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Doiff gleich...

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Formelsammlung Differentialrechnung Goniometrie Differentialgleichungen

Tobias Plüss 3. Oktober 2011

Ableitungsregeln Zusammenfassung der wichtigsten Regeln der Differentialrechnung.

Faktorregel y = c · f (x)

Beispiel:

y = 5x2

⇒

y′ = c · f ′ (x)

(1)

y′ = 5 · 2x = 10x

⇒

Summenregel y = f1 (x) + f2 (x) + . . . + fn (x)

⇒

Beispiel: y = 5x2 + 7x3 − 8x4

y′ = f1′ (x) + f2′ (x) + . . . + f n′ (x)

(2)

y′ = 5 · 2x + 7 · 3x2 − 8 · 4x3 = 10x + 21x2 − 32x3

⇒

Produktregel y = f (x) · g (x)

Beispiel:

y′ = f ′ (x) · g (x) + f (x) · g ′ (x)

⇒

y = x2 · sin x

(3)

y′ = 2x · sin x + x2 · cos x

⇒

Quotientenregel y=

f (x) g(x)

y′ =

⇒

f ′ (x) · g (x) − f (x) · g ′ (x) g 2 (x)

Beispiel: y=

7x3 ln x

⇒

y′ =

3 · 7x2 · ln x − 7x3 · ln2 x

⇒

y′ = f ′ (g(x)) · g ′ (x)

(4)

1 x

Kettenregel y = f (g(x)) Beispiel: y = sin x3 y = ln cos 8x

⇒

y′ = cos x3 · 3x2

⇒

y′ =

8 sin 8x 1 · − sin 8x · 8 = − cos 8x cos 8x 2

(5)

Liste von Ableitungen Eine Liste mit gängigen Ableitungen. Funktion x

a

ax

(a ≥ 1)

x

e √ x √ n x

Ableitung ax

a−1

1 + tan2 x

arcsin x arccos x

1 √ 2 x 1

arctan x sinh x

cosh x

cosh x

sinh x

tanh x

1 − tanh2 x

1− 1 n

ln x 1 x 1 xa

− x12 a − xa+1

cos x

tan x

√ 1 1−x2 1 − √1−x 2 1 2 x +1

nx 1 x

sin x

Ableitung

x

ax ln a e

(a > 0)

Funktion

arsinh x

cos x

arcosh x

− sin x

artanh x

√ 1 x2 +1 √ 1 x2 −1 1 1−x2

Dabei gilt stets: n ∈ Z sowie a ∈ R.

Beispiele:

y=

√ 5 x

⇒

y′ =

1 1

5x1− 5

=

1 4

5x 5 √ 2 2x 1 3 ′ y = x2 ⇒ y = · 2x = 4 = 1 1− 1 3x 3 3x 3 3 · (x2 ) 3 1 7 y = 7 ⇒ y′ = − 8 x x 3 3 3√ 1 ′ 2 2 y=x ⇒ y = ·x = x 2 2

3

Goniometrie Zusammenfassung der wichtigsten goniometrischen Formeln.

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tan α ± tan β tan (α ± β) = 1 ∓ tan α tan β sin α tan α = cos α

(6) (7) (8) (9)

Funktionen des doppelten Winkels: sin 2α = 2 sin α cos α 2 tan α sin 2α = 1 + tan2 α cos 2α = cos2 α − sin2 α 2

cos 2α = 1 − 2 sin α 2

(10) (11) (12) (13)

cos 2α = 2 cos α − 1 2 tan α tan 2α = 1 − tan2 α

(14) (15)

sin2 α + cos2 α = 1

(16)

Trigonometrischer Pythagoras:

2

2

(17)

2

2

(18)

sin α = 1 − cos α

cos α = 1 − sin α

4

Differentialgleichungen Differentialgleichung 1. Ordnung Normalform: y′ + g(x) · y = s(x)

(19)

Falls s(x) = 0 ist: homogene Differentialgleichung; falls s(x) 6= 0 ist: inhomogene Differentialgleichung. Lösen der Differentialgleichung erfolgt entweder über einen Ansatz oder über Variation der Konstanten. Hat die Differentialgleichung konstante Koeffizienten, liegt also in der Form y′ + ay = s(x)

(20)

vor, dann kann sie natürlich ebenfalls mit der Variation der Konstanten gelöst werden. Variation der Konstanten Zuerst wird die homogene Differentialgleichung y′ + g(x) · y = 0

(21)

gelöst. Dies kann durch Trennen der Variablen erfolgen. Man erhält die Lösung yh = k · e−G(x)

(22)

Nun wird die Konstante k durch eine noch unbekannte Funktion k(x) ersetzt: yp = k(x) · e−G(x)

(23)

