Erwartungswert Entscheidungsregeln PDF

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Erklärung zur Auswertung...

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Entscheidung und Erwartungswert Der Erwartungswert lässt sich stochastisch entweder aus diskreten oder kontinuierlichen Variablen bestimmen. Diskrete Variablen beziehen sich auf ein Ereignis das mit einer Wahrscheinlichkeit zwischen 1 (trifft voll ein) und 0 (triff auf keinen Fall ein) eintreffen wird. Bsp.: Wie ist mein Erwartung daß es morgen regnet oder nicht? X1 = 0 (kein Regen) X2 = 1 (Regen) Der Wetterbericht gibt eine Regenwahrscheinlichkeit von 60% (p1 = 0,6 ) an => mit 40%iger Wahrscheinlichkeit (p2 = 0,4) wird es dann wohl nicht regnen Erwartungswert: x1∙ p1 + x2 ∙ p2 = 0 x 0,4 + 1 x 0,6 = 0 + 0,6 = 0,6

Der Erwartungswert bei kontinuierlichen Variablen ist ein zu erwartender Durchschnitt eines Wertes gemessen an der jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeit. Dazu braucht man Werte, die mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zu erwarten sind.

Bsp.: Ich mache eine Börsenspekulation und habe eine Wahrscheinlichkeit von 60% (p1 = 0,6) daß eine Aktie um das doppelte steigt- x1 = 5000 Euro wert ist Gleichzeitig besteht aber die 40% ige Chance (p2 = 0,4) , daß die Aktie ihren Kurs einfach beibehält - x2 = 2500 Euro wert ist Welchen Erwartungswert habe ich insgesamt (was erwarte ich, an der Aktie zu verdienen?) x1∙ p1 + x2 ∙ p2 = 5000 Euro ∙ 0,6 + 2500 Euro ∙ 0,4 = 4000 Euro

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1. Die Maximax Regel Man wählt die Alternative, die im günstigsten Fall das höchste Ergebnis bringt

Alternative ai / Umweltzustand ui a1: Keine Aktion a2: Hagelnetz kaufen a3: Versicherung abschließen

Es Hagelt (u1) 0€ (kein Gewinn- alles

Es Hagelt nicht (u2) 5000€ (voller Gewinn)

zerhagelt)

3900€ (Ertrag mit Hagelnetz)

4000€ (das Hagelnetz kostet 1000€ in der Anschaffung)

3500€ (zahlt die

4300€ (die Versicherung

Versicherung bei Hagelschaden)

kostet 700€)

Die Maximax Regel gilt für eher risikobereite und optimistisch orientierte Leute  die Alternative wird gewählt, die am meisten Gewinn abwirft (ohne das Risiko zu bewerten) => Wir tun hier gar nichts und hoffen, daß es nicht hagelt, dann haben wir den größten Gewinn von 5000 €.

2. Die Maximin Regel Man wählt die Alternative, die im ungünstigsten Fall noch das beste Ergebnis bringt. Wenn die Zahlen in der Matrix für einen Schaden stehen, dann minimiert man den maximalen Schaden. Alternative ai / Umweltzustand ui a1: Keine Aktion a2: Hagelnetz kaufen a3: Versicherung abschließen

Es Hagelt (u1)

Es Hagelt nicht (u2)

0€ (kein Gewinn- alles zerhagelt)

5000€ (voller Gewinn)

3900€ (Ertrag mit Hagelnetz)

4000 € (das Hagelnetz kostet 1000€ in der Anschaffung)

3500€ (zahlt die

4300€ (die Versicherung

Versicherung bei Hagelschaden)

kostet 700€)

Ungünstiger Fall hier: Es Hagelt  Den höchsten Ertrag kann ich noch erzielen, wenn ich ein vorher ein Hagelnetz besorgt habe

2

3. Die Hurwicz – Regel ( ≙ Erwartungswert ausrechnen) Alternative ai / Umweltzustand ui a1: Keine Aktion a2: Hagelnetz kaufen a3: Versicherung abschließen

Es Hagelt (u1)

Es Hagelt nicht (u2)

0€ (kein Gewinn- alles zerhagelt) u11

5000€ (voller Gewinn) u12

3900€ (Ertrag mit Hagelnetz) u21

4000 € (das Hagelnetz kostet 1000€ in der Anschaffung)u22

3500€ (zahlt die

4300€ (die Versicherung kostet 700€) u32

Versicherung bei Hagelschaden) u31

Die Hurwicz Regel stellt einen Kompromiss zwischen Maximin und Maximax Regel dar. Es kommt ein zusätzlicher Faktor ins Spiel, den man sich selbst ausdenkt oder der gegeben sein muss. Dieser Faktor bewertet die Umweltzustände hinsichtlich der Eintreffenswahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 (0 und 100%).

