Dualraum PDF

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Zusammenfassung zum Dualraum...

Description

1 Definition 1.1

Vorbereitende Begriffe

Def. 1 Linearform. Sei V ein K-Vektorraum. Eine Linearform (auf V ) ist eine lineare Abbildung V → K . Beispiele Linearform (1) Sei V = R2 und ! K = R. W¨ahle nun die kanonische Standardbasis. Damit nehmen Vektoren folgende x . Eine Linearform ist nun: Form an: y ! x 7→ x ϕ : R → R, y 2

(1)

(2) Sei V = K[x]. Sei (bi )i∈N mit bi ∈ K eine Folge. Nun liefert folgende Abbildung eine Linearform: ϕ : K[x] → K,

n X i=0

ai xi 7→

n X

ai bi

(2)

i=0

Aufgrund der Konstruktion als Summe ist diese Abbildung offensichtlich linear und damit eine Linearform. (3) Sei V = {f : R → R|f stetig} und K = R. Dann ist die Auswertung an einer beliebigen Stelle c ∈ R eine Linearform. δc : V → R, f → 7 f (c). (4) Sei V = {f : R → R|f stetig} und K = R. Gegeben a, b ∈ R mit a < b. Dann ist das Integral Rb Rb : V → R, f 7→ a f (x)dx eine Linearform. a

Def. 2 Menge der linearen Abbildungen.

aume. Die Menge aller linearen Abbildungen V → W wird geschrieben als (i) Seien V, W zwei K-Vektorr¨ Hom(V, W ). (ii) Hom(V, W ) wird durch die punktweise Definition von Addition und Skalarmultiplikation zu einem Vektorraum.

1.2

Definition

Def. 3 Dualraum. (i) Die Menge aller Linearformen auf V wird folgendermaßen notiert: V ∗ := Hom(V, K) (ii) Mit der punktweisen Definition von Addition und Skalarmultiplikation wird diese Menge zu einem Vektorraum. Dieser heißt Dualraum. Beispiele Dualraum (1) Sei V = K n . Jede Linearform hat bez¨ uglich der Standardbasis eine Darstellungsmatrix aus K 1×n . 1×n ur einen Vektorraum Umgekehrt liefert jede Matrix aus K eine Linearform ur f¨ V . Da auch die f¨ upfungen einander entsprechen, kann man V ∗ mit dem Vektorraum K 1×n identinotwendigen Verkn¨ fizieren. (2) Sei V = K[x] und die Linearform gegeben durch das zweite Beispiel zu Linearformen. Da man umgealt, kann man die V ∗ kehrt auch zu jeder Linearform ϕ ∈ V ∗ eine Folge (bi )i∈N durch bi := ϕ(xi ) erh¨ mit dem Vektorraum der K-wertigen Folgen identifizieren. Allerdings erkennt man hierbei, dass diese ahrend bei Polynomen (also Elementen aus K[x]) gefordert wird, Vektorr¨aume nicht identisch sind - w¨ dass h¨ ochstens endlich viele der Koeffizienten 6= 0 sind - ist dies bei Folgen nicht der Fall. Eine Folge kann unendlich viele Folgenglieder 6= 0 haben. Seite 1

1.3

Dualbasis

Es sei V ein K-Vektorraum und B eine Basis von V . Aufgrund der eindeutigen Darstellungseigenschaft einer Basis l¨asst sich jedes v ∈ V eindeutig schreiben als endliche Linearkombination der Basisvektoren: X v= aw · w (3) w∈B

W¨ahlt man nun einen Basisvektor und fixiert diesen b, so kann man eine Linearform folgendermaßen definieren: Man bildet einen Vektor auf den eindeutig bestimmten Koeffizienten vor dem Basisvektor b bei der Darstellung eines Vektors in der Basis B ab. Formal korrektasst l¨ sich dies notieren als: X aw · w 7→ ab . (4) b∗ : V → K, v = w∈B

Offensichtlich gilt b∗ ∈ V ∗ . Man kann nun die Menge aller Linearformen dieser Form bilden: B ∗ = {b∗ |b ∈ B } ⊂ V ∗

(5)

uhrend, nur im Fall eines Diese Menge wird als Dualbasis bezeichnet. Allerdings ist diese Bezeichnung irref¨ endlichdimensionalen Ursprungsraums ist die Dualbasis tats¨ achlich Basis des Dualraums. Satz Eigenschaften der Dualbasis. Es seien V ein K-Vektorraum und B eine Basis. (i) Die Dualbasis B ∗ ⊂ V ∗ ist stets linear unabh¨ angig. (ii) Die Dualbasis ist genau dann eine Basis von V ∗ , wenn dim(V ) < ∞. Dann gilt auch dim(V ) = dim(V ∗ ).

1.4

Duale Abbildung und Bidualraum

Def. 4 Duale Abbildung. Seien V, W zwei K-Vektorr¨ aume und ϕ : V → W eine lineare Abbildung (Achtung: keine Linearform). Nun definiert man die duale Abbildung wie folgt: ϕ∗ : W ∗ → V ∗ , f 7→ f ◦ ϕ

(6)

Diese Abbildung ist nun offensichtlich linear und geht in die umgekehrte Richtung wie ϕ. Def. 5 Bidualraum. Es sei V ein K-Vektorraum. Man kann nun den Dualraum des Dualraums bilden, also: V ∗∗ := (V ∗ )∗

(7)

Analog zum Dualraum kann man nun ein einzelnes Element ϕv ∈ V ∗∗ des Bidualraumsur f¨ v ∈ V folgendermaßen charakterisieren: ϕv : V ∗ → K, f 7→ f (v)

(8)

Nun ist offensichtlich, dass die Elemente des Bidualraums lineare Abbildungen sind, amlich n¨ gilt f¨ur beliebige f, g ∈ V ∗ und a ∈ K: (1) ϕv (f + g) = (f + g)(v) = f (v) + g(v) = ϕv (f ) + ϕv (g ) (2) ϕv (a · f ) = (a · f )(v) = a · f (v) = a · ϕv (f ) Satz Eigenschaften des Bidualraums. Es sei V ein K-Vektorraum. (i) Die Abbildung Φ : V → V ∗∗ , v 7→ ϕv

(9)

ist linear und injektiv. (ii) Genau dann ist Φ ein Isomorphismus, wenn dim(V ) < ∞. Seite 2...