Darstellungsmatrizen + Basistransformation Übung PDF

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Übungsblatt Darstellungsmatrizen + Basistransformation Übung .
Thema 37/38. Prof: Karpfinger....

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Technische Universit¨at M¨unchen Fakult¨at f¨ur Mathematik

M ATHEMATIK 2 f¨ur Maschinenwesen und Chemie-Ingenieurwesen [MA 9302]

¨ Ubungsblatt 17

Zentralubung ¨ Z17.1

Es seien die linearen Abbildungen f1 , f2 : R3 → R3 gegeben durch f1 (x, y, z) = (3x, x − y, 2x + y + z)⊤

f2 (x, y, z) = (x − y, 2x + z, 0)⊤ .

und

(a) Bestimmen Sie eine Basis der Bildr¨ aume und die Kerne von fi , i = 1, 2, sowie f1 ◦ f2 . (b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen der linearen Abbildungen fi , i = 1, 2, sowie f1 ◦ f2 bzgl. der kanonischen Basen. (c) Sind die Abbildungen f1 bzw. f2 injektiv oder surjektiv? Z17.2

Betrachten Sie f¨ur n ≥ 1 die Abbildung f : R[X ]n−1 → R[X ]n , definiert durch ( f (p))(x) =

Z x

p(t)dt.

0

(a) Zeigen Sie, dass f eine lineare Abbildung ist. (b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix A dieser linearen Abbildung bzgl. der Monombasen (1, x, . . . , xn−1 ) von R[X ]n−1 bzw. (1, x, . . . , xn ) von R[X ]n . (c) Ist die Abbildung f injektiv? Ist sie surjektiv? Z17.3

Gegeben sind zwei geordnete Basen A und B des R3 ,             −16 2 3 1 9 8 A =   −6  ,  7  ,  −3   , B =  −2  ,  −1  ,  1  , 2 1 7 7 2 −13

und eine lineare Abbildung f : R3 → R3 , die bez¨ uglich der Basis A die folgende Darstellungsmatrix hat   1 −18 15 A M( f )A = −1 −22 15  . 1 −25 22 Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix B M( f )B von f bez¨ uglich der geordneten Basis B.

¨ finden Sie unter: Aktuelle Informationen zu Vorlesung und Ubungen

http://www.moodle.tum.de

Tutorium   1 3  4 2 . T17.1 (A 37.4) Gegeben sei die lineare Abbildung fA : R2 → R3 , v 7→ Av, wobei A = −1 0 (a) Bestimmen Sie das Bild und den Kern von fA . (b) Ist fA injektiv, surjektiv, bijektiv? L¨osung zur Selbstkontrolle: (a) im fA = span{(1, 4, −1)T , (3, 2, 0)T }, ker fA = {0}. (b) ja, nein, nein.

T17.2

(A 37.10) Welche der folgenden Abbildungen sind linear ?         v1 v v2 − 1 v1 2 2 2 2 (a) f1 : R → R , (c) f3 : R → R , 1 7→ 7→ , , −v21 v2 v2 −v1 + 2 v2 (b) f2 : R2×2 → R, A 7→ det(A),

(d) f4 : R3 → R3 , v 7→ v − 2 ha, vi a, a ∈ R3 , kak = 1. L¨osung zur Selbstkontrolle: (a), (b), (c): nicht linear. (d) linear.

T17.3 (A 38.2) Gegeben ist eine lineare Abbildung f : R3 → R3. Die Darstellungsmatrix von f bez¨ uglich der 3 geordneten Standardbasis E3 = (e1 , e2 , e3 ) des R lautet:   4 0 −2  ∈ R 3× 3 . E3 M( f )E3 = 1 3 −2 1 2 −1       2 1 2 Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix B M( f )B bzgl. der geordneten Basis B =  2 , 1 , 1  des R3 1 1 3 und die Transformationsmatrix S mit B M( f )B = S−1 E3 M( f )E3 S. L¨osung zur Selbstkontrolle: [1 0 0,0 2 0,0 0 3]

T17.4 (A 38.7) (a) Erstellen Sie eine Funktion [ Anach ] = basistrafo( Avor, B ), die die Darstellungsmatrix Anach einer linearen Abbildung f : Rn → Rn bzgl. der Basis B bestimmt, wobei die Darstellungsmatrix Avor von f bzgl. der kanonischen Basis En gegeben ist. Testen Sie Ihre Funktion an vorstehender Aufgabe. (b) Verallgemeinern Sie Ihre Funktion aus (a), um die Darstellungsmatrix Anach von f bzgl. der Basis B zu erhalten, wobei die Darstellungsmatrix Avor von f bzgl. einer (beliebigen) Basis A gegeben ist. Testen Sie Ihre Funktion an der Aufgabe Z17.4. T17.5 (A 38.8) Wir betrachten den reellen Vektorraum R[X ]3 aller Polynomeuber ¨ R vom Grad kleiner oder d : R[X ]3 → R[X ]3 die Differentiation p 7→ p′ . Weiter sei E = (1, X , X 2, X 3 ) die gleich 3, und es bezeichne dX Standardbasis von R[X ]3 . (a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix A = E M(dXd )E . (b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix C =B M(dXd )B von R[X ]3 .

d dX

bez¨uglich der Basis B = (X 3, 3 X 2, 6 X , 6) von

(c) Zu dem Polynom p = X 3 + 3 X 2 + 6 X + 6 bestimme man die Koordinatenvektoren E p, B p, E p′ , B p′ sowie A E p und C B p.  0  0 L¨osung zur Selbstkontrolle: (a)  0 0

1 0 0 0

0 2 0 0

  0 0   0 1 (b) 0 3 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

     0 6 0      0 ′ ′  1  6 (c) A E p = E p =  , C B p = B p =   1 3 0 1 0 0...