Ejercicios resueltos Tema 8 PDF

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EJERCICIO 8.Un investigador dispone de 20 € para realizar las entrevistas de una encuesta en unagran ciudad. El cuestionario se administrará mediante entrevistas telefónicas, siendo elcoste de cada entrevista de 20 €. ¿Qué margen de error deberá asumir considerando unnivel de confianza del 95% y p =...

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EJERCICIO 8.1

Un investigador dispone de 20.000 € para realizar las entrevistas de una encuesta en una gran ciudad. El cuestionario se administrará mediante entrevistas telefónicas, siendo el coste de cada entrevista de 20 €. ¿Qué margen de error deberá asumir considerando un nivel de confianza del 95% y p = q = 0,5?

Solución 8.1

Dado que dispone de 20.000 € y que cada entrevista cuesta 20 €, puede realizar 1.000 entrevistas. Utilizando la fórmula del tamaño muestral para poblaciones infinitas al despejar e.

e=

Z2 ⋅ p⋅q = n

(1,96) 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = 0,03099 1.000

El error con ese presupuesto será aproximadamente del 3,1%

Ejercicio 8.2 En una determinada ciudad deseamos conocer la proporción actual de hogares con más de un automóvil. Por los datos de un estudio anterior sabemos que del total de 30.521 hogares, 12.530 tenían más de un vehículo. Estableciendo un Nivel de Confianza del 95,5% y un error absoluto e = 4%, calcular: a) El tamaño de la muestra requerido para realizar la estimación. b) El tamaño de la muestra si desconociéramos los datos anteriores sobre el número coches por hogar

Solución 8.2 a) A partir de los datos del enunciado podemos conocer la proporción de hogares con más de un vehículo: p=

12.530 = 0,41 30.521

Dado que se trata de una población finita, para calcular el tamaño muestral necesario utilizaremos la siguiente fórmula:

n=

Z 2 pqN 22 ⋅ 0,41⋅ 0,59 ⋅ 30.521 = = 593,25 e 2 ( N −1) + Z 2 pq 0,04 ⋅ (30.520) + 2 2 ⋅ 0,41 ⋅ 0,59

Nótese que q=(1-p) = 0,59

b) Si desconociéramos la proporción de hogares con más de un coche, consideraríamos el caso más desfavorable, es decir p=q=0,5 por tanto el tamaño muestral se calcula de forma análoga al caso anterior, como sigue:

n=

Z 2 pqN 2 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 30.521 = = 612,48 e 2 ( N −1) + Z 2 pq 0,04 ⋅ (30.520) + 2 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5

Como puede observarse, el desconocimiento de la proporción de hogares con más de un vehículo implica la necesidad de un tamaño muestral mayor, para el mismo nivel de confianza y error.

Ejercicio 8.3 En un municipio de 1.500.000 habitantes, se conoce que el 60% suelen realizar sus compras en grandes almacenes. Se ha realizado una encuesta sobre la posibilidad de mantener abiertos dichosa establecimientos todos los domingos del año, con una muestra de 900 personas y un nivel de confianza del 95,5%. a) ¿Qué error máximo se ha admitido? b) ¿Qué tamaño debería tener la muestra para que con el mismo nivel de confianza el error admitido fuera del 2%? c) ¿Qué ocurriría con el tamaño de la muestra si deseáramos aplicar un 99,7% de nivel de confianza? Explique las ventajas e inconvenientes de la ampliación y reducción del nivel de confianza.

Solución 8.3 a) Utilizando la fórmula del tamaño muestral para poblaciones “infinitas”, puede despejarse el valor del error. 2

Z pq n= 2 e

El valor de Z correspondiente al nivel de confianza del 95,5% se obtiene dividiendo 0,9550 entre 2 con lo que se obtiene 0,4775 que en las tablas “Área bajo la curva normal” (tabla Z) coincide con el valor Z = 2. Los valores de p=0,6 y q=0,4 se obtienen del enunciado: 60% de personas que hacen sus compras en grandes almacenes y consecuentemente 40% de personas que no las hacen. Despejando e tenemos:

e=

Z 2 pq = n

(2 )2 × (0,6 ) × (0,4 ) 900

= 0,0327

El error admitido será del 3,27%

b) Directamente de la fórmula utilizada en el apartado a)

n=

Z 2 pq (2 )2 × (0,6 ) × (0,4 ) 0,96 = = = 2400 2 2 0,0004 e (0,02 )

El número de unidades muestrales necesarias con un nivel de confianza del 95,5% y un error admitido del 2% es de 2.400

c) El Z correspondiente al nivel de confianza del 99,7% se obtiene dividiendo 0,9970 entre 2 y buscando en las tablas de la curva normal el valor de Z para el valor obtenido:

0,9970 = 0,4985 que en la tabla Z se corresponde con Z=2,96 2

Volviendo a la fórmula del tamaño muestral:

2

n=

Z 2 pq (2,96 ) × (0,6 )× (0,4 ) 2,1028 = = = 5.256,96 e2 0,0004 (0,02)2

Como puede verse el tamaño de la muestra aumenta de forma sensible al incrementar el nivel de confianza. Un nivel de confianza del 99,7% significa que ese porcentaje de las muestras posibles

arrojarían un valor de p que estaría comprendido entre +2,96 y –2,96 unidades de desviación típica, y sólo un 0,03% de las muestras ofrecerían un valor fuera de dicho intervalo. Al aumentar el nivel de confianza aumenta la proporción de muestras posibles que arrojarán valores comprendidos en el intervalo, pero también crecerá la magnitud del intervalo. También aumentará el tamaño de la muestra necesaria, si quisiéramos mantener el mismo error máximo admitido.

Ejercicio 8.4. Una empresa de publicidad quiere conocer la proporción de hogares en los que se escucha una determinada emisora de radio en una región. Para ello, dicha región, se divide en tres estratos. Municipio A, Municipio B y Área Rural con N1=620, N2=1-210 y N3=340 hogares respectivamente. Las proporciones pi se aproximan por estimaciones de un estudio anterior: p1=0,40, p2=0,45 y p3=0,32. Calcule el tamaño de la muestra para estimar la proporción de oyentes en el conjunto de la región con un error absoluto del 5% y un nivel de confianza del 95,5%.

Solución 8.4 Dada la diferencia de varianzas entre estratos se aconseja realizar una afijación según Neyman.

En primer lugar calculamos el peso de los estratos y la varianza total de la población: Wi

Ni

Pi

piqiWi

Municipio A

620 0,28571429

0,40 0,06857143

Municipio B

1210 0,55760369

0,45 0,13800691

Área Rural

340 0,15668203

0,32 0,03409401

1

0,24067235

Total

2170

Luego la varianza total de la población:

0,24

Por tanto, teniendo en cuenta que estamos ante una población finita:

Obtenemos un tamaño muestral n=327. La afijación de las 327 entrevistas en los estratos según la fórmula:

Aparece calculada en la siguiente tabla: Wi Ni

pi

Municipio A

620

0,28571429

0,4

303,736728

93,3208196

Municipio B

1210

0,55760369

0,45

601,967399

184,949945

Área Rural

340

0,15668203

0,32

158,601892

48,7292355

2170

1

1064,30602

327

Total...