Derivación numérica PDF

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Un apunte de derivación numérica del libro de Antonio Nieves...

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Derivación numérica Se aproximará la función tabulada f(x) se diferenciará la aproximación

pn (x) .

Si la aproximación es polinomial y con el criterio de ajuste exacto", la diferenciación numérica consiste simplemente en diferenciar la fórmula del polinomio interpolante que se utilizó. Sea en general. f ( x )= pn ( x )+R n ( x ) la aproximación de la primera derivada queda entonces n d f (x) d p n (x) ≈ n n dx dx

Al diferenciar la fórmula fundamental de Newton dada arriba se tiene n

n

d n f (x) d p n (x) d Rn (x ) = + d xn d xn d xn Donde

d n Rn (x ) n

dx

es el error que se comete al aproximar

d n f (x) por d xn

d n pn (x ) dx

n

Si las abscisas dadas x 0 , x 1 , … , xn están espaciadas regularmente por intervalos de longitud h, entonces pn (x) puede escribirse en términos de diferencias finitas. Al sustituir f [ x 0 ] , f [ x0 , x1 ] , etcétera, en la ecuación en términos de diferencias finitas, se obtiene 2 ∆ f [ x0] ∆ f [ x0 ] ∆ n f [ x0] pn ( x ) =f [ x 0 ]+ ( x − x 0 ) + ( x − x 0 )( x − x 1 ) +…+ ( x− x0 )( x − x 1 ) …(x − x n−1 ) h n ! hn 2 ! h2

Y se tendrá

df (x) d p n( x ) df [ x0 ] + ≈ = n dx dx dx

d

[

( x − x 0 ) ∆ f [ x0 ] h dx

] [(

2

d x −x0)( x−x 1 )

+

∆ f [ x0]

dx

2! h 2

] [

d ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) …( x − x n−1

+…+

dx

Se desarrollan algunos de los primeros términos y se tiene ∆3 f [ x 0 ] ∆2 f [ x 0 ] df (x) d p n( x ) ∆ f [x 0 ] 2 + ( 2 x − x 0 −x1 ) = +[ 3 x −2 ( x 0 + x 1+ x 2 )+( x 0 x 1+ x 0 x 2+ x1 x 2)] ≈ h dx d xn 3 ! h3 2! h2 Selecciónese ahora un valor particular para n; por ejemplo, tómese n = es decir que se aproxime la función tabulada f (x) por una línea recta. Entonces:

pn ( x ) =p 1 ( x )=f [ x 0 ] +( x − x 0 )

∆ f [ x0] h

la primera derivada de f(x) queda aproximada por: df (x) d p 1( x ) ∆ f [ x 0 ] f ( x 1) −f [ x 0 ] = =f [ x 0 , x1 ] = ≈ x 1− x 0 h dx d xn df (x) f ( x 1) −f (x 0 ) ≈ dx h y, como es de esperarse 2 d 2 f (x) d p1 ( x ) =0 ≈ 2 dx d x2

y así cualquier otra derivada superior de f(x) quedará aproximada por cero. Geométricamente esto equivale a tomar como primera derivada la pendiente de la recta que une los dos puntos de la curva f (x) de abscisas x 0 y x 1 .La primera derivada de f(x) en todo el intervalo [ x 0 , x 1 ] queda aproximada por el valor constante (f ( x 1) −f (x 0 ))/h , el cual es muy diferente del valor verdadero df (x)/dx en general.

d n f (x) por d xn Rn (x ) esta dado por.

El error este cometido al aproximar

donde a su vez

(∑ n

Rn ( x) =

i=0

)

(x−x i) f [ x , x 0 , x 1 , … , xn ]

d n pn (x ) d xn

este dado por

d n Rn (x ) d xn

n

Que se puede compactar si φ ( x )=∑ (x−x i)

quedando.

i=0

Rn ( x) =φ ( x ) f [ x , x 0 , x 1 ,… , x n ] En este punto es importante recordar que hay una estrecha relación entre las diferencias divididas y las derivadas. En general, esta relación está dada así f [ x , x 0 , x1 , … , x n ] =

n

d f (ξ) con ξ ε ( mín x i , máx x i) 0 ≤i ≤ n n n! d x

esto es, ξ es un valor de x desconocido, del cual sólo se sabe que está entre los valores menor y mayor de los argumentos. n

Rn ( x) =φ ( x )

d f ( ξ) con ξ ε ( mín x i , máx x i) 0≤ i ≤n n n!d x

donde se ha escrito ξ como una función de x, ya que su valor depende del argumento x donde se desee evaluar la derivada.

Para obtener una aproximación a la primera derivada de una función tabular x, proporcionar los:

f (x)

en un punto

DATOS: El grado N del polinomio de Lagrange por usar, las (N +1) parejas de valores (X(I), FX(I), I=0, 1,2, ..., N) y el punto XD en que se desea la evaluación. RESULTADOS: Aproximación a la primera derivada en XD: DP. PASO 1. Hacer DP=0. PASO 2. Hacer I=0. PASO 3. Mientras I≤N Repetir lo pasos del 4 al 21. PASO.4 Hacer P=1. PASO 5. Hacer J=0. PASO 6. Mientras J≤N Repetir los pasos del 7 a 8. PASO 7. Si I≠J Hacer P=P*(X(I)-X(J)) PASO 8. Hacer J=J+1 PASO 9. Hacer S=0. PASO 10. Hacer K=0. PASO 11. Mientras K≤N Repetir los pasos 12 a 19. PASO 12. Si I≠K realizar los pasos del 13 al 18.

PASO 13. Hacer P1=1. PASO 14. Hacer J = 0. PASO 15. Mientras J ≤N, repetir los pasos 16 a 17. PASO 16. SI J≠I Y J≠K. Hacer P1=P1 (XD - X(J)) PASO 17. Hacer J=J+1. PASO 18. Hacer S=S+P1. PASO 19. Hacer K=K+1. PASO 20. Hacer DP=DP + FX(I)/P*S. PASO 21. I=I+1. PASO 22. IMPRIMIR DP Y TERMINAR.

EJEMPLO 1 Aproximar el valor de la derivada cuando x=1, con h=0.1.

f ( x )=(

2 3 3 x−1 2 −18+50 x+18 x −18 x ( ) =f ´ x ) = 2 3 2 (x +3) x +3...