dfasdasdasdsasfs PDF

Preview

Summary

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘIVIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌCBÙI XUÂN DIỆUBài GiảngOLYMPIC SINH VIÊN MÔN ĐẠI SỐĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH, MA TRẬN VÀ ÁNH XẠTUYẾN TÍNH, ĐA THỨCTóm tắt lý thuyết, các ví dụ, bài tập và lời giảiDresden (Germany) - 2012Mục lục.MỤC LỤC Mục lục. Chương 1 M...

Description

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC

BÙI XUÂN DIỆU

Bài Giảng OLYMPIC SINH VIÊN MÔN ĐẠI SỐ Đ ỊNH

THỨC ,

HỆ

PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH , TUYẾN TÍNH ,

ĐA

MA

TRẬN VÀ ÁNH XẠ

THỨC

Tóm tắt lý thuyết, các ví dụ, bài tập và lời giải

Dresden (Germany) - 2012

MỤC Mục lục .

LỤC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1 . Ma trận - Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1

2

3

Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1

Các tính chất cơ bản của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 1.3

Các định thức đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 9

Định thức con và phần phụ đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11

2.2

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Phần bù Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 14

3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2 . Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 17 1

2

3

4

Không gian đối ngẫu - Phần bù trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.1 1.2

Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phần bù trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 19

1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hạt nhân và ảnh - Không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 20

2.1

Hạt nhân và ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2 2.3

Không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 22

Cơ sở của không gian véctơ - Độc lập tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.1 3.2

Bài toán đổi cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23

Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Các tính chất của hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25

4.2

26

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2

MỤC LỤC

Chương 3 . Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính . . . . . . . . 29 1

Vết của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2

Cấu trúc của tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1

Trị riêng và véctơ riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2 2.3

Tự đồng cấu chéo hoá được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đa thức tối tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 32

2.4

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Dạng chuẩn của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.1 3.2

Dạng chuẩn Jordan của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng chuẩn Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 39

3.3

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Biểu diễn ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Rút gọn một ma trận về ma trận dạng đường chéo đơn giản . . . . . .

41 41

4.2

Biểu ma trận dưới dạng tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.3

Biểu diễn Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3

4

4.4 Biểu diễn Lanczos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Chương 4 . Các ma trận có dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1

2

3

4

5

6

7

Ma trận đối xứng - Ma trận Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1.1 1.2

Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 44

Ma trận phản xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.1 2.2

Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45

Ma trận trực giao - Phép biến đổi Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.1

Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ma trận chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 48

4.1

Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4.2

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Ma trận luỹ linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 50

5.2

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Toán tử chiếu - Ma trận lũy đẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52 52

6.2

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Ma trận đối hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2

MỤC LỤC 8

3

Ma trận hoán vị (hay còn gọi là ma trận giao hoán) . . . . . . . . . . . . . . .

56

8.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Chương 5 . Các bất đẳng thức ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1

2

Các bất đẳng thức cho ma trận đối xứng và Hermitian . . . . . . . . . . . . . 1.1 Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57

1.2 Bài tập . . . . . . . . . . Các bất đẳng thức cho trị riêng 2.1 Các bất đẳng thức cơ bản 2.2 Bài tập . . . . . . . . . .

58 59 59 60

. . . .

. . . .

. . . .

3

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4

MỤC LỤC

4

1

CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC §1. ĐỊNH

THỨC

1.1 Các tính chất cơ bản của định thức Định thức của một ma trận vuông A = (aij )1n cấp n là tổng luân phiên

∑ (−1)σ a1σ(1) a2σ(2) . . . anσ(n) , σ

ở đó tổng trên được lấy qua tất cả các phép hoán vị σ ∈ Sn . Định thức của ma trận A được

kí hiệu là det A hoặc | A|, nếu det A 6= 0 ta nói A là ma trận khả nghịch (không suy biến). Các tính chất sau đây thường được sử dụng để tính định thức của một ma trận. Các bạn có thể kiểm chứng hoặc chứng minh chúng một cách dễ dàng. 1. Nếu đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) của ma trận A thì định thức của nó đổi dấu. Nói riêng, nếu ma trận A có hai hàng (cột)giống nhau thì det A = 0. ! A C = det A. det B. 2. Nếu A, B và C là các ma trận vuông cùng cấp thì det 0 B n

3. det A = ∑ (−1)i + j Mi,j , ở đó Mij là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách bỏ j =1

đi hàng thứ i và cột thứ j của nó. Công thức này còn được gọi là công thức khai triển định thức theo hàng. Các bạn có thể tự viết công thức khai triển định thức theo cột một cách tương tự. λ1 α1 + µ 1 β 1 .. . λn αn + µn β n

4

   

a12 . . . a1n .. . . . . . .. a n2 . . . a nn       

α1 a12 . . . a1n .. .. . . . . . . .. αn a n2 . . . a nn

λ

   

5

      

+µ

β 1 a12 . . . a1n .. ... . . . ... . β n a n2 . . . a nn           

6

Chương 1. Ma trận - Định thức 5. det( AB ) = det A det B. 6. det( AT ) = detA.

