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Unidad Didáctica Introducción El lenguaje Algebraico El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números se llama lenguaje numérico. El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico. La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra. El lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el período de Al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración. Cómo aparecen las letras en matemáticas Para trabajar con cantidades desconocidas y razonar de una manera precisa con ellas. Una cantidad desconocida se suele representar con alguna letra llamada variable. Ejemplos:   

Sea x mi edad. Sea y la edad de mi madre. Entonces y – x son los años que tenía mi madre cuando yo nací.

Como vemos, empleamos letras para representar cualquier número desconocido, realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico (ver ecuaciones). Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente:  Se usan todas las letras del alfabeto.  Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi.  Por lo regular las letras X, Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión algebraica. También el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.

El lenguaje algebraico

Aquí se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje algebraico; cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa estrictamente en estas definiciones: un número cualquiera Se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo: a = un número cualquiera b = un número cualquiera c = un número cualquiera ... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto. 

la suma de dos números cualesquiera a+b = la suma de dos números cualesquiera x+y = la suma de dos números cualesquiera 

la resta de dos números cualesquiera a-b = la resta de dos números cualesquiera m-n = la resta de dos números cualesquiera 

 la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera a-b+c =la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera

el producto de dos números cualesquiera ab = el producto de dos números cualesquiera 

 el cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números cualesquiera) a/b= el cociente de dos números cualesquiera

la semisuma de dos números cualesquiera (a+b)/2= la semisuma de dos números cualesquiera 

el semiproducto de dos números cualesquiera (ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera 

Características del lenguaje algebraico 1.- El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve. El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 • = {±5, ±10, ±15, ...}. En lenguaje algebraico se expresa 5 • n, con n un número entero. 2.- El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general. La propiedad conmutativa del producto se expresa a • b = b • a, donde a y b son dos números cualesquiera. 3.- Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos. El doble de un número es seis se expresa 2 • x = 6. Página 2 de 28

El lenguaje algebraico

Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas. Las expresiones algebraicas surgen al traducir el impreciso lenguaje ordinario al preciso lenguaje matemático. A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de frases con un contenido matemático traducidas al lenguaje algebraico: Frase

Expresión algebraica

La suma de 2 y un número

2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida)

3 más que un número

x+3

La diferencia entre un número y 5

a-5

4 menos que n

4-n

Un número aumentado en 1

k+1

Un número disminuido en 10

z - 10

El producto de dos números

a•b

Dos veces la suma de dos números

2 ( a + b)

Dos veces un número sumado a otro

2a + b

Cinco veces un número

5x

Ene veces (desconocida) un número conocido

n multiplicado por el número conocido

El cociente de dos números

a b

La suma de dos números

x+y

10 más que n

n + 10

Un número aumentado en 3

a+3

Un número disminuido en 2

a–2

El producto de p y q Uno restado a un número

p•q n–1

El antecesor de un número cualquiera

x–1

El sucesor de un número cualquiera

x+1

3 veces la diferencia de dos números

3(a – b)

10 más que 3 veces un número La diferencia de dos números

10 + 3b a–b

La suma de 24 y 19

24 + 19 = 43

19 más que 33

33 + 19 = 52

Dos veces la diferencia de 9 y 4

2(9 – 4) = 18 – 8 = 10

El producto de 6 y 16 3 veces la diferencia de 27 y 21

6 • 16 = 96 3(27 – 21) = 81 – 63 = 18 Página 3 de 28

El lenguaje algebraico

La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado

92 – 42 = 81 – 16 = 65

El cociente de 3 al cubo y 9

33 / 9 = 27 / 9 = 3

12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12

122 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = = 1,5

1. Practicando: expresa en lenguaje algebraico. Escribe de forma simbólica las siguientes expresiones: 

El triple de un número:



El cuádruple de un número:



El séxtuplo de un número:



El óctuple de un número:



El décuplo de un número:



La mitad de un número:



La cuarta parte de un número:



Un quinto de un número:



Los dos tercios de un número:



Las tres quintas partes de un número:



Los ocho séptimos de un número:



Los tres novenos de un número:



Un número es igual a la novena parte de otro:



Un número es igual a la décima parte de otro:



Un número es igual al doble de otro:



Un número es igual al triple de otro:



Un número es cinco veces otro:



Un número es nueve veces otro:



El cuadrado de un número:



El cubo de un número:



La cuarta potencia de un número:



La quinta potencia de un número: Página 4 de 28

El lenguaje algebraico



La raíz cuadrada de un número:



La raíz cúbica de un número:



El cuadrado de un número más su doble:



Completa la tabla atendiendo a los siguientes enunciados: o Teresa tiene x años. o Su hija tiene 25 años menos que ella. o Su madre tiene el doble de edad que ella. o Su padre le saca 6 años a su madre. o Lorenzo tiene 5 años más que Teresa. Edad x

Teresa La hija La madre El padre Lorenzo



Haz corresponder cada enunciado con su expresión algebraica:

1´3x

x 3 2

x 2

x  60

1´3 x 2

60x o La mitad de un número. o El triple de la mitad de un número. o La distancia recorrida en x horas por un tren que viaja a 60 Km/h. o El precio de x kilos de naranjas que cuestan 1´3 € el kilo. o La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tiene x años, tenía 60 cuando nació Pedro. o El área de un triángulo de base 1´3 m y altura x metros.



Diferencia entre:



El cuadrado de la suma de dos números / La suma del cuadrado de dos números.



El triple de la diferencia de dos números / La diferencia del triple de dos números.

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El lenguaje algebraico



Traduce los siguientes enunciados:  El doble de la tercera parte de un número.  El triple de la mitad de la quinta parte de un número.  La quinta parte de cuádruplo de un número.

2. Practicando: expresa en lenguaje algebraico. 1) El doble de un número menos su cuarta parte. 2) Años de Ana Belén dentro de 12 años. 3) Años de Isabel hace tres años. 4) La cuarta parte de un número más su siguiente. 5) Perímetro de un cuadrado. 6) Un número par. 7) Un número impar. 8) Un múltiplo de 7. 9) Dos números enteros consecutivos. 10) Dos números que se diferencian en dos unidades. 11) El doble de un número menos su quinta parte. 12) El quíntuplo de un número más su quinta parte. 13) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años. 14) Dos números se diferencian en 13 unidades. 15) Dos números suman 13. 16) Un hijo tiene 22 años menos que su padre. 17) Dos números cuya suma es 25. 18) La cuarta parte de la mitad de un número. 19) Dimensiones de un rectángulo en el que su largo tiene 6 metros más que el ancho. 20) Un tren tarda tres horas menos que otro en ir de Madrid a Barcelona. 21) Repartir una caja de manzanas entre seis personas. 22) Un número es 10 unidades mayor que otro. 23) Un número menos su mitad más su doble. 24) Un número 5 unidades menor que otro. 25) El cuadrado de un número. 26) Un número y su opuesto. 27) Un número y su inverso. Página 6 de 28

El lenguaje algebraico

28) Veinticinco menos el cuadrado de un número. 29) El cuadrado de un número menos su cuarta parte. 30) Dividir 25 en dos partes. 31) La suma de un número al cuadrado con su consecutivo. 32) La suma de un número con su consecutivo al cuadrado. 33) El cociente entre un número y su cuadrado. 34) La diferencia de dos números impares consecutivos. 35) El producto de un número con su consecutivo. 36) La diferencia de dos números consecutivos elevados al cuadrado. 37) Triple de un número elevado al cuadrado. 38) Restar 7 al duplo de un número al cuadrado. 39) Roberto es cinco años más joven que Arturo. 40) Antonio tiene 20 euros más que Juan. 41) Carmen supera a Concha en tres años. 42) El precio de “m” libros a 49 euros cada uno. 43) El número que es la cuarta parte del número “y”. 44) Dos múltiplos de tres consecutivos. 45) El 25% de un número. 46) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada metro cuesta 8 euros. 47) El beneficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta “a” euros y se vende por “b” euros. 48) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p” euros. 49) El número que representa 12 unidades más que el número “x”. 50) La edad de Juan es ocho veces la de Rafael. 51) El número que representa 20 unidades menos que el número “h”. 52) El número que es tres veces mayor que el número “n”. Considerando un rebaño de “x” ovejas:

53) Número de patas del rebaño. 54) Número de patas si se mueren 6 ovejas. 55) Número de ovejas después de nacer 18 corderillos. 56) Número de ovejas después de dos años si el rebaño crece un cuarto al año. Considerando que Ana tiene “x” euros:

57) Enrique tiene 100 euros más que Ana. Página 7 de 28

El lenguaje algebraico

58) Susana tiene el doble de Enrique. 59) Charo tiene 400 euros menos que Susana.

SOLUCIONES

1) 2x− x/4

31) x2 x 1

2) x + 12

32) x  x 12

3) x – 3

33) x/x2

4)x/4  x 1

34) 2x3−2x1

5) 4x

35) x( x + 1)

6) 2x

36) x 12−x2

7) 2x + 1

37) 3⋅ ⋅ x2

8) 7x

38) 2x2−7

9) x , x + 1

39) x – 5

10) x , x + 2

40) x + 20

11) 2x−x/5

41) x + 3

12) 5xx/5

42) 49m

13) 2x – 5

43) y/4

14) x , x + 13

44) 3x , 3x + 3

15) x , 13 – x

45) 25/100⋅ ⋅x

16) x – 22

46) 8c

17) x , 25 - x

47) b – a

18) x/4

48) 15/p

19) x , x+6

49) x + 12

20) x – 3

50) 8x

21) x/6

51) h – 20

22) x + 10

52) 3n

23) x−x/2 2⋅ ⋅x

53) 4x

24) x – 5

54) 4(x-6)

25) x

2

55) x + 18

26) x , -x

56) x x/4 1/4⋅ ⋅ ⋅x x/4

27) x , 1/x

57) x + 100 Página 8 de 28

El lenguaje algebraico

28) 25−x2

58) 2(x + 100)

29) x2−x/4

59) 2(x + 100) - 400

30) x , 25 – x

Control: el lenguaje algebraico. 

1. la mitad de un número A) 2 · x B) x/2 C) x²



2. el doble de un número más tres A) 2x + 3 B) 2 · (x + 3) C) x/2 + 3



3. el triple de un número menos cuatro A) x - 3 · 4 B) 3 · 4 - x C) 3x – 4



4. la mitad del cubo de un número A) 3 · x /2 B) 3/2 · x C) x3/2



5. siete menos un número A) 7 - 3 B) 7 - x C) x – 7



6. el doble de la suma de dos números A) 2 · (m + n) B) 2 · m + n C) m + n · 2



7. la edad de una persona hace cinco años A) 5 - x B) 32 - 5 C) x – 5



8. el cuadrado más el triple de un número A) 32 + 3 · x B) x2 + 3 · x C) x + 32



9. la quinta parte del triple de un número

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El lenguaje algebraico

A) 3 · 5 /x B) 3 · x / 5 C) x/3 · 5 

10. el triple de la suma de tres números A) 3 · (a + b + c) B) 3 + a + b + c C) a + b + c · 3

Empareja números y letras

1. El anterior de un número 2. El doble de un número, más 3 3. El siguiente de un número 4. El triple de un número 5. El triple de un número menos 5 6. La mitad de un número menos 4 7. Un múltiplo cualquiera de 2 8. Un múltiplo cualquiera de 5 9. Un número impar 10. Un número par

A. B. C. D. E. F. G. H. I. J.

5x x/2 – 4 3x - 5 2x + 3 2x 2x + 1 x+1 2x 3x x-1

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Dos nºs impares consecutivos. El cuadrado de la + de dos nºs El triple de un número impar. La suma de los cubos de dos nº Resta de un nº y su cuadrado. Tres nºs pares consecutivos. Tres nº naturales consecutivos Un número impar. Un número par. Un número par siguiente a 2x