Bin ich also eher optimistisch, daß es nicht hageln wird, dann gewichte ich den Umweltzustand „es hagelt nicht“ mit z.B. p2 = 0,8 und den Umweltzustand „es hagelt“ mit p1 = 0,2 (die Summe muss immer 1 ergeben, was 100% entsprechen würde) Die Anwendung der Hurwicz Regel funktioniert dann genauso wie das Ausrechnen des Erwartungswerts bei stochastisch kontinuierlichen Variablen:

a1= u11∙ p1 + u12 ∙ p2 = 0€ ∙ 0,2 + 5000€ ∙ 0,8 = 4000€ a2= u21∙ p1 + u22 ∙ p2 = 3900€ ∙ 0,2 + 4000€ ∙ 0,8 = 3980€ a3= u31∙ p1 + u32 ∙ p2 = 3500€ ∙ 0,2 + 4300€ ∙ 0,8 = 4140€ Das höchste Ergebnis aus den Erwartungswerten ist die Entscheidung: Die Möglichkeit a3 wird am höchsten bewertet. Ich müsste eine Versicherung abschließen.

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4. Die Laplace- Regel Es wird unterstellt, daß alle Umweltzustände gleich wahrscheinlich sind. Deshalb wird einfach der Durchschnitt der Ergebnisse für alle Umweltzustände gebildet. Alternative ai / Umweltzustand ui a1: Keine Aktion a2: Hagelnetz kaufen a3: Versicherung abschließen

Es Hagelt (u1)

Es Hagelt nicht (u2)

0€ (kein Gewinn- alles zerhagelt) u11

5000€ (voller Gewinn) u12

3900€ (Ertrag mit Hagelnetz) u21

4000€ (das Hagelnetz kostet 1000€ in der Anschaffung)u22

3500€ (zahlt die

4300€ (die Versicherung kostet 700€) u32

Versicherung bei Hagelschaden) u31

a1= (0€ + 5000€) :2 = 2500€ a2= (3900€ + 4000€) :2 = 3950€ a3= (3500€ + 4300€) :2 = 3900€ Der höchste Wert gewinnt: Nach der Laplace- Regel würde ich die Handlungsalternative a2 wählen und ein Hagelnetz kaufen.

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5. Die Savage- Niehans - Regel Diese Regel versucht die Handlungsalternative herauszufinden, bei der am wenigsten „Bedauern“ entsteht, wenn ein Fall (Umweltzustand) nicht eintrifft. Ich überprüfe , wo mein Verlust am geringsten pro eintreffendes Ereignis ist. Zunächst wird eine Matrix des Bedauerns aufgestellt. Dazu bestimmt man für jeden möglichen Umweltzustand die Alternative, die das maximale Ergebnis bringen würde. Bei Hagel: die Handlungsalternative mit dem Netz Ohne Hagel: Die Handlungsalternative „nichts tun“ Alternative ai / Umweltzustand ui

Es Hagelt (u1)

a1: Keine Aktion

0€ (kein Gewinn- alles zerhagelt)

5000€ (voller Gewinn)

a2: Hagelnetz kaufen

3900€ (Ertrag mit Hagelnetz)

4000€ (das Hagelnetz kostet 1000€ in der Anschaffung)

a3: Versicherung abschließen

3500€ (zahlt die Versicherung

4300€ (die Versicherung kostet 700€)

bei Hagelschaden)

Es Hagelt nicht (u2)

Daraus ergibt sich die Bedauernsmatrix: Man zieht immer den Wert einer Spalte vom vorher ermittelten Maximalwert der Spalte ab.  Eine zusätzliche Spalte muss angefertigt werden, dann einfach Maximalwert reinschreiben von allen in dieser Zeile ausgerechneten Werten. Spalte

Alternative ai / Umweltzustand ui

Es Hagelt (u1)

Es Hagelt nicht (u2)

Maximaler Wert der Zeilen

a1: Keine Aktion

3900€ - 0€ = 3900€

5000€ -5000€ = 0€

3900€

a2: Hagelnetz kaufen

3900€- 3900€ = 0€

5000€ -4000€ =1000€

1000€

a3: Versicherung abschließen

3900€ -3500€ = 400€

5000€ -4300€ = 700€

700€

Zeile

Aus diesen Maximalwerten der Zeilen sucht man sich den kleinsten Wert aus. Dieser kleinste Wert sagt aus, bei welcher Handlungsalternative ich die geringsten Einbußen hätte, wenn ich beide Umweltzustände als gleich wahrscheinlich 5 einstufe. Also hier Alternative a3: Versicherung abschließen...