1.2 Các định thức đặc biệt Định thức Vandermonde Ma trận Vandermonde cấp n là ma trận vuông cấp n có dạng  1 1 ... 1 1  a a 2 . . . a n −1 a n  1  2  a22 . . . an2 −1 an2 Vn (a1 , a2 , ..., a n ) =  a1 ..  .. .. ... ... .  . .

1 n −1 a n1 −1 a2n−1 . . . a nn− −1 an

Định lý 1.1. Chứng minh rằng det Vn (a1 , a2 , ..., a n ) =

∏ 16 i < j 6 n

       

(a j − ai ). Từ đó suy ra hệ

Vn (a1 , a2 , ..., a n ).X = 0 chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi a1 , a2 , . . . , a n đôi một phân

biệt.

Một ứng dụng thú vị của định thức Vandermonde là bài toán sau: Bài tập 1.1. Cho A là một ma trận vuông cấp n . Khi đó An = 0 ⇔ tr( Ak ) = 0, k = 0, 1, 2, . . . , n Lời giải. ⇒ Nếu An = 0 thì A là một ma trận lũy linh, do đó A chỉ có các trị riêng bằng 0, nên Ak cũng chỉ có các trị riêng bằng 0 với mọi k. Suy ra điều phải chứng minh. ⇐ Giả sử các giá trị riêng của A là λ1 , λ2 , . . . , λn . Khi đó từ tr( Ak ) = 0, k = 0, 1, 2, . . . , n ta có hệ phương trình:

hay

   λ1 + λ2 + . . . + λ n = 0      λ2 + λ2 + . . . + λ2 = 0 n 2 1 ..   .     n  λ1 + λ2n + . . . + λnn = 0

(1.1)

Vn (λ1 , λ2 , . . . , λn )( λ1 , λ2 , . . . , λn )T = 0. Ta sẽ chứng minh tất cả các giá trị riêng của A bằng nhau. Thật vậy: Nếu λi đôi một phân biệt thì định thức Vandermonde khác không, hệ phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất λ1 , λ2 , . . . , λn = 0. Mâu thuẫn. 6

1. Định thức

7

Ngược lại, không mất tính tổng quát, giả sử λ1 = λ2 và không một giá trị λi còn lại nào bằng nhau. Khi đó hệ phương trình được viết lại dưới dạng

Vn−1 (λ2 , . . . , λn )(2λ2 , . . . , λn )T = 0 Lập luận tương tự ta có λ2 = . . . = λn = 0, mâu thuẫn. Vậy tất cả các trị riêng của A bằng nhau và do đó bằng 0. Bài tập 1.2. Chứng minh rằng với các số nguyên k1 < k2 < ... < kn bất kì thì

là một số nguyên.

det Vn (k1 , k2 , ..., kn ) det Vn (1, 2, ..., n)

Bài tập 1.3. Cho W là ma trận có được từ ma trận V = Vn (a1 , a2 , ..., a n ) bằng cách thay hàng (a n1 −1 , a2n−1, ..., a nn−1 ) bởi hàng (a1n, a n2 , ..., a nn ). Chứng minh rằng det W = ( a1 + a2 + ... + a n ) det V . Bài tập 1.4. Chứng minh rằng   1 1 ... 1 1     a1 a2 ... a n −1 an   .. .. .. .. ...   det  . . .  = (−1)n−1 . det Vn (a1 , a2 , ..., a n ) .   ..   n −2 2 n −2 . a a nn− a2n−2   a1 n −1 a2 a3 ...a n a1 a3 ...a n . . . a1 a2 ...a n−2 a n a1 a2 ...a n−1

Lời giải. • Nếu a1 , a2 , . . . , a n 6= 0 thì nhân cột thứ nhất với a1 , cột thứ hai với a2 , . . . , cột thứn với a n rồi chia cho a1 a2 . . . a n ta được  1 1 ... 1 1     a1 a2 ... a n −1 an   .. ..   .. ... ... . det   . .   .   n −2 n −2 n −2 n −2 . . a a a a   1 n n −1 2 a2 a3 ...a n a1 a3 ...a n . . . a1 a2 ...a n−2 a n a1 a2 ...a n−1   a1 a 2 . . . a n −1 a n  2   a1 a22 . . . a2n−1 an2    1 . ..  .  . .. . . det  .. = .  .. ..   a1 a2 . . . a n  n−1 n−1 .. n −1 n −1 . a a a a  1 n  n −1 2 1 1 ... 1 1 n − 1 = (−1) . det Vn (a1 , a2 , ..., a n ) • Trường hợp có ít nhất một trong các số a1 , a2 , . . . , a n bằng 0 (xét riêng). 7

