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POLITECNICO DI MILANO

Meccanica dei Fluidi Esercizi di Statica dei Fluidi

A cura di: Dalila Vescovi

Jenny Campagnol, Diego Berzi

v2.1

Indice 1 Diagramma delle pressioni 1.1 Richiami teorici . . . . . . . . . 1.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . 1.3 Misuratori di pressione . . . . . 1.3.1 Piezometro . . . . . . . 1.3.2 Manometro semplice . . 1.3.3 Manometro differenziale 1.3.4 Manometro rovescio . . 1.3.5 Esercizi . . . . . . . . .

3 . . . . . . . .

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3 4 10 10 11 13 15 17

2 Spinte su superfici piane 23 2.1 Richiami teorici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Spinte su superfici curve 42 3.1 Richiami teorici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2

1

Diagramma delle pressioni

1.1

Richiami teorici

Legge di Stevino Nelle ipotesi di fluido • in quiete • incomprimibile • pesante vale la seguente legge di Stevino: z˜ +

p = cost γ

dove z˜ `e la quota geodetica, p/γ l’altezza piezometrica e la somma `e detta quota piezometrica. Applicazioni Se vale la legge di Stevino, allora: • una superficie orizzontale `e anche una superficie isobara (e viceversa); • Si definisce piano dei carichi idrostatici relativo (P.C.I.) per un determinato fluido γ il piano per cui la pressione relativa `e nulla p = 0. In un generico punto, la pressione `e data da p = γh dove h `e l’affondamento del punto rispetto al P.C.I.; • Il diagramma delle pressioni segue un andamento lineare, si parla di distribuzione idrostatica delle pressioni; • Dati due punti A e B dello stesso fluido, tali che A si trova ad una quota geodetica maggiore di B, allora pB = pA + γhAB dove hAB `e la differenza tra le quote dei due punti (e non dipende da dove si trova l’origine dell’asse z˜).

3

1.2

Esercizi

Esercizio 1 Supponiamo di avere un serbatoio riempito con tre fluidi di peso specifico differente come mostrato in Fig. 1

M h3 h2

h1

γg

A

γ2

B

γ1

C

pM

Figura 1: Esercizio 1. Dati: pM (pressione misurata dal manometro metallico nel suo baricentro), γg , γ1 , γ2 , geometria (h1 , h2 , h3 ) Determinare la pressione relativa ed assoluta nei punti A, B, C e la posizione del piano dei carichi idrostatici per i tre fluidi. Svolgimento: Consideriamo il fluido pi` u in alto, di peso specifico γg . Applicando la legge di Stevino tra i punti A e M si ottiene pM pA = z˜M + z˜A + γg γg dove z˜A e z˜M sono le quote geodetiche dei punti A e M , e dipendono da dove si trova l’origine dell’asse z˜, mentre pA e pM sono le pressioni nei due punti. pM `e nota dalla misurazione del manometro metallico (poich`e il punto M e il baricentro del manometro si trovano alla stessa quota geodetica), esplicitiamo pA dalla relazione precedente pA = pM + γg (˜ zM − z˜A ) = pM + γg h3 indipendentemente da dove si trova l’origine dell’asse z˜, la differenza tra le quote dei due punti `e h3 ed `e nota. Il fluido in questo caso `e un gas, ci`o significa che γg `e molto piccola, praticamente trascurabile, quindi si ottiene semplicemente pA = pM . 4

Consideriamo ora il fluido di peso specifico γ2 . Applicando la legge di Stevino tra i punti B e A si ottiene: z˜B +

pA pB = z˜A + ⇒ γ2 γ2

pB = pA + γ2 (˜ zA − z˜B ) = pM + γ2 h2 Infine, per l’ultimo fluido otterremo pC = pB + γ1 h1 = pM + γ2 h2 + γ1 h1 . Le pressioni assolute si calcolano a partire da quelle relative aggiungendo la pressione atmosferica assoluta p∗atm: ∗ p∗A = pA + patm ∗ p∗B = pB + patm ∗ p∗C = pC + patm .

