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Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Guía para el ETS de Cálculo Vectorial IE ICA ISISA Funciones Vectoriales 1. Para cada función vectorial, calcule r ' (t ) y r ' ' (t ) 1.1 r( t)  (sin t cos t )i  cos2 tj  sintk 1.2 r( t )  (cos 2t )i  e3 t j  (1 / t )k

(Res r ' (t )  cos 2ti  sin 2tj  costk ) (Res. r ' (t)  2 sin 2ti  3e3t j  (1 / t 2)k )

2. Utilice las siguientes funciones de aceleración para determinar las funciones velocidad y posición. Después, si es el caso, calcule la posición en el valor de t dado. 2.1 a( t )  tj  tk ,

v(1)  5 j,

r(1)  0 . Calcule la posición en t  2

9 14   1 1 1 1 ( Res. r (t )   t 3  t   j   t 3  t  k ) 3 2 3  6 2 6

2.2 a( t)  ( 2 * sin t)i  ( 2 * cos t) j  0k , v( / 4)  i  j  k , r ( / 4)  i  2 j  la posición en t 

3 4

2.3 a(t )  4ti  6tj  k ,



 

 4

k . Calcule



( Res. r(t)   2 sin t  2 i   2 cos t  3 j  tk )

v (0)  i  j  k ,



r (0)  i



 1  2 ( Res. r (t )   t 3  t 1 i  t 3  t j   t 2  t k ) 3 2    

v( / 2)  2 i  4 j 

2.4 a (t )  (sin 3t )i  (sin 3t ) j  tk

2 4

k

r ( / 2)  0

1 18   1 3  2  1 9   1  1  3  ( Res. r (t )    sin(3t )  2t  t k)  j   t  i    sin(3t )  4t  8 12  9   9 9  6  9

2.5 a(t )  ( e2 t2 )i  (t 2  1) j  k

v(1)  2i

r (1)  k

3 7  t 2t 1  t2 3 t 1  j    t  k ) ( Res. r (t )   e 2t  2  t  i     4 2 4 12 2 3 4 2 2      4

2

3. Calcule la Longitud de las curvas dadas por las siguientes funciones vectoriales en el intervalo dado: 3 2 3.1 r(t )  t i  t j

[0, 2]

3.2 r (t )  2ti  3tj  t k

[0, 2]

(Res. 9.07)

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Guía para el ETS de Cálculo Vectorial IE ICA ISISA 3.3 r(t)  ( e t cos t )i  (e t sent ) j

1 t  4

3.4 r(t)  cos 3 t i  sen3t j

 6

3.5 r( t )  2 cos ti  2 sin tj  t 2 k

(Res.

2 3

t 

[0, π/2]

3.7 r (t ) 

3

1 t 3i  t 3 j  t3 k , 3

(Res. 3/4)

(Res. 4.158)

 10, 10

3.6 r (t )  2 sin t i  5t j  2 cost k ,

2 ( e 4  e) )

(Res. 20 29 )

2  t  1

3.8 r( t)  (2t)i  (ln t) j  t 2k 1  t  4 3.9 r( t)  (2t2 1)i  (2 t 2 1) j  t3k

(Res. 15 + ln(4))

en el intervalo [0, 2]

(Res. 14.063)

4. Hallar la curvatura k de las curvas dadas por: 1 4.1 r( t)  ti  j t

(k 

4.2 r( t)  4ti  3 cos tj  3 sin tk

( k = 3/25)

4.3 r (t )  (4 cos t )i  (t ) j  (4 sin t )k

( k = 4/17)

4.4 r (t )  (3s ent )i  3 cost j  t k

( k = 3/10)

t   t  t  4.5 r (t )   cos k j  i   sin 2 2 2  





 

2t 3 ) ( t 4  1) 3 / 2





4.6 r (t)   2 cos 2 *t i  2 sin 2 * t j

( k = 1/2)

( k = 1/2)

5. Calcule la curvatura en t=4 de la función r( t)  (3  t)i  ( e t 4 ) j  (8 t  t 2 )k .

   k (4)  3  3/ 2   (2)  

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Guía para el ETS de Cálculo Vectorial IE ICA ISISA Funciones de Varias Variables 6. Calcule las derivadas parciales de primer orden

 f f , x y

.

