ya que

=

es lo mismo que

como el segundo multiplicando es la expresión de „X‟ del enunciado, por lo tanto:

=

Sabiendo que la expresión de la elasticidad es: E=

=

=b

EJEMPLO ECONÓMICO 2 Dada la función de producción

x  5 y1  y1 y 2  3 y 22 si se emplean 24 unidades de y1, hallar la función de producción del input y2:

Para hallar la función de productividad total del input y2 sustituimos en la ecuación anterior el valor de y1, en este caso 24:

x  120  24 y 2  3y 2

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La condición de máximo exige que:

(1)

dx  24  6y 2  0; y 2  4 dy 2

(2)

d 2x  6  0 dy 2 2

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luego el máximo está en:

y 2  4 que es lo que buscamos

2. Optimización En matemáticas la optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En ocasiones se puede expresar un conjunto de restricciones en base a un sistema de igualdades o desigualdades ( ) ≤ 0). Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costes, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible. EJEMPLO ECONÓMICO 3 La obtención matemática del equilibrio del consumidor, es un ejemplo generalizable de optimización. Para su resolución analítica están disponibles algebraicamente diversos procedimientos. Veamos el más frecuentemente utilizado . Si el problema del consumidor consiste en maximizar la función de utilidad u( x1 , x2 ) sujeta a la restricción presupuestaria ( p1 x1  p2 x2  y) formando la función auxiliar de Lagrange1:

S  u( x1, x2 )  ( p1 x1  p2 x2  y) Donde λ es el llamado multiplicador de Lagrange, las condiciones de primer orden son:

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Se presupone conocido el método matemático; en caso contrario deberá repasarse un libro de Matemáticas.

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S  u1  p1  0 x1

u1  p1

S  u 2  p 2  0 x2

u2   p2 6

S  p 1x1  p 2 x 2  y  0  Siendo:

Si 

S xi

ui 

u xi

i = 1,2

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Y donde ahora, sin pérdida de generalidad , u1 y u2 son las derivadas parciales de la función de utilidad respecto a x1 y x2, respectivamente. Las tres ecuaciones anteriores, denotadas forman un sistema de ecuaciones, con las cantidades y el multiplicador como incógnitas; tres ecuaciones (n+1 en el caso general de n bienes), con tres incógnitas (n+1 en el caso general) las demandadas de los bienes y el multiplicador de Lagrange. La tercera ecuación es la recta de balance por lo que implica por tanto situarse sobre ella 3. La forma más habitual de resolver el sistema anterior es eliminar λ, es decir, hacer:

u1 p  1 u2 p2

u1 u2   p1 p2

A esta última expresión ya sabemos por un epígrafe anterior que se le conoce con el nombre de «ley» de la igualdad de las utilidades marginales ponderadas, en este caso ponderadas por sus precios respectivos. La ley se interpreta de modo que, en el equilibrio, la utilidad que le proporciona al consumidor una unidad monetaria gastada en un bien, es idéntica a la que le proporciona el mismo gasto en otro bien, dados los supuestos. Partiendo de la ecuación de las utilidades marginales ponderadas por sus precios, si el consumidor obtuviese un incremento de renta, estaría indiferente entre adquirir más de cualquiera de los dos bienes, pues los dos le reportan el mismo incremento de utilidad. Es fácil apreciar, que el primer miembro es la relación marginal de sustitución, y que es claramente igual al cociente invertido de los precios. En efecto: 2

A veces utilizamos los subíndices como puros índices, y en otros, como en el presente, como derivadas; en todos los casos el contexto será clarificador, o el cambio será advertido explícitamente. 3

En alguna medida, la exigencia de situarse sobre la recta de balance proviene del supuesto de no saciación, o lo que es lo mismo, de que las utilidades marginales son positivas; por ello, para maximizar la utilidad debe gastarse toda la renta. Si se prefiere suponer esto último sin más (es decir, no ahorrar).