8

Chương 1. Ma trận - Định thức

Bài tập 1.5. Cho f1 ( x ), f2 ( x ), ..., f n ( x ) là các rằng với mọi số a1 , a2 , . . . , a n ta có   f (a ) f (a ) 1 2  1 1   f 2 (a1 ) f 2 (a2 )  .. .   .. .   f n (a1 ) f n (a2 )

đa thức bậc không quá n − 2. Chứng minh  f1 (a n )   . . . f2 (a n )  =0 ... ...   . . . f n (a n )  ...

Lời giải. Giả sử fi ( x ) = bi0 + bi1 x + . . . + bi,n−2 x n−2 thì    b10 b11 . . . b1,n−2 f 1 (a1 ) f 1 (a2 ) . . . f 1 (a n )     f2 (a1 ) f2 (a2 ) . . . f2 (a n )  b20 b21 . . . b2,n−2  = .. . . .. . .    .. .. . . ... . . . . . .    . f n (a1 ) f n (a2 ) . . . f n (a n ) bn0 bn1 . . . bn,n−2 Từ đó ta có điều phải chứng minh.

  Bài tập 1.6. Cho A = aij và fi ( x ) = rằng   f (x ) f (x ) . . . 1 2  1 1   f 2 ( x1 ) f 2 ( x2 ) . . .  .. ...  ... .    f n ( x1 ) f n ( x2 ) . . .

 

  0    . .  ..   0

1 a1 .. .

1 a2 .. .

a1n−1 a2n−1

 ... 1 1  . . . a n −1 a n   ..  .. ... . .  n −1 1 . . . a nn− −1 an

a1i + a2i x + ... + a ni x n−1 với i = 1, n. Chứng minh       = det A.Vn ( x1 , x2 , ..., xn )    f n (xn )  f1 (xn ) f2 (xn ) .. .

Lời giải. Tương tự như bài 1.5 ta có    a11 a12 f 1 ( x1 ) f 1 ( x2 ) . . . f 1 ( x n )     f2 ( x1 ) f2 ( x2 ) . . . f2 ( xn )   a21 a22 = .  .. . .. ..   .  ... . . . . .   .  a n1 a n2 f n ( x1 ) f n ( x2 ) . . . f n ( x n ) Suy ra điều phải chứng minh.

0

  1 1 . . . a1,n−1 a1n   x2 . . . a2,n−1 a2n   x1  . . .. .... ..   . . ..   .. n −1 n −1 x1 x2 . . . a n,n−1 a nn

 ... 1 1  . . . x n −1 x n  ..  ..  ... . .  −1 n −1 . . . xnn− 1 xn

Bài tập 1.7. Chứng minh rằng với k1 , k2 , . . . , kn là các số tự nhiện khác nhau và a1 , a2 , . . . , a n là các số dương khác nhau thì   1 1 1 ... 1  k1 k1 k k   a1 a 2 a3 1 . . . a n1   k2 k2 k2 k2   det   a1 a 2 a3 . . . a n  6= 0  .. .. .. .. ..   . .  . . . kn kn kn kn a1 a2 a 3 . . . a n 8

1. Định thức

9

Định thức Cauchy Ma trận Cauchy là ma trận vuông cấp n, A = ( aij ), ở đó aij = x +1y . Bằng phương pháp i j quy nạp, ta sẽ chứng minh

det A =

Π i > j ( xi − x j )(yi − y j ) Π i ,j ( xi + x j )

Trước hết lấy mỗi cột từ 1 đến n − 1 trừ đi cột cuối cùng, ta được a ′ij = ( xi + y j )−1 − ( xi + yn )−1 = (yn − y j )( xi + yn )−1 ( xi + y j )−1 với j 6= n. Đưa nhân tử ( xi + yn )−1 ở mỗi hàng, và yn − y j ở mỗi cột trừ cột cuối cùng ra khỏi định thức ta sẽ thu được định thức |bij |in, j=1, ở đó bij = ai j với j 6= n và bin = 1.

Tiếp theo, lấy mỗi hàng từ 1 đến n − 1 trừ đi hàng cuối cùng. Đưa nhân tử xn − xi ở mỗi hàng trừ hàng cuối cùng, và nhân tử ( xn + y j )−1 ở mỗi cột trừ cột cuối cùng, ta sẽ thu được công thức truy hồi định thức Cauchy cấp n qua cấp n − 1.

Định thức Frobenius Ma trận có dạng 

0 1 0  0 0 1   .. .. . . . . .  0 0 0  0 0 0  a0 a1 a2

... ... .. .

0 0 .. .

0 0 ...



      0   1  

... 1 ... 0 . . . a n −2 a n −1

được gọi là ma trận Frobenius, hay ma trận bạn của đa thức p (λ ) = λ n − a n − 1 λ n − 1 − a n − 2 λ n − 2 − . . . − a 0 . Khai triển định thức Frobenius theo hàng thứ nhất, các bạn có thể dễ dàng thu được công thức sau: det(λI − A) = p(λ) 9

10

Chương 1. Ma trận - Định thức

Định thức của ma trận ba đường chéo Ma trận ba đường chéo là ma trận vuông J = ( aij )i,nj=1, ở đó aij = 0 với |i − j | > 1. Đặt ai = aii , bi = ai,i +1 , ci = ai +1,i , ma trận ba đường chéo khi đó có dạng:   a1 b1 0 ... 0 0 0   0 0 c1 a2 b2 . . . 0    .   .. 0 0 0  a3  0 c2 . .  .. .. ..  .. .. ... ...  . . .     . 0 0 . . a n − 2 bn − 2 0 0      0 . . . c n − 2 a n − 1 bn − 1  0 0 0 0 0 ... 0 cn −1 a n

Khai triển định thức của ma trận trên theo hàng thứ k, ta được

∆k = a k ∆k−1 − bk−1 ck ∆k−2 với k ≥ 2, ở đó ∆k = det(aij )ik, j=1.

Công thức truy hồi trên đã khẳng định rằng định thức ∆n không những chỉ phụ thuộc vào các số bi , c j mà còn phụ thuộc vào bi ci . Trong trường hợp đặc biệt, kí hiệu a1 −1

0 ... 0 0 0 1... 0 0 0 .. . 0 −1 a3 0 0 0 . . . . . . . .. .. .. .. .. .. (a1 . . . a n ) .. ... 0 0 0 a n −2 1 0 0 0 0 . . . − 1 a n −1 1 0 0 0 ... 0 −1 a n     ta có công thức truy hồi thông qua   liên phân số sau:     (a1 a2 .. . a n ) 1  = a1 +   1  (a2 a3 .. . a n ) a + 2   . 1   a3 + . . +   a n − 1 + a1n        Định thức của ma trận khối     !   A11 A12 Giả sử A = , ở đó A1 1 và A2 2 là các ma trận vuông cấp m và cấp n tương A21 A22 ứng. Đặt D là một ma trận vuông cấp m và B là ma trận cỡ n × m. Định lý 1.2.    A11 A12 DA11 DA12    = | A| .  = | D |.| A| và A21 + BA11 A22 + BA12  A21 A22      

1 a2

   10  

1. Định thức

11

1.3 Bài tập Bài tập 1.8. Cho A là một ma trận phản xứng cấp n lẻ. Chứng minh rằng det A = 0. Bài tập 1.9. Chứng minh rằng định thức của một ma trận phản xứng cấp n chẵn không thay đổi nếu ta cộng thêm vào mỗi phần tử của nó với một số cố định. Bài tập 1.10. Tính định thức của một ma trận phản xứng cấp 2n chẵn thỏa mãn tính chất các phần tử ở trên đường chéo chính bằng 1. Bài tập 1.11. Cho A = ( aij )ni, j=1 , với aij = a |i − j|. Tính det A .    0   1 −1 0  h −1 0  x Bài tập 1.12. Cho ∆3 =  2  và ∆n được định nghĩa tương tự cho n > 3.  x hx h −1     x3 hx 2 hx h  Chứng minh rằng ∆n = (x + h)n .  a b nếu i 6= j i j Bài tập 1.13. Cho C = (cij )in, j=1, với cij = . Tính det C . x nếu i = j i

Bài tập 1.14. Cho ai,i +1 = ci với i = 1, · · · , n, các phần tử khác của ma trận A bằng 0. Chứng minh rằng định thức của ma trận I + A + A2 + . . . + An−1 bằng (1 − c)n−1 , với c = c1 . . . c n . Bài tập 1.15. Tính det(aij )ni, j=1, với aij = (1 − xi y j )−1. Bài tập 1.16. Tính

Bài tập 1.17. Tính

  1 x1 . . . x1n−2 ( x2 + x3 + . . . + xn )n−1    . .  .. ..  .. .. . . .  . .   n −1  1 xn . . . x n−2 ( x + x + . . . + x 1 2 n −1 ) n 1 x1 . . . x1n−2 x2 x3 . . . xn .. .. .. .. . . ... . . n − 2 1 xn . . . xn x1 x2 . . . x n −1

 Bài tập 1.18. Tính | aik...