Electrodinamica PDF

Preview

Summary

Apuntes-electro...

Description

´ ELECTRODINAMICA

Versi´on del 25 de mayo de 2016

Prefacio

Este apunte ha sido escrito principalmente por G. Rubilar a partir de (e inspirado en) los cursos dictados por el Prof. Enrique Oelker en el Departamento de F´ısica de la Universidad de Concepci´ on, y ha contado con las contribuciones de F. Izaurieta, E. Rodriguez, J. Saez, C. Salas, O. Jim´ enez, F. Torres, P. Mella, J. Oliva, P. Utreras, J. Villegas, P. Mu˜ noz, M.A. Sol´ıs y A. Maldonado. Esta obra ha sido publicada bajo una licencia GPL v3. El c´odigo fuente (pdf)LATEX, as´ı como las figuras en formato editable est´an disponibles en el repositorio GitHub del proyecto.

Otros apuntes en https://sites.google.com/site/apuntesdecienciasfisicas.

“...As´ı, nosotros los mortales, somos inmortales en lo que creamos en com´ un.” Albert Einstein.

i

´Indice general Prefacio

I

1. Electrost´ atica 1 1.1. Introducci´on y conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Campo el´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3. L´ıneas de campo el´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4. Potencial el´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Ecuaci´on de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Condiciones de frontera para el campo el´ectrico en una interfase . . . . . . 7 1.3.1. Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2. Sobre (dis)continuidad de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Soluci´on de la ecuaci´on de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1. Coordenadas Esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Soluci´on de la ecuaci´on de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.1. Soluci´on en t´erminos de Funciones de Green* . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2. Unicidad de la soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6. M´etodo de las im´agenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.1. Conductor plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.2. Conductor esf´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6.3. Conductor Cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7. Energ´ıa potencial el´ectrica de cargas en un campo externo . . . . . . . . . . 20 1.8. Energ´ıa potencial de un sistema de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.8.1. Energ´ıa potencial de un conjunto de cargas puntuales . . . . . . . . 21 1.8.2. Energ´ıa potencial de una distribuci´on continua de cargas . . . . . . 22 1.9. Expansi´on multipolar cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.9.1. Expansi´on Multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.9.2. Distribuciones de carga en campos externos . . . . . . . . . . . . . . 31 1.10. Electrost´atica macrosc´opica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.10.1. Vector y cargas de Polarizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.10.2. Desplazamiento el´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.10.3. Relaci´on Constitutiva, susceptibilidad, permeabilidad . . . . . . . . 37 1.10.4. Medios lineales anis´otropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.10.5. Medios lineales is´otropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.10.6. Ecuaci´on de Poisson y su generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.10.7. Direcciones principales de un medio anis´otropo . . . . . . . . . . . . 40 ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.10.8. Condiciones de frontera para D ii

1.10.9. Caso de un medio lineal e is´otropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.10.10.Modelos microsc´opicos simples de polarizaci´on . . . . . . . . . . . . 45 1.10.11.Energ´ıa electrost´atica en un diel´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.10.12.Fuerzas y torques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2. Magnetoest´ atica 2.1. Corriente y densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Densidad de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Conservaci´on de la carga el´ectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Corrientes Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Campo magn´etico y fuerza magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Potencial vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Divergencia del Campo Magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Ley de Amp`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Ejemplo: Campo magn´etico producido por una l´ınea infinita de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Potencial escalar magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Expansi´on multipolar magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1. Momento dipolar de una espira plana . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2. Relaci´on entre momento magn´etico y momento angular . . . . . . . 2.10. Fuerza y torque sobre una distribuci´on compacta de corriente . . . . . . . . 2.11. Campos magn´eticos en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.1. Magnetizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.2. Excitaci´on magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.3. Condiciones de continuidad en interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.4. Relaci´on constitutiva, susceptibilidad magn´etica . . . . . . . . . . . 2.11.5. Paramagnetismo, diamagnetismo, ferromagnetismo . . . . . . . . . .