Il piano dei carichi idrostatici relativo, per un determinato fluido, `e quello per cui la pressione relativa `e nulla. Consideriamo il fluido di peso specifico γ1 e sia C ′ un punto giacente sul piano dei carichi idrostatici (relativo) per tale fluido. Allora pC ′ = 0, e applicando la legge di Stevino zC ′ = zC +

pC γ1

essendo z˜C ′ la quota geodetica di C ′ . Se definiamo hC = z˜C ′ − z˜C la distanza tra il P.C.I. relativo e il punto C, allora hC =

pC . γ1

In pratica hC `e l’affondamento di C rispetto al pelo libero ‘virtuale’ del liquido che stiamo considerando. Analogamente per il fluido γ2 hB =

pB . γ2

hA =

pA γg

Per il gas γg si ottiene

5

ed essendo γg molto piccolo, il P.C.I. del gas `e molto lontano (tende ad infinito). Analogamente, per i piani dei carichi idrostatici assoluti si ottiene ∗ hC =

p∗C γ1

= h∗C + h∗B =

∗ patm γ1

p∗B γ2

= h∗B +

∗ patm γ2

In Fig. 2 sono riporati i diagrammi delle pressioni e i P.C.I., relativi ed assoluti, nel caso pM > 0; in Fig. 3 nel caso pM < 0. Osservazione: Il P.C.I., per il determinato fluido, passa per il punto di intersezione della retta del diagramma delle pressioni con l’asse p = 0. RELATIVO

M h3 h2 h1

γg

A

γ2

B

γ1

C

pM hB

P.C.I. P.C.I.

hC

ASSOLUTO

γ2

hB*

P.C.I.* γ

pM*

P.C.I. *γ

γ1 hC*

pB

2

1

p*B pC*

pC pM

γ2h2 γ1h1

p*

atm

Figura 2: Diagramma delle pressioni e piani dei carichi idrostatici per l’esercizio 1 per pM > 0.

6

RELATIVO M h3

γg

pM A P.C.I.

h2

γ2

h1

γ1

hB

B

pB

γ2 P.C.I. γ 1

hC C

pC pM

Figura 3: Diagramma delle pressioni e piani dei carichi idrostatici per l’esercizio 1 per pM < 0. Esercizio 2 Si tracci, lungo le superfici evidenziate per il serbatoio in Fig. 4, il diagramma delle pressioni. A h1 B h2

γ D

α C

Figura 4: Esercizio 2. Svolgimento: Dato un punto che giace su una superficie, la pressione, in quel punto, agisce sempre ortogonalmente alla superficie; il modulo `e proporzionale all’affondamento h del punto, rispetto al piano dei carichi idrostatici: p = γh (indipendentemente dall’inclinazione e dalla forma della superficie). Il verso `e rivolto contro la parete, per pressioni positive, nella direzione opposta per pressioni negative. In questo esercizio il piano dei carichi idrostatici relativo `e immediatamente individuato dal pelo libero. Calcoliamo le pressioni nei 4 punti indicati: 7

• punto A: giace sul pelo libero, per cui pA = 0 • punto B: il suo affondamento, rispetto al P.C.I., `e pari a h1 , quindi pB = γh1 • punto C: ha affondamento h1 + h2 pC = γ(h1 + h2 ) • punto D: ha lo stesso affondamento di C pD = pC . Tracciamo il diagramma delle pressioni per le tre superfici: • Superficie DC: la pressione `e costante e pari a γ(h1 + h2 ) su tutta la superficie; inoltre le pressioni sono dirette lungo la verticale e rivolte verso il basso (spinte unitarie esercitate dal fluido sulla superficie CD). • Superficie AB: il diagramma delle pressioni cresce linearmente dal punto A, dove `e nullo, al punto B, dove vale γh1 ; le pressioni sono dirette lungo l’orizzontale e rivolte verso destra. L’angolo che la retta del diagramma delle pressioni forma con l’asse delle p = 0 `e pari a arctan γ . • Superficie BC: il diagramma delle pressioni `e anche in questo caso lineare, e vale γh1 in B e γ(h1 + h2 ) in C. Le pressioni sono ortogonali alla parete BC con verso diretto verso di essa. Con riferimento alla Fig. 5, calcoliamo l’angolo β, tra il prolungamento del piano ove giace BC e la retta del diagramma delle pressioni. Evidentemente pC = L tan β dove L=

h1 + h2 sin α

allora β = arctan (γ sin α) .

8

P.C.I.

A

γ

B

α C

D

P.C.I.

A h1 pB

pB

arctanγ B

β

h2

p

D

D

pC

C

L

α C

Figura 5: Diagramma delle pressioni dell’esercizio 2. Esercizio 3 Si tracci, lungo le superfici evidenziate per i due serbatoi in Fig. 6, il diagramma delle pressioni. Si individui qualitativamente la posizione del piano dei carichi idrostatici (relativo).

A

n 0). Si osservi che, in questo esercizio si `e ipotizzato γ1 > γ2 (ovviamente γm > γ1 ); pertanto la pendenza del diagramma delle pressioni per il fluido γ1 `e maggiore di quella del fluido γ2 . δ pu`o essere positivo o negativo, infatti δ=

(γ1 − γ2 ) (γm − γ1 ) ∆− hD γ1 γ1

La Fig. 12 rappresenta il caso di δ positivo, in Fig. 13 si riporta il caso δ < 0.

