Ecuacion calor ejercicios resueltos PDF

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PUCP - C´ alculo aplicado - Ecuaci´ on calor - Ejercicios resueltos

Recordemos: • Contexto general de la ecuaci´ on de calor unidimensional: Una varilla de L cm de longitud, con constante de difusividad t´ermica κ, con superficie lateral aislada, tiene una temperatura inicial de f (x) grados cent´ıgrados en la posici´on x de la misma, 0 < x < L. Sus extremos tienen temperatura constante igual a 0 grados cent´ıgrados. • Problema 1: Escribir la ecuaci´on diferencial (en derivadas parciales) que debe cumplir la funci´on temperatura u(x, t) de la varilla con las condiciones inicial y de frontera. Soluci´ on: Sea u(x, t) la temperatura de la varilla en en la posici´on x y en el instante t. La ecuaci´on diferencial que modela el contexto anterior es: κ

∂u ∂2u = , 2 ∂x ∂t

donde 0 < x < L, t > 0. La condici´on inicial (temperatura inicial) es: u(x, 0) = f (x) Las condiciones de frontera son: u(0, t) = 0 u(L, t) = 0 • Problema 2: Resolver la ecuaci´on de calor dada en el Problema 1, esto es, hallar expl´ıcitamente la funci´on temperatura u(x, t). Soluci´ on: Por el m´etodo de separaci´on de variables (como vimos en clase) sabemos que la funci´on temperatura u(x, t) que resuelve la ecuaci´on de calor es: u(x, t) =

∞ X

Bn sen

n=1

donde las constantes Bn satisfacen 2 Bn = L

Z

 nπx  L

L

f (x) sen 0

 2 2 − n π2 κt

e

 nπx  L

L

,

dx.

Ejercicios resueltos: 1. Una varilla de π cm de longitud, con constante de difusividad t´ermica κ = 0,05 cm2 /seg, con superficie lateral aislada, tiene una temperatura inicial de 9 sen (x) grados cent´ıgrados en la posici´on x de la misma, 0 < x < π. Sus extremos tienen temperatura constante igual a 0 grados cent´ıgrados. a) Escriba la ecuaci´on diferencial (en derivadas parciales) que debe cumplir la funci´on temperatura u(x, t) de la varilla con las condiciones inicial y de frontera. b) Halle u(x, t). c) ¿Cu´al ser´a la temperatura en la posici´on x =

π 4

Soluci´ on:

1

despu´es de 30 segundos?

(a) Sea u(x, t) la temperatura de la varilla en el instante t en la posici´on x. La ecuaci´on diferencial correspondiente al problema es 0,05 uxx = ut , donde 0 < x < π, t > 0. Condici´on inicial: u(x, 0) = f (x) = 9 sen (x) Condiciones de frontera: u(0, t) = 0 u(π, t) = 0 (b) Usando el hecho de que κ = 0,05 y L = π, se tiene u(x, t) =

∞ X

Bn sen (nx) e−n

2

0,05 t

,

n=1

donde las constantes Bn satisfacen Z Z 2 π 2 π 9 sen(x) sen (nx) dx. Bn = f (x) sen (nx) dx = π 0 π 0 Integrando tenemos Bn = 0 si n = 6 1, y B1 = 9. Por tanto, concluimos que u(x, t) = 9e−0,05t sen(x). √   (c) u π4 , 30 = 9 2 2 e−1,5 grados cent´ıgrados. 2. Una varilla de π cm de longitud, con constante de difusividad t´ermica κ = 1 cm2 /seg, con superficie lateral aislada, tiene una temperatura inicial de 100 grados cent´ıgrados en la posici´on x de la misma, 0 < x < π. Sus extremos tienen temperatura constante igual a 0 grados cent´ıgrados. a) Escriba la ecuaci´on diferencial (en derivadas parciales) que debe cumplir la funci´on temperatura u(x, t) de la varilla con las condiciones inicial y de frontera. b) Halle u(x, t). Soluci´ on: (a) Sea u(x, t) la temperatura de la varilla en el instante t en la posici´on x. La ecuaci´on diferencial correspondiente al problema es uxx = ut , donde 0 < x < π, t > 0. Condici´on inicial: u(x, 0) = f (x) = 100 Condiciones de frontera: u(0, t) = 0 u(π, t) = 0

2

(b) Tenemos, u(x, t) =

∞ X

2

Bn sen (nx) e−n t ,

n=1

donde las constantes Bn satisfacen   Z Z 2 π 200 π 200 1 (−1)n − Bn = 100 sen (nx) dx = sen (nx) dx = n π n π 0 π 0 En conclusi´on, u(x, t) =

  ∞ X 200 1 − (−1)n n=1

n

π

2

sen (nx) e−n t ,

donde 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0. 3. Una varilla de 2 cm de longitud, con constante de difusividad t´ermica κ = 0,25 cm2 /seg, con superficie lateral aislada, tiene una temperatura inicial de − sen(πx) + 4 sen(2πx) grados cent´ıgrados en la posici´on x de la misma, 0 < x < 2. Sus extremos tienen temperatura constante igual a 0 grados cent´ıgrados. a) Escriba la ecuaci´on diferencial (en derivadas parciales) que debe cumplir la funci´on temperatura u(x, t) de la varilla con las condiciones inicial y de frontera. b) Halle u(x, t). Soluci´ on: (a) Sea u(x, t) la temperatura de la varilla en el instante t en la posici´on x. La ecuaci´on diferencial correspondiente al problema es 0,25 uxx = ut , donde 0 < x < 2, t > 0. Condici´on inicial: u(x, 0) = f (x) = − sen(πx) + 4 sen(2πx) Condiciones de frontera: u(0, t) = 0 u(2, t) = 0 (b) Usando el hecho de que κ = 1/4 y L = 2, se tiene u(x, t) =

∞ X

Bn sen

n=1

 nπx  2

e−

n2 π2 16

t

,

donde las constantes Bn satisfacen Z 2 Z  nπx   nπx  2 L dx = Bn = f (x) sen f (x) sen dx. L L 0 2 0 Usando las relaciones de ortogonalidad de las funciones seno, se tiene B2 = −1 B4 = 4 y Bn = 0 n 6= 2, 4. Concluimos as´ı que la soluci´on es u(x, t) = − sen (πx) e−

3

π2 4

t

2

− sen(2πx)e−π t ....