A. B. C. D. E. F. G. H. I. J.

x - x2 2x 2y, 2y + 2, 2y + 4 2a + 1 (a + b)2 2a + 1, 2a + 3 n, n + 1, n + 2 3(2n + 1) 2x +2 x3 +y3

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Dos nºs cuya suma sea 12. El perímetro de un cuadrado. El perímetro de un rectángulo. El área de un cuadrado. El área de un rectángulo. La mitad de n menos 4 unidades La mitad de un número. Reparte dinero entre 5 amigos Un múltiplo de cinco. Un nº menos su mitad.

K. L. M. N. O. P. Q. R. S. T.

x + y = 12 x2 4x x·y x/5 x - x/2 x/2 n/2 - 4 5a 2x + 2y

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

(b·h)/2 2a+2b 3x 3x+2 4l b·h l²

A. B. C. D. E. F. G.

El área de un rectángulo cualquiera. La edad de Juan dentro de dos años. la edad de María hace dos años El área de un cuadrado de lado l. El perímetro de un triángulo equilátero. Al triple de un número le sumamos dos unidades. El área de un triángulo cualquiera. Página 10 de 28

El lenguaje algebraico

8. 9. 10.

x(x+1) x+2 x-2

H. El producto de un número y su consecutivo. I. El perímetro de un rectángulo. J. El perímetro de un cuadrado de lado l.

Valor numérico de una expresión algebraica El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números y realizar a continuación las operaciones que se indican. Se trata de una simple sustitución de letras por números para después hacer los cálculos indicados por la expresión y obtener así un resultado: Ejemplo: Dada la expresión:

Respuesta: 1066 Solución: Sustituimos las letras por los números teniendo en cuenta los signos aritméticos:

9.25 Calcula el valor numérico de: 3a – 2b + 4a + 3b si a = 2 y b = 3 Respuesta: 17 9.26 Calcula el valor numérico de:

Respuesta: 7 9.27 Calcula el valor numérico de:

Respuesta:

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El lenguaje algebraico

9.28 Halla el valor numérico:

para a = 3, b = 4 y c = 5

Respuesta: 9.29 Calcula el valor numérico de:

Para p = 5, a = 2, b = 3 y c = 4 Respuesta: Solución:

9.30 Calcula el valor numérico de: Para a = 5 y b = 3 Respuesta: Solución: Recuerda que si entre paréntesis no hay signos aritméticos, se entiende que se encuentra el signo X. 9.31 Calcula el valor numérico de: Respuesta: 15 9.32 Calcula el valor numérico de: Para a = 1 y b = 2 Cuidado con los signos negativos. Respuesta: -3 9.33 Calcula el valor numérico de: Para

Respuesta: 9.34 Halla el valor numérico de: Página 12 de 28

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Respuesta:

Clasificación de las expresiones algebraicas Monomios Un monomio se define como aquella expresión algebraica que está constituida por coeficientes, exponentes y bases.

Coeficiente numérico: es la cantidad numérica o letra que se encuentra a la izquierda de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se debe sumar o restar dependiendo del signo que tenga. Ejemplos: 7x4 = x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4 – 3x2 = – x2 – x2 – x2 Exponente numérico: es la cantidad que se encuentra arriba a la derecha de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se toma como producto. Ejemplos: 5x3 = 5 (x) (x) (x) 8(– x + 5)2 = 8(– x + 5) (– x + 5) Polinomios Un polinomio es así:

un ejemplo de polinomio este tiene 3 términos Están hechos de: constantes (como 3, -20, o ½) variables (como x e y) exponentes (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc Que se pueden combinar usando: + - × sumas, restas y multiplicaciones... Página 13 de 28

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... ¡pero no divisiones! Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos! ¿Son polinomios o no?

Estos son polinomios:  3x  x-2  3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5 Y estos no son polinomios  2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido  3xy-2 no lo es, porque un exp...