14

P.C.I. γ

2

γ

-δ

hD

2

arctan P.C.I. γ1

2

arctan

γ

1

γ

γ

1

D

hC

∆ C

C’

γ

m

γ hD 2

γ∆ m

Figura 13: Diagramma delle pressioni e piani dei carichi idrostatici (δ < 0). 1.3.4

Manometro rovescio

In questo strumento (Fig. 14), il liquido contenuto nel manometro ha un peso specifico inferiore a quello contenuto nei due serbatoi: γm < γ .

γm C’

C

∆ D

γ γ Figura 14: Manometro rovescio. Dati: γ, γm , ∆ Determinare la distanza δ tra i piani dei carichi idrostatici relativi dei due fluidi.

Svolgimento: Sia hC l’affondamento del punto C rispetto al P.C.I. del fluido γ del serbatoio di sinistra e hD quello di D rispetto al P.C.I. del fluido del serbatoio di destra. In questo caso `e possibile stabilire a priori che il P.C.I. di destra si trover`a

15

pi` u in basso di quello di sinistra, poich`e i due serbatoi contengono lo stesso liquido ed essendo γm < γ (Fig. 15). Pertanto risulta hC + ∆ = δ + hD Tracciamo l’isobara in corrispondenza dell’interfaccia tra il fluido γ del serbatoio di sinistra e il fluido γm (punti C e C ′ ), allora pC = pC ′ . Applichiamo il teorema di Stevino • tra C e il P.C.I. per il serbatoio di sinistra: pC = γhC • tra C ′ e D: p D = p C ′ + γm ∆ • tra D e il P.C.I. per il serbatoio di destra: pD = γhD . Mettendo insieme le tre relazioni si ottiene γhD = γhC + γm ∆ per cui hC = hD −

γm ∆ γ

quindi δ = hC + ∆ − hD = hD − γm ∆ + ∆ − hD =

(γ − γm ) ∆. γ

In Fig. 15 sono riportate le posizione del P.C.I. e il diagramma delle pressioni per i due serbatoi. Nota: esiste una terza tipologia di manometri, il manometro metallico. Questo misura la pressione nel suo baricentro (e non nel punto di applicazione!).

16

P.C.I. sx

δ γm

P.C.I. dx

hC hD

C’

C

arctan γ

arctan γ

m

∆ D

γm ∆ γ γ Figura 15: Diagramma delle pressioni e piani dei carichi idrostatici. 1.3.5

Esercizi

Esercizio 4 Si consideri il serbatoio in Fig. 16 al quale sono stati applicati due manometri semplici.

gas

∆2

A

∆1

C

C’

y

γ

γm

B

B’

γm Figura 16: Esercizio 4. Dati: γ, γm , geometria (∆1 , ∆2 ) Determinare y tale per cui il sistema `e in equilibrio. Disegnare inoltre l’andamento delle pressioni nel serbatoio.

17

Svolgimento: In condizioni di equilibrio, la pressione esercitata sulla superficie di interfaccia dal gas `e pari a quella esercitata dal liquido: pA,gas = pA,l . Consideriamo il gas: pA,gas = pC = γm ∆2 essendo la pressione del gas circa costante. Consideriamo la pressione esercitata dal liquido: pA,l = pB − γy pB = pB ′ = γm ∆1 per cui pA,l = γm ∆1 − γy. Sfruttando la condizione di equilibrio si ottiene y=

γm (∆1 − ∆2 ). γ

Il diagramma delle pressioni nel serbatoio `e riportato in Fig. 17.

gas

∆2

A

∆1

C

C’

p = γm ∆ 2 C arctan γ

y

γ

γm

p = γm ∆1 B

B

B’

γm Figura 17: Diagramma delle pressioni per l’esercizio 4.

18

Esercizio 5 Si consideri il serbatoio Fig. 18 al quale sono stati applicati un manometro semplice e un manometro metallico.

gas A

γ

h2 B

h1

C

∆

C’

γm

n

Figura 18: Esercizio 5. Dati: γ, γm , ∆, h1 , h2 Determinare la lettura del manometro metallico n. Svolgimento: n = pB + γ(h1 − h2 ) p B = p C − γm ∆ pC = pC ′ = 0 allora n = γ(h1 − h2 ) − γm ∆. Il punto B si trova in depressione, il segno di n dipende invece dal fatto che γ(h1 − h2 ) sia pi` u grande o pi` u piccolo di γm ∆; nel grafico di Fig. 19 n `e stata ipotizzata positiva.

19

gas A

γ

h2

- γm ∆

B

h1

C

∆

C’

γ

P.C.I.