Dies setzt man nun in die inhomogene Differentialgleichung für y ein: g(x) ′

k (x) · e |

−G(x)

z }| { − k(x) · G′ (x) ·e−G(x) +g (x) · k (x) · e−G(x) = s(x) {z } | {z } y′

(24)

y

Hieraus lässt sich k(x) bestimmen. Dieses k (x) setzt man dann in Gleichung 23 ein; die Lösung der Differentialgleichung lautet dann: y = yp = k(x) · e−G(x) 5

(25)

Differentialgleichung 2. Ordnung Normalform: y′′ + a1 y′ + a2 y = s(x)

(26)

Lösen der Differentialgleichung: Zuerst wird die homogene Differentialgleichung gelöst mit Hilfe der charakteristischen Gleichung: k 2 + a1 k + a2 = 0 (27) Die charakteristische Gleichung hat 2 Lösungen: k1 und k2 . Falls • k1 6= k2 und k1 , k2 ∈ R: Die Lösung der homogenen Differentialgleichung lautet yh = c1 ek1 x + c2 ek2 x

(28)

• k1 = k2 = k und k ∈ R: Die Lösung der homogenen Differentialgleichung lautet yh = (c1 x + c2 ) ekx

(29)

• k = δ ± jω, k ∈ C: Die Lösung der homogenen Differentialgleichung lautet entweder yh = eδx (A cos ωx + B sin ωx)

(30)

yh = eδx A sin (ωx + ϕ)

(31)

oder

Die beiden Formen sind gleichwertig. Ist die homogene Differentialgleichung gemäss den oben stehenden Kriterien gelöst, kann nun die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmt werden. Dazu muss ein Ansatz gefunden werden, abhängig von der Störfunktion s(x). Ist • s(x) = Pm (x) · eαx , wobei Pm ein Polynom m-ten Grades ist, dann lautet der Ansatz: yp = Bm (x) · eαx

(32)

wobei Bm ebenfalls ein Polynom m-ten Grades ist. Falls α eine q-fache Lösung der charakteristischen Gleichung ist, dann lauter der Ansatz yp = xq · Bm (x) · eαx

(33)

• s(x) = Pm1 (x) · cos βx + Pm2 (x) · sin βx, wobei die Pm Polynome vom Grad m1 bzw. m2 sind, dann lautet der Ansatz yp = Bm (x) · cos βx + Cm (x) · sin βx

(34)

Hierbei sind Bm und Cm Polynome m-ten Grades mit m = max {m1 , m2 }. Ist jedoch ±jβ eine q-fache Lösung der charakteristischen Gleichung, dann lautet der Ansatz yp = xq · (Bm (x) · cos βx + Cm (x) · sin βx)

(35)

Ist der Ansatz gefunden, dann wird er in die Differentialgleichung eingesetzt, anschliessend kann die Lösung der Differentialgleichung durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden. Die vollständige Lösung der Differentialgleichung lautet dann y = yh + yp

6

(36)

Differentialgleichungen 3. und höherer Ordnung Lösen einer solchen Differentialgleichung erfolgt genau gleich wie bei Differentialgleichungen 2. Ordnung. Lediglich die charakteristische Gleichung lautet anders. Für Differentialgleichungen 3. Ordnung lautet sie k 3 + a1 k 2 + a2 k + a3 = 0 (37) und dementsprechend für eine Differentialgleichung 4. Ordnung k 4 + a1 k 3 + a2 k 2 + a3 k + a4 = 0

(38)

Dabei entsprechen die Koeffizienten an in der charakteristischen Gleichung jeweils den Koeffizienten in der Differentialgleichung: y′′′ + a1 y′′ + a2 y′ + a3 y = s(x) y(4) + a1 y′′′ + a2 y′′ + a3 y′ + a4 y = s(x)

⇒ ⇒

k 3 + a1 k 2 + a2 k + a3 = 0 k 4 + a1 k 3 + a2 k 2 + a3 k + a4 = 0

(39) (40)

Ansonsten gelten dieselben Regeln wie bei Differentialgleichungen 2. Ordnung.

Differentialgleichungen mit Maple Zum Lösen von Differentialgleichungen stellt Maple den Befehl dsolve zur Verfügung. Die einzelnen Ableitungen können mit Strichen oder auch mit dem diff-Befehl eingegeben werden. Entweder also dsolve(y’’(x) + y’(x) + y(x) = 0) oder dsolve(diff(y(x), x, x) + diff(y(x), x) + y(x) = 0) Die Notation mit den Strichen funktioniert auch noch bei höheren als der 3. Ableitung, was ja im normalen Alltagsgebrauch nicht üblich ist (normalerweise wird anstatt y′′′′ lieber y(4) geschrieben). Des Weiteren muss die Differentialgleichung nicht unbedingt in Normalform eingegeben werden, sie kann in jeder beliebigen Form direkt eingegeben werden.

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