Resultados

7. Calcule las derivadas parciales de segundo orden: a)fxx, b) fyy,

c) fxy,

d) fyx

Resultados

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Guía para el ETS de Cálculo Vectorial IE ICA ISISA dw utilizando la regla de la cadena. dt 8.1 w  xy  xz  yz , x  t  1 , y  t 2  1 , z  t t 8.2 w  xyz , x  t 2 , y  2t , z  e  x  et cost , y  et sent, z  et 8.3 w  x  y 2  z 2 ,

8. Calcule

(Res.

9. Calcule

dw  e t (cos t  sin t )  2 e2 t (sin 2 t  sin t cos t  1) ) dt

w w y utilizando la regla de la cadena. s t

9.1 w  x 2  y 2 , x  s  t , y  s  t , s  2, t  1 9.2 w  y 3  3 x 2 y , x  es , y  e t, s  0 , t  1 9.3 w  sin(2 x  3 y ) , 9.4 w  x 2  xy  y 2 ,

x  s t , y  s t , s  0 , t   /2 x  s t ,

u  x2  y2  z2 ,

w 0) t

y  st

w w  2st 2 t 2  2st  2s  2t , (Res.  2ts s t

10. Utilice la regla de la cadena para hallar

(Res.

2

s

2

 2st  2s  2t )

u u y donde r t

x  r cost , y  r sin t , z  t :

(Res.

u u  2r ,  2t ) r t

11. Hallar la derivada direccional de la función en la dirección y puntos indicados. 2 5 3 1 , P(2, 0) (Res. ) 11.1 f ( x, y)  xexy  y ,   3 2  11.2 f ( x, y )  sin(2 x  y) ,    , P(4, 1) 3 12. Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado, en la dirección de v. w  y 2  xz , (1, 2, 2),

(Res.2/3)

v = 2i – j + 2k

13. Dada la función f ( x, y)  xe2 y  x cos(3 x) determine: 13.1 El gradiente en el punto (½, 0).

(Res. f (1 / 2,0)  (1 

13.2 La razón de cambio máxima.

(Res. 5.8)

13.3 La tasa de cambio en la dirección de v 

1 i j. 2

(Res. 4.1145)

3 , 1) ) 2

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Guía para el ETS de Cálculo Vectorial IE ICA ISISA 14. Suponga que en cierta región del espacio el potencial eléctrico V está dado por: 1 V ( x, y, z)  2 x  y2  z2 donde V está dado en Volts y x, y, z en cm. 14.1 ¿En qué dirección a partir del punto P(2, 2, -1), V crece con mayor rapidez. (Res. 

2 2 1 i j k) 27 27 27

14.2 ¿En qué dirección a partir del punto P(2, 2, -1), V decrece con mayor rapidez. 14.3 ¿Cuál es la razón de cambio máxima a partir del punto (2, 2, -1)? (Res. 1/9 V/cm) 14.4 Encuentre la razón de cambio del potencial en el punto P(2, 2, -1) en la dirección del vector v=2i–3j+6k. (Res.8/189)

15. Suponga que en cierta región del espacio el potencial eléctrico V está dado por V ( x, y)  e volts, donde la distancia se mide en cm.

2 x

cos(2 y )

15.1 ¿En qué dirección a partir del punto P(0, π/4), V aumenta con mayor rapidez. (Res. -2j) 15.2 Encuentre la razón de cambio del potencial en el punto P(0, π/4) en la dirección del vector (Res. -1 V/cm) v  2 3 i  2j .

16. La temperatura en el punto (x, y) de una placa metálica es T  incremento de calor en el punto (3, 4). (Res.

x . Encuentre la dirección de mayor x  y2 2

7 24 i j) ) 625 625

1 y . 1  x2 y2 17.1 ¿En qué dirección a partir del punto (1, 1) la temperatura crece con mayor rapidez? (Res. -½j) 17.2 ¿En qué dirección a partir del punto (1, 1) la temperatura decrece con mayor rapidez? (Res. ½j) 17.3 ¿Cuál es la tasa de crecimiento? 17.4 ¿Cuál es la razón de cambio en el punto (1, 1), en la dirección de θ = π/4?