50 50 50 51 51 51 52 54 55 56 57 57 58 60 60 61 62 63 65 65 66 67

3. Electrodin´ amica 70 3.1. Ley de inducci´on de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.1.1. Energ´ıa del campo magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.1.2. Fuerzas y torques sobre circuitos magn´eticos . . . . . . . . . . . . . 74 3.2. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3. Conservaci´on de la energ´ıa y Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4. Conservaci´on del momentum lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5. Ondas Electromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5.1. Campos electromagn´eticos y ecuaci´on de la onda . . . . . . . . . . . 79 3.5.2. Ondas electromagn´eticas planas monocrom´aticas . . . . . . . . . . . 80 3.5.3. Ondas electromagn´eticas en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.5.4. ´Indices de reflexi´on y refracci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.5.5. Gu´ıas de onda y cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.6. Potenciales y transformaciones de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4. Teor´ıa Cl´ asica de la Radiaci´ on Electromagn´ etica 87 4.1. Resolviendo las ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.1. Ecuaci´on de Helmholtz inhomog´enea y funci´on de Green independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.2. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2. Ecuaciones de Jefimenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 iii

4.3. Potenciales de Li´enard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3.1. Derivaci´on alternativa* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3.2. Ejemplo: carga en movimiento con velocidad constante . . . . . . . . 94 4.4. Campo electromagn´etico generado por cargas con movimiento acelerado . . 95 4.5. Potencia Radiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.6. F´ormula de Larmor (no-relativista) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.7. Distribuci´on de potencia (correcci´on relativista) . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.8. Scattering de Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.8.1. Correcciones a la f´ormula de Thomson* . . . . . . . . . . . . . . . . 107 ´ y Frecuencia, radiada por cargas aceleradas109 4.9. Distribuci´on de Energ´ıa en Angulo 4.9.1. Caso de movimiento peri´odico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.10. Dipolo de Hertz (dipolo el´ectrico ideal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.11. Radiaci´on de una peque˜ na espira de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.12. Resistencia de radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.12.1. Resistencia de radiaci´on de un dipolo de Hertz . . . . . . . . . . . . 121 4.12.2. Resistencia de radiaci´on de una peque˜na espira . . . . . . . . . . . . 122 4.13. Campos radiativos de una distribuci´on general de carga y corriente . . . . . 122 4.13.1. Expansi´on multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.14. Antenas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5. Introducci´ on a la teor´ıa Especial de la Relatividad 130 5.1. Situaci´on previa a 1905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.1.1. Transformaciones de Galileo* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1.2. El experimento de Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.2. Principios de la Teor´ıa de Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.2.1. Principio de Relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.2.2. Principio de la constancia de la velocidad de la Luz . . . . . . . . . 134 5.2.3. Definiendo posiciones y tiempos de eventos respecto a un SRI . . . . 135 5.2.4. Relacionando mediciones de tiempo entre dos observadores inerciales 136 5.2.5. Velocidad relativa de dos observadores inerciales . . . . . . . . . . . 137 5.2.6. Composici´on de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.2.7. Experimento de Fizeau* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.2.8. Boosts de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.2.9. Relatividad de la Simultaneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.2.10. Dilataci´on del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.2.11. Contracci´ on de la longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.2.12. El cono de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.2.13. Boost en una direcci´on arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.2.14. Incompatibilidad de las definiciones newtonianas de energ´ıa y momentum lineal con el Principio de Relatividad . . . . . . . . . . . . . 149 5.3. La visi´on Cuadridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.3.1. 4-vectores y 4-tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.3.2. M´etrica de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.3.3. Transformaciones de Lorentz infinitesimales* . . . . . . . . . . . . . 156 5.3.4. Transformaciones de Lorentz finitas* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.3.5. Caso de Boost General* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.4. Mec´anica Relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.4.1. 4-velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.4.2. 4-aceleraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.4.3. 4-Momentum y Energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 iv