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RMS 12   lim

 x1 dx u p  1  2  2 x dx u p1  2 2 1

x2  0

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Pero p2 / p1 es la pendiente de la recta de balance y

–

es la pendiente de la curva de

indiferencia; en consecuencia, hemos vuelto a obtener el resultado que logramos también geométricamente. Nótese que se cumple la siguiente igualdad:

dx i dx j

 u

dxi dx j

y

Las de las pendientes de la curva de indiferencia y de la restricción presupuestaria respectivamente. Es fácil apreciar intuitivamente también, que el multiplicador de Lagrange da la sensibilidad de la función objetivo —función de utilidad — ante cambios en los parámetros, es decir, los precios y la renta, y es la utilidad marginal de la renta, sin más que diferenciar en la recta de balance. En consecuencia, el incremento de utilidad derivado de un aumento de la renta es igual, en el equilibrio, al aumento en la utilidad derivada de la adquisición o consumo de cualquiera de los dos bienes.

EJEMPLO ECONÓMICO 4 En los problemas de optimización, los multiplicadores de Lagrange son un método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar y que está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el problema restringido en „n‟ variables en uno sin restricciones de „n + 1‟ variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange (λ), para cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. El objetivo es que usando alguna función implícita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de una función sea igual a cero. En teoría microeconómica la utilizamos para maximizar la función de utilidad, en este caso U = sujeta a la restricción presupuestaria de que el individuo gastará toda su renta “y” en consumir la suma de las cantidades de y multiplicadas por sus precios correspondientes, o sea y= +

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Así, modelizamos la decisión del consumidor de este modo: Hay que maximizar la función de utilidad U = sujeta a la restricción presupuestaria y= + . Haciendo uso del multiplicador de Lagrange: Maximizar U = sujeto a: λ (y- + )  ya que la renta total “y” menos lo que paga y consume de y de será igual a 0 En la función de utilidad la derivada respecto de es . En el multiplicador de Lagrange, al derivar respecto de sólo está afectado el sumando no el resto de sumandos a los que multiplica λ, siendo la derivada de y de “y” 0 cuando derivamos respecto de . De manera similar ocurre para llegando a estas expresiones: =

-λ

= -λ = y-

+

Igualando las derivadas parciales a 0 y despejando obtenemos la siguiente expresión para : = λ , de donde λ=

Sustituida en la primera ecuación de primera orden: =0

-(



=(

Como hemos visto que este modo: y=

+

Así: y - 2

ó

y=

=0

+



=

, podemos

=

reescribir la restricción presupuestaria de

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EJEMPLO ECONÓMICO 5 Para un consumidor, con una función de utilidad U = mercado y=100, = 5, = 3, ¿cuál será el precio de ?

, con los siguientes datos de

Para el equilibrio inicial debe cumplirse:

x 2 p1 5   x1 p2 3 3x 2  5x1

x2 

5 x 3 1

Sustituyendo en la restricción presupuestaria:

5 y  p 1 x 1  p 2 x 2  5x 1  3x 1  100 3 10 x 1  100 x 1  10

3. SISTEMAS DE ECUACIONES En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Para resolver un sistema de dos ecuaciones podemos utilizar uno de los siguientes métodos: 1. Sustitución 2. Igualación 3. Reducción

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EJEMPLO ECONÓMICO 6 Para un sistema de producción basado en dos inputs e que combinados en diferentes proporciones (3 y 1 ó 5 y -1) producen 11 y 13 unidades de producto respectivamente. Calcule qué relación existe entre ellos. RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 10

Sea el sistema Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Hallemos la y en la primera ecuación supuesto conocido el valor de

Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado

Ahora tenemos una ecuación con una sóla incógnita; la resolvemos

Ya conocido el valor de lo sustituimos en la expresión del valor de que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será

e

RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN

Sea el sistema

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Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita

Igualamos ambas ecuaciones 11

Este valor de lo sustituímos en cualquiera de las ecuaciones de

RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN

Sea el sistema Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema

sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos...