EL0102 2013-2014 Chap-01 Les-Regimes-Variables PDF

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Cours d'électroniques sur les régimes variables avec Mr Zander
EL0102 pris lors de ma licence EEA...

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Chapitre 1 : Les régimes variables

Chapitre 1 : LES REGIMES VARIABLES A. INTRODUCTION Qu’est-ce-ce qu’un régime variable ? C’est par définition le régime que l’on étudie en génie électrique après avoir abordé les notions de régime continu. Le régime variable est celui dans lequel on étudie la réponse des systèmes électriques en fonction de la variable t du temps. Plus précisément, c’est l’étude du comportement d’un circuit électrique lorsque le courant et/ou la tension sont des fonctions du temps, ou encore plus particulièrement l’étude des phénomènes transitoires ou régime transitoire. Quelques exemples de régimes transitoires que l’on rencontre tous les jours : téléphones portables, allumage de la TV, … Ce régime correspond à la durée que mettent tous les systèmes pour se mettre dans le mode de marche normal. Pour cette étude, l’outil mathématique est une brique essentielle. Même si aujourd’hui cet outil assiste de plus en plus les concepteurs, il n’empêche qu’il faut valider à l’aide des mathématiques. En génie électrique, il ne faut pas forcément exceller en mathématique mais avoir une base solide apporté par eux pour aborder au mieux le domaine physique.

B. LES SIGNAUX ELECTRIQUES 1)

Définition

Un signal est défini comme une fonction de plusieurs variables notés s(x,y,…,t,u) dont l’expression analytique n’est pas forcément simple. On distingue et classe les signaux, selon qu’ils soient aléatoires, déterministes ou encore à temps continu.   

Un signal est dit aléatoire si le hasard intervient. Exemple : le signal électrique qui fait sonner votre téléphone. Un signal est dit déterministe si le hasard n’intervient pas. Exemple : le réveil (l’heure est fixée). Un signal est dit à temps continu s’il est déterministe, ne dépendant que d’une seule variable : le temps t. Exemple : un signal que l’on trouve sur une piste de circuit électronique. C’est ce type de signal que nous utiliserons durant ce cours.

Chapitre 1 : Les régimes variables 2)

Propriétés des signaux à temps continu

Un signal à temps continu s(t) est dit causal si ( ) s(t)

t

Un signal à temps continu s(t) est dit périodique de période T si ( entier. t=0

)

(

)

avec n un (T en sec / f en

De cette propriété, on peut définir la fréquence d’un signal périodique noté Hz). s(t)

t t=0

T

2T

Un signal à temps continu s(t) périodique de période T est dit alternatif si ( ) 3)

(

)

Exemple de signaux électriques

En circuit électrique, les signaux électriques utilisés seront uniquement des signaux à temps continu causaux. Les signaux fondamentaux utilisés en circuit électriques sont :  Sinusoïdale  Echelon  Triangulaire (i) Le signal sinusoïdal Il a pour expression mathématique : ()

√

( )

( / √) Il a les propriétés suivantes :  Il est périodique de période T  Il est alternatif car ( ) ( ) La tension électrique transportée jusqu’à votre domicile en est un.

Chapitre 1 : Les régimes variables (ii) Le signal échelon Il a pour expression mathématique : s(t)

() {

1 0

t

Ce signal n’est ni périodique, ni alternatif. Néanmoins, il tient compte des conditions initiales. Lors du branchement de piles dans un appareil électrique, on crée un échelon de tension. (iii) Le signal triangulaire Il a pour expression mathématique : [

[

] ()

] ()

()

(

)

s(t)

t

Ce signal est périodique de période T.

C. RAPPEL DES OUTILS MATHEMATIQUES Savoir transposer des outils mathématiques vus en « mathématiques » dans le domaine de l’électricité. En mathématique, la variable couramment utilisée est x. Or cette variable est dite muette, elle peut par conséquent être remplacée par toutes autres lettres. En électricité, du fait de son existence, la variable utilisée est le temps t.

1)

La dérivée temporelle

Soit une fonction dépendante du temps t notée f. On notera la dérivée de la fonction : ()

Si on dérive une seconde fois cette fonction, on obtient la dérivée seconde : ()

Il en va de même pour les dérivés de rang n.

()

Chapitre 1 : Les régimes variables 2)

Les équations différentielles linéaires d’ordre (n)

Soient s(t)et e(t) des fonctions dérivables à l’ordre n et m respectivement ; on définit une équation différentielle linéaire d’ordre n par () () () () () () Nous nous limiterons aux équations différentielles d’ordre 1 et 2. (i) Les équations différentielles d’ordre 1 Soient s(t) une fonction dérivable à l’ordre 1 et e(t) une fonction continue. On définit une équation différentielle d’ordre 1 par : () () () En électricité, on a couramment la forme suivante : ()

() ()

(ii) Les équations différentielles d’ordre 2 Soient s(t) une fonction dérivable à l’ordre 2 et e(t) une fonction continue. On définit une équation différentielle d’ordre 2 par : () () () () En électricité, on a couramment la forme suivante : ()

()

()

()

avec la pulsation propre et m le coefficient d’amortissement.

3)

Définition de l’operateur moyenne

Soit f(t) une fonction à temps continu. On définit la valeur moyenne par : ∫ ()

où T représente la période du signal La valeur moyenne d’une grandeur décrit une tendance moyenne à cette grandeur. Le produit f(t) par l’élément représente une aire élémentaire. Calculer une valeur moyenne se résume à calculer l’air du signal sur une période.

4)

Définition de l’operateur valeur efficace

Soit f(t) une fonction à temps continu. On définit la fonction efficace notée feff comme la racine carrée de la valeur moyenne du signal au carré. Elle est définie par : √

∫ ()

Chapitre 1 : Les régimes variables où T représente la période du signal Pour calculer la valeur efficace, on calcule l’air du signal élevé au carré, sur une période du signal.

D. METHODE DE RESOLUTION DIFFERENTIELLE DE 1ER ORDRE

D’UNE

EQUATION

La méthode pour résoudre une équation différentielle du 1er ordre consiste à résoudre l’équation dite sans second membre pour obtenir la solution générale sans second membre, puis d’ajouter à cette solution une solution particulière qui vérifie l’équation différentielle. Enfin, on déduit l’unique solution grâce aux conditions initiales. (i)

Recherche de la solution principale de l’équation différentielle dite sans second membre On cherche à résoudre l’équation différentielle donnée par : () () () On écrit cette équation différentielle sans second membre. () () On sépare les différentes variables de cette équation, il vient : () On intègre de part et d’autre ces éléments. ∫

On obtient :

()

∫

()

où k est une constante d’intégration. On écrit la constante k sous la forme logarithme.

On en déduit la solution générale de l’équation sans second membre en utilisant la réciprocité de la fonction logarithme. ()

(ii) Recherche de la solution particulière de l’équation différentielle Une solution particulière de l’équation différentielle du 1er ordre, avec e(t) un échelon d’amplitude constante, est une constante règlement et dans notre cas elle sera : ()

Chapitre 1 : Les régimes variables (iii) Solution de l’équation différentielle du 1er ordre La solution de l’équation différentielle du 1er ordre est une combinaison linéaire de la solution sans second membre et de la solution particulière. ()

On utilise la condition initiale qui donne à t=0s, ( ) pour déterminer la valeur de C. Attention à bien identifier les conditions initiales qui ne sont pas forcément toujours nulles. dans le cas où e(t) = E (échelon d’amplitude E). On obtient La solution de l’équation différentielle est donc : ()

(

)

La représentation graphique donne : e(t si b=1

t t=0

Interprétation des résultats : On peut constater qu’il y’a 2 régimes : le régime transitoire et le régime permanent.  *le régime transitoire est le régime d’établissement ou s(t) ne cesse d’évoluer pour atteindre une valeur correspondante au régime permanent. L’évolution s(t) est exponentielle. Le phénomène lié au régime transitoire est dû à la résolution de l’équation différentielle sans second membre.  Le régime permanent où s(t) accède à une valeur continue : l’évolution de ce régime tend vers une constante. Ce phénomène du régime permanent est dû à la solution particulière. . Quelques remarques : La tangente à l’origine n’est pas nulle mais égale à avec . Le régime permanent est indépendant du temps : c’est le régime continu. A partir d’un graphique, on peut déterminer l’ordre de l’équation différentielle ou encore du système que l’on étudie.

Chapitre 1 : Les régimes variables () ⁄ 63% 95% 99%

Temps

e(t si b=1 99% 95% 63%

t t=0

τ

3τ

5τ

En génie électrique, on définit le temps de réponse mis par le système noté tr(5%) comme le temps mis par le système pour être à 95% de la valeur finale. On remarque par le calcule que pour un système du 1er ordre, le temps de réponse d’un système correspond à ( ) . Le signal e(t) est dépendant du temps et a la forme suivante ( ) constantes. Dans ce cas, l’équation différentielle devient : () () ()

Cas ou le second membre est une fonction du temps

avec e0 et e1 des

Pour résoudre cette équation, on applique la même méthode vu précédemment. On cherche une solution sans second membre qui sera la même que celle précédemment. ()

Puis on cherche une solution particulière. Cette solution particulière aura la même forme que le signal e(t). Dans notre cas, nous allons chercher cette équation sous la même forme. () () (1) avec m et n des constantes On dérive tout d’abord s(t)particulière par rapport au temps. ()

En remplaçant s(t)particulière et suivante :

()

(2) dans l’équation différentielle, on obtient l’équation

Chapitre 1 : Les régimes variables Il faut déterminer les constantes m et n en identifiant terme à terme. Pour ce faire, on établit le système d’équation suivante.

On a directement

{

et

La solution de l’équation différentielle est : ()

Il reste à déterminer C à partir des conditions initiales. Avec à t=0, s(t)=0, on a : (

)

La solution de l’équation différentielle est : ()

(

)

)(

E. METHODE POUR RESOUDRE DIFFERENTIELLE DU 2nde ORDRE

UNE

EQUATION

Comme dans le cas d’un équation différentielle du 1er ordre, la méthode va consister à rechercher une solution sans second membre, de rechercher une solution particulière puis de déterminer les différentes constantes d’intégration à partir des conditions initiales. Une équation différentielle du second ordre s’écrit sous la forme : () () () () avec m le coefficient d’amortissement et la pulsation propre du signal

(i)

Recherche de la solution principale de l’équation différentielle dite sans second membre

m et > 0. L’équation différentielle sans second membre est : () ()

()

Pour résoudre cette équation, on utilise la fonction d’essai ( ) avec M une constante à déterminer et n une des valeurs particulières. Pour trouver toutes ces valeurs, il convient de dériver une première fois, puis une seconde fois cette fonction d’essai et de réinjecter les résultats dans l’équation générale sans second membre. On obtient l’équation suivante :

Soit en factorisant :

(

)

Chapitre 1 : Les régimes variables L’équation différentielle sans second membre est toujours vérifiée à chaque instant t par la fonction () si le terme entre parenthèse est nul. Ceci est obtenu pour 2 valeurs particulières de r, qui sont les racines et du polynôme du second degré appelé aussi équation caractéristique. On résout par conséquent cette équation. ( ) ( ) Il y’a 3 cas à étudier :

;

;

1er cas : : cela signifie que , que les 2 racines sont réelles et que la réponse est de type Apériodique. Les racines de l’équation sont : √ { √ L’expression de la solution sans second membre s’écrit : () avec et et A et B des constantes 2ème cas : : cela signifie que Critique. Les racines de l’équation sont :

, que la racine est double et que la réponse est de type

{

L’expression de la solution sans second membre s’écrit : () ( ) avec C et D des constantes 3ème cas : : cela signifie que , que les 2 racines sont complexes et conjuguées, et que la réponse est de type Pseudo-périodique. Les racines de l’équation sont : {

(√

(√

)

)

L’expression de la solution sans second membre s’écrit : () ( ) avec

√

et et F des constantes.

(ii) Recherche de la solution particulière Nous nous placerons dans l’unique cas où e(t) est un échelon de tension d’amplitude E, et les conditions initiales seront telles que ( ) . On recherche () () () Une solution particulière de l’équation différentielle est ()

Chapitre 1 : Les régimes variables 1)

Famille de solutions de l’équation différentielle du 2nde ordre

Les solutions de l’équation différentielle du 2nde ordre s’écrivent : () Apériodique

(i)

Lorsque

, (m > 1)

() ( Critique

(ii) Lorsque

, (m = 1)

)

Elle est un cas particulier de la réponse périodique. Elle représente la limite entre la réponse apériodique et pseudopériodique

(iii) Lorsque () ( ) Pseudo-périodique

2)

, (m < 1)

Détermination des différentes constantes

Pour déterminer ces différentes constantes et en déduire l’unique solution de l’équation différentielle du 2nde ordre où e(t) est un échelon d’amplitude E, il faut connaître les conditions initiales. Avec 2 conditions initiales, il existe une solution de l’équation différentielle ( ) { ( )

Chapitre 1 : Les régimes variables

F. LES DIPÔLES DE BASE DANS UN CIRCUIT ELECTRIQUE Les circuits linéaires sont décrits à partir de 5 dipôles :  2 dipôles actifs : - Le générateur de tension électrique - Le générateur de courant électrique  3 dipôles passifs : - La résistance - L’inductance (ou bobine) - Le condensateur (ou capacité)

1)

Le générateur de tension

Il impose une tension électrique quel que soit le courant électrique qui traverse. La fonction caractéristique d’un générateur de tension est : ( ) ( ) ( ) En régime variable, il est représenté par le schéma suivant : i(t) e(t)

u(t)

La désactivation du générateur de tension a lieu lorsque la tension électrique est nulle. Il est remplacé par un court-circuit.

u(t)

0V

2)

Le générateur de tension

Il impose un courant électrique quel que soit la tension électrique qui traverse. La fonction caractéristique d’un générateur de courant est : ( ) ( ) ( ) En régime variable, il est représenté par le schéma suivant : i(t) i0(t)

u(t)

La désactivation du générateur de tension a lieu lorsque la tension électrique est nulle. Il est remplacé par un circuit ouvert.

Chapitre 1 : Les régimes variables

u(t)

0V

3)

Les dipôles actifs

(i) La résistance La résistance est représentée par : R

i(t)

u(t)

La fonction caractéristique est ( ) Unité : R est en Ohms (Ω)

()

(ii) L’inductance (ou bobine) L’inductance est représentée par : L i(t)

u(t) La fonction caractéristique est ( ) Unité : L est en Henry (H)

()

(iii) Le condensateur (ou capacité) L’inductance est représentée par : C i(t)

u(t) La fonction caractéristique est ( ) Unité : C’est en Farad (C)

()

G. LOIS GENERALES EN ELECTRICITE Les lois de Kirchhoff définit que la somme des courants dans un nœud est égale à zéro ou que la somme des courants sortants est égale à la somme des courants entrants. i1(t)

i4(t)

i2(t) i3(t)

Chapitre 1 : Les régimes variables La loi des mailles définit que sur un parcours fermé d’un circuit électrique, la somme des tensions est nulle. Lorsque l’on rencontre une tension fléchée dans le sens du parcours, celle-ci est créditée d’un signe positif et réciproquement, si elle est fléchée dans le sens contraire du parcours, celle-ci est créditée d’un signe négatif. u1(t)

u2(t)

()

u4(t)

u3(t)

()

()

()...