5.4.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6. Formulaci´ on Covariante de la Electrodin´ amica 167 6.1. Conservaci´on de la carga el´ectrica y ecuaci´on de continuidad . . . . . . . . . 167 6.2. Ecuaciones de Maxwell inhomog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.3. Ecuaciones de Maxwell homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.3.1. Ecuacion de Maxwell homogenea y tensor dual* . . . . . . . . . . . 170 6.4. Transformaci´on de Campos Electromagn´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.4.1. Caso de un boost simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.4.2. Caso de un boost general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.4.3. Invariantes electromagn´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 6.5. Potenciales y transformaciones de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6.5.1. Gauge de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.6. Forma covariante de la Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.6.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.7. Formalismo Lagrangeano* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.7.1. La acci´on para una part´ıcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.7.2. Part´ıcula en un campo electromagn´etico externo . . . . . . . . . . . 183 6.7.3. Formalismo Lagrangeano para sistemas continuos (campos) . . . . . 185 6.7.4. Densidad lagrangeana para el campo electromagn´etico . . . . . . . . 185 6.7.5. Tensor de Energ´ıa-Mom´entum del campo electromagn´etico . . . . . 186 A. Coordenadas curvilineas A.1. Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Coordenadas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Coordenadas Esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192 . 192 . 193 . 193

B. Campos vectoriales, rotores y divergencias

195

C. Sistemas de Unidades 198 C.1. Sistema Internacional de unidades (S.I.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 C.2. Sistema Gaussiano de Unidades (C.G.S.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 C.3. Conversi´on de magnitudes S.I. a Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 D. Constantes F´ısicas (S.I.)

202

1

Cap´ıtulo 1

Electrost´ atica 1.1.

Introducci´ on y conceptos fundamentales

Uno de los conceptos fundamentales para la descripci´on de los fen´omenos electromagn´eticos es el de carga el´ ectrica. La carga el´ectrica es una propiedad f´ısica de los cuerpos, atribuida a ellos precisamente para diferenciar (o, en general, describir) su comportamiento en las interacciones electromagn´eticas. La experiencia ha mostrado que es posible describir las propiedades de la interacci´ on electromagn´etica (por ejemplo, atracci´on, repulsi´on, o ausencia de fuerza) si se asume que la magnitud f´ısica llamada carga el´ectrica puede adoptar valores positivos, negativos (o nulos), y que es una propiedad aditiva (es decir, que la carga el´ectrica total de un sistema formado por otras cargas es la suma algebraica de las cargas constituyentes). En general, la interacci´ on electromagn´etica entre cargas puede ser bastante complicada. Por ejemplo, la fuerza que una carga ejerce sobre otra depende en general no s´olo de la distancia entre ellas, sino tambi´en de sus velocidades y aceleraciones relativas, y presenta adem´as efectos “de retardo” (esto quiere decir que la fuerza que una carga experimenta debido a la otra no depende de la posici´on, velocidad y aceleraci´on de la otra en el mismo instante, sino que en tiempos anteriores). Por esto, comenzaremos estudiando el caso m´as simple en que el sistema de cargas consideradas es estacionario. En esta situaci´on los efectos de retardo y la dependencia con las velocidades y aceleraciones desaparecen, de modo que las fuerzas electrost´ aticas dependen s´ olo de las distancias entre las cargas.

1.1.1.

Ley de Coulomb

En 1785 Coulomb1 establece experimentalmente que la fuerza entre dos cargas muy peque˜ nas comparadas con la distancia que las separa (“puntuales”) es aproximadamente proporcional a la magnitud de las cargas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y en la direcci´ on que las une. Finalmente el sentido de la fuerza es tal que dos cargas de igual signo se repelen y dos de signos opuestos se atraen. Este resultado experimental, y por consiguiente necesariamente aproximado, es la base de la teor´ıa de la interacci´ on electrost´atica. Esta teor´ıa asume entonces que la fuerza entre cargas “puntuales” es exactamente inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y en la direcci´on de la l´ınea que los une, de modo que 1 Charles Augustin de Coulomb: f´ısico e ingeniero franc´ es (1736-1806). Ver http://es.wikipedia.org/ wiki/Charles-Augustin_de_Coulomb.

1

Figura 1.1: Fuerza electrost´atica entre dos cargas puntuales.

Fi ∝

xi − xi′ qq ′ · 2 |~x − ~x′ | |~x − ~x′ | | {z } | {z }

Fi = k

(1.1)

vector unitario

magnitud

Podemos por tanto escribir

.

xi − x′i qq ′ · . 2 |~x − ~x′ | |~x − ~x′ |

(1.2)

El valor de la constante k depende del sistema de unidades usado para medir magnitud de las cargas el´ectricas. Nosotros utilizaremos el sistema internacional SI (MKSA) donde la constante k es denotada como2 1 , (1.3) k := 4πε0 y donde ε0 se conoce como la permitividad del vac´ıo, y entonces Fi =

qq ′ (xi − x′i ) . 4πε0 |~x − ~x′ |3

(1.4) Ley de

Coulomb

En el sistema SI, la constante k tiene el valor k = c2 × 10−7 N m2 C −2 ,

(1.5)

en que c es la velocidad de la luz en el vac´ıo. Su valor es c = 2,99792458 × 108 ms−1 . Con esto k ≈ 9,0 × 109 N m2 C −2 , ε0 ≈ 8,854 × 10−12 C 2 N −1 m−2 . La expresi´on (1.4) es conocida como ley de Coulomb. Adicionalmente, se asume que la (α) fuerza que ejerce un conjunto de N cargas puntuales q (α) , α = 1, · · · N , en posiciones x i sobre una carga q con posici´on xi es     (α) (α) N N (α) xi − x i x − x X X i i qq q Fi = (1.6) q (α)  3 .  3 = (α) 4πε (α)  4πε   0 ~ 0 α=1 ~x − ~x  x − ~x α=1

La suposici´on que esta fuerza sea la suma (vectorial) de las fuerzas individuales que actuar´ıa sobre la carga q debido a cada una de las cargas q (α) es llamado principio de superposici´ on. Note que, como su nombre lo indica, este es un principio en el que se basa la teor´ıa electromagn´etica, ya que no es necesario a priori que la interacci´on electrost´atica respete esta propiedad. En otras palabras, podr´ıa ocurrir (o haber ocurrido) que la fuerza que dos 2

En el sistema gaussiano de unidades (cgs) se define k := 1 de modo que la unidad de carga no es indecgs pendiente: [q] = cm3/2 g 1/2 s−1 . Esta unidad es llamada una unidad electrost´ atica (esu) o un statCoulomb.

2

cargas ejercen sobre una tercera no fuese exactamente la suma vectorial de las fuerzas que cada una de ellas ejerce individualmente. Por ejemplo, hoy sabemos que esto u ´ltimo es lo que efectivamente ocurre con la interacci´on gravitacional (¡no satisface el principio de superposici´on!). En la teor´ıa electromagn´etica se asume que la superposici´on es satisfecha en forma exacta. Como veremos, una consecuencia de este principio es que las ecuaciones que relacionan los campos el´ectricos (y sus respectivas fuerzas) con las distribuciones de carga que las producen est´an descritas por ecuaciones (diferenciales y/o integrales) lineales. Para una distribuci´ on continua de cargas podemos considerar un elemento de volumen dV ′ conteniendo una carga dq ′ = ρ(x′ )dV ′ , donde ρ(x′ ) es la densidad (volum´etrica) de carga (carga por unidad de volumen). Usando el principio de superposici´on podemos escribir la fuerza total que esta distribuci´on ejerce sobre una carga (puntual) de prueba q ...