17. La temperatura de una placa está dada por T 

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Guía para el ETS de Cálculo Vectorial IE ICA ISISA 18. Suponga que en cierta V ( x, y , z )  5 x 2  3xy  xyz .

región

del

espacio,

el

potencial

eléctrico

V

está

dado

por

18.1 ¿En qué dirección V aumenta más rápidamente en el punto P(3, 4, 5) (Res. 38i+6j+12k) 18.2 ¿Cuál es la mayor razón de cambio en P? (Res. 2 406 ) 18.3 Encuentre la razón de cambio del potencial en P(3, 4, 5) en la dirección del vector v=i+j–k.

19. El campo magnético B, en el punto ( x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centímetros, está dado por la ecuación B  xe

2y

 x cos(xy)  sen( yz) . Calcule en el punto (2, 0, -3):

19.1 La dirección del cambio máximo. (Res. 2 i + j) 19.2 La razón de cambio máximo. (Res. 5 ) 19.3 La razón de cambio del campo en la dirección v  i  2 j  2k . (Res. 0)

20. Dada la función f ( x, y, z)  sin( yz)  ln( x2 ) determine en el punto (1, 1, π): 20.1 El gradiente. (Res. 2i  j  k ) 20.2 La razón de cambio máxima. (Res. 3.85) 20.3 La tasa de cambio en la dirección de v  i  j  k . (Res. -0.0817)

21. Suponga que la temperatura en un punto en el espacio está dada por T (x , y , z ) 

80 , 1  x  2 y2  3 z 2 2

donde T está medida en grados centígrados y x; y; z están en metros. 21.1¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura respecto punto (1, 1, 2)? (Res.

5 ( i  2j  6k ) ) 8

21.2¿Cuál es la tasa máxima de incremento? (Res.

5 41 ) 8

21.3¿Cuál es la razón de cambio en la dirección de v  2i  3 j  k ?

22. Examinar la función para localizar los extremos relativos y puntos silla aplicando el criterio de la segunda derivada. 22.1 f ( x, y)  x 3  3xy  y3 (Res. punto silla:(0, 0), mínimo: (1,1)) 22.2 f ( x, y )  48xy  32 x3  24 y 2 22.3 f ( x, y)  4 xy  2 y 2  x 3  1

(Res. punto silla:(0, 0), máximo: (4/3, 4/3))

22.4 f ( x, y )  3 y  2 y  3 x  6 xy

(Res. punto silla:(0, 0), máximo: (-2,2))

2

3

2

(Res. punto silla:(0, 0), máximo: (1/2, 1/2))

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Guía para el ETS de Cálculo Vectorial IE ICA ISISA 22.5 f (x , y )  x3  3xy 2  15x 12 y 3 22.6 f ( x, y )  3x 3  y 2 18 xy  17 2 2 22.7 f ( x , y)  x  y3  3 xy

(Res. mínimo: (2,1), máximo:(-2,-1), puntos silla:(1,2), (-1,-2)) (Res. punto silla:(0, 0), mínimo: (12, 72)) (Res. punto silla:(0, 0), mínimo: (9/4, 3/2))

23. Se construye una caja rectangular cerrada con un volumen de 160 cm3 empleando tres tipos de materiales. El costo del material para el fondo y la tapa es de $0.18 por cm2, el costo del material para el frente y la parte trasera es de $0.16 por cm2, y el costo del material para los otros dos lados es de $0.12 por cm2. Aplique el criterio de la segunda derivada y: a) Determine la función de costo C(x, y), donde x y y son la longitud y el ancho de la caja respectivamente. b) Calcule las dimensiones de la caja de modo que el costo de los materiales sea el mínimo. (Res. Largo=5.7453cm, Ancho=4.3088cm, Alto=6.4632cm)

c) Calcule el costo de la caja. (Res. $26.73) 24. Aplique el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos con restricciones de la función dada: 24.1

f ( x, y )  x  3 y , sujeta a x 2  y 2  1

(Resultado: Máximo:

24.2

 1 3 f  ,  10 10

  3  1   10 , Mínimo: f      10 ) , 10  10  

f ( x, y )  xy, sujeta a x 2  y 2  2

(Resultado: Máximo:

f 1,1  f   1,1  1, Mínimo: f 1,1  f   1,1  1 )

25. Encuentre tres números positivos cuya suma sea 100 y cuyo producto sea un máximo. Aplique el método de los Multiplicadores de Lagrange. 26. Se disponen de 320 metros de cerca para encerrar un campo rectangular. Calcule el largo y ancho de la cerca para que el área encerrada sea lo más grande posible. Aplique el método de los Multiplicadores de Lagrange. 27. Se han asignado $100,000 para construir una cisterna rectangular. El concreto para construir la base y los lados tiene un costo de $100 por m2 y el material para construir la tapa cuesta $200 por m2. Se busca obtener el máximo volumen. Aplique el método de los multiplicadores de Lagrange y determine: a) b) c)

La función objetivo y la ecuación de restricción Las dimensiones de la cisterna para obtener el máximo volumen El volumen de la cisterna

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Guía para el ETS de Cálculo Vectorial IE ICA ISISA 28. Se diseña una lata cilíndrica con tapa que contendrá 1 litro de líquido. Determine el radio ( r) y la altura (h) de la lata de tal forma que se utilice la mínima cantidad de metal. Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange. (Resultado: h  10.8385 cm, r  5.4192 cm)

29. Se diseña una lata cilíndrica con tapa que contendrá 1 litro de líquido. La tapa y el fondo se construirán con un metal que cuesta $2.0 por cm2. El costado se formará con un metal que cuesta $2.5 por cm2. Se busca que el costo de fabricación sea el mínimo. Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange y determine: 29.1 La función objetivo y la ecuación de restricción. 29.2 El radio (r) y la altura (h) para que el costo sea el mínimo. (Resultado: h = 9.3403 cm, r = 5.8372 cm) El costo de la lata. (Resultado: $1284.58)

29.3

Integrales Múltiples 30. Evalúe las siguientes integrales: 32

30.1   (1  8 xy)dydx

(Res. 57)

01 24

30.2   ( x 2  2 y 2  1)dxdy (Res. 20/3) 10

 sin x

30.3 

 (1  cos x )dydx

(Res. 2)

0 0

1 1





30.4   x 2 y 2  cos(x )  sen(y) dxdy (Res. 0 2

7 2  ) 9 

31. Utilice una integral doble para calcular el área de la región limitada por las gráficas de las funciones indicadas. En casa caso haga un dibujo de la región R.

31.1 31.2 31.3 31.4

Región limitada por x = 0, y = 0, y  4  x2 , en el primer cuadrante. (Res.16/3 u2). Región limitada por y = x, y = –x 2 + 2 (Res. 9/2 u2) 2 Región limitada por y = –x, y = 2x (Res. 1/24 u 2) 2 Región limitada por y = 2x + 1, y = 2x + 1 (Res. 1/3 u2)

2 31.5 Región limitada por y  4  x , y  x  2 .

(Res. 9/2 u2)

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Guía para el ETS de Cálculo Vectorial IE ICA ISISA 32. Evalúe la integral  x 2 y 2dA sobre la región encerrada por las curvas y  x , y  x 2 . Haga un dibujo de R

la región. (Res. 1/54) 33. Evalúe la integral  xseny dA sobre la región encerrada por las curvas y  2 x, y  x 2 . Haga un dibujo de la región. (Res.

1 1 1  sin( 4)  cos(4) ) 4 2 4

34. Utilice una integral doble para calcular el área de la región limitada por las gráficas de y = senx, y = cosx, x = π/4, x = 5π/4. (Res. 2 2 u2).

3 9 x2

35. Usar coordenadas polares para evaluar la integral 

0

 x

2

3/ 2  y 2  dydx . (Res. 243 )

10

0

1  1x2

36. Usar coordenadas polares para evaluar la integral 

e

x  y  dydx . 2

2

(Res.  ( e  1) )

1  1 x2

37. Aplique una integral doble en coordenadas polares para calcular el área del cardiode definido por

r  1 cos . Hacer un dibujo de la región. (Res.

3 2 u ) 2

38. Evalúe la integral triple G xyz 2dv , donde G es la caja rectangular dada por: G = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3 }

(Res. 27/4)

39. Usar una integral triple para hallar el volumen del sólido limitado inferiormente por el plano z = 0 y superiormente por el elipsoide dado por 4x 2  4 y 2  z 2  16 . Hacer un dibujo del sólido. (Res.

32  3 u ) 3

40. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen del cilindrox 2  y 2  1, limitado superiormente 2 2 2 por la esfera x  y  z  9 e inferiormente por el plano z = 0. Hacer un dibujo del sólido. (Res. 9.15 u3)

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Guía para el ETS de Cálculo Vectorial IE ICA ISISA 2 2 41. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen interior al cilindro x  y  4 , limitado superiormente por la esfera x 2  y 2  z 2  16 e inferiormente por el plano z = 0. Hacer un dibujo del sólido.

(Res. 46.98 u3)

42. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen interior al cilindro x 2  y 2  4 , limitado superiormente por el plano z  10 e inferiormente por el paraboloide z  4  x  y . Hacer un dibujo del sólido. (Res. 32 u3) 2

2

43. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen interior al cilindro x 2  y 2  4 , limitado superiormente por el plano z = 5 e inferiormente por el paraboloide z  1  x2  y 2 . Hacer un dibujo del sólido. (Res. 24 u3) 44. En los siguientes problemas emplee una integral triple en coordenadas esféricas para determinar el volumen del sólido que está acotado por las gráficas de las ecuaciones que se indican. En cada caso haga un dibujo del sólido. 44.1

x 2  y 2  z 2  1 (esfera), x 2  y 2  z 2  9 (esfera)

44.2

z 2  x 2  y 2 (cono),

44.3

3z2  x2  y2 (cono),

44.4

z 2  3x 2  3 y 2 (cono),

44.5

3 z2  x2  y2 (cono),

(Res.

104 3 u) 3

x 2  y 2  z 2  9 (esfera) sobre el plano XY

(Res. 18   9 2  u3 ).  x 2  y 2  z 2  1 (esfera) sobre el plano XY (Res. u3). 3 8 3 z  2 (plano), sobre el plano XY u ). (Res. 9

z  2 (plano),

sobre el plano XY

(Res. 8 u3).

Divergencia y Rotacional de un campo Vectorial 45. Calcule la divergencia y rotacional del campo vectorial: F ( x, y, z)  (e x sin y) i  ( e x cos y) j . (Res. rot F ( x, y , z )  2k , div F (x, y , z )  e x seny e x  seny )

46. Calcule el rotacional del campo vectorial dado por F ( x, y, z )  (2 xy)i  ( x 2  z 2 ) j  2zk . (Res. 0). 47. Calcule el rotacional del campo vectorial dado por (1, 2, 1). (Res. 2j – k ).

F ( x , y , z )  ( xyz)i  yj  zk

y evalúe en el punto

48. Calcule la divergencia del campo vectorial dado por F ( x , y , z )  ( x 2 z )i  (2xz ) j  ( yz )k (2, -1, 3). (Res. 11).

en el punto

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Guía para el ETS de Cálculo Vectorial IE ICA ISISA Integrales de Línea y Teorema de Green. 49. Evalúe la integral de línea  xy3ds , donde C es la curva dada por las ecuaciones paramétricas x=4sent, C

y=4cost, z=3t, en el intervalo 0 ≤ t ≤ π/2. (Res. 320). 50. Evalúe la integral de línea ysenz ds donde C es la curva dada por las ecuaciones paramétricas x=cost, c

y=sent, z=t, en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2π 51. Evalúe la integral de línea



C

(6 x2  2 y 2 ) dx  4 xydy donde C es la curva dada por r(t)  ( t )i  (t3 ) j ;

0  t  1 . (Res. 4) 52. Evalúe la integral de línea  xydx  (x  y )dy , donde C está formada por los segmentos de recta (0,0) a c

(2,0) y de (2,0) a (3,2).

(Res. 17/3)

yz 53. Evalúe la integral de línea  xe ds...