γm

n

n = γ (h1 - h2 ) - γm ∆

Figura 19: Diagramma delle pressioni per l’esercizio 5. Esercizio 6 Si consideri il serbatoio in pressione di Fig. 20 contenente due liquidi di densit`a diversa. Al serbatoio `e stato applicato un manometro semplice. A

γ2

h3 h2

γ1

C B

C’

∆

h1

γm Figura 20: Esercizio 6. Dati: γ1 , γ2 , γm , ∆, h1 , h2 , h3 Determinare le pressioni in sommit`a e sul fondo del serbatoio, rispettivamente pA e pB .

20

Svolgimento: pA = γm ∆ − γ1 h2 − γ2 h3 pB = γm ∆ + γ1 h1 . pA

A

γ2

h3 h2

γ1

C’

C B

∆

h1

γm

γm∆ γ1h1

Figura 21: Diagramma delle pressioni per l’esercizio 6.

21

Esercizio 7 Si considerino i due serbatoi a pelo libero collegati da un manometro differenziale di Fig. 20.

δ

γ

h1 D

∆

C

γm

Figura 22: Esercizio 7. Dati: γ, γm , δ, h1 Determinare ∆. Svolgimento: p C = p D + γm ∆ pC = γ(∆ + h1 + δ) pD = γh1 quindi γ∆ + γh1 + γδ = γh1 + γm ∆ da cui ∆=

γ δ. γm − γ

22

γ

2 2.1

Spinte su superfici piane Richiami teorici

Si consideri la superficie di area A che giace su un piano inclinato di un angolo α rispetto al piano dei carichi idrostatici P.C.I. (orizzontale) come rappresentato in Fig. 23. La retta di intersezione tra il P.C.I. e il piano contenente la superficie `e detta retta di sponda. Fissiamo un sistema di riferimento in cui l’asse Y coincide con la retta di sponda e l’asse X giace sul piano contenente A ed `e ortogonale a Y .

da pon S i ad Y R e tt

η

α P.C.I. 0

α

XG

A

G

Πp

CS

ξ ξG X

Figura 23: Spinta su superficie piana generica. La spinta esercitata dalla superficie sul fluido `e pari a Z Πp = pˆ ndA A

dove A `e l’area della superficie, p `e la pressione e ˆn `e la normale alla parete entrante nel volume di fluido. Nel caso di superfici piane, ˆn `e costante, per cui  Z pdA ˆn. Πp = A

Inoltre, Z

pdA = pG A

A

essendo pG la pressione nel baricentro G della superficie. Allora Πp = pG Aˆ n. 23

Si osservi che la spinta S, esercitata dal fluido sulla superfcie, `e uguale ed opposta alla spinta Πp , esercitata dalla superficie sul fluido: n. S = −Πp = −pG Aˆ La retta di applicazione di S `e ortogonale alla superficie, e il punto di intersezione tra tale retta e il piano contenente A `e detto centro di spinta CS. Sia ξ la coordinata X di CS (distanza del centro di spinta dalla retta di sponda) e η la coordinata Y . Dall’equilibrio dei momenti si ricava che

dove: M =

ξ=

I M

η=

Ixy M

Z

XdA = XG A

Z

X 2 dA

Z

XY dA

A

I=

A

Ixy =

A

sono rispettivamente il momento statico, il momento di inerzia e il momento centrifugo della superficie A rispetto alla retta di sponda (asse Y ), mentre XG `e la coordinata lungo l’asse X del baricentro ([I] = [L]4 ; [M ] = [L]3 ). Per il teorema degli assi paralleli di Huygens-Steiner si ha ξ = ξG + XG dove ξG = e IG =

Z

IG M

(X − XG )2 dA

A

`e il momento di inerzia della superficie A rispetto all’asse parallelo all’asse Y passante per il baricentro G. IG non dipende dalla posizione del P.C.I. perch`e `e riferito al baricentro: dipende solo dalla forma della superficie; ξG `e la distanza, sull’asse Y , tra il baricentro G e il centro di spinta CS (Fig. 23). Si noti che il centro di spinta CS `e sempre pi` u distante del baricentro dalla retta di sponda.

24

2.2

Esercizi

Esercizio 1 Consideriamo la Fig. 24 e calcoliamo la spinta S esercitata dal fluido γ sulla parete verticale piana ABB ′ A′ . L B’ B

γ h A’ A y

b

z x

Figura 24: Esercizio 1. • Direzione: la spinta `e ortogonale alla parete, quindi `e diretta orizzontalmente (Sy = 0): S = Sxˆi; • Verso: essendo le pressioni positive, la spinta sar` a rivolta contro la parete (per pressione positiva), quindi nel verso delle x positive:  Sx =  S  ; • Modulo:

  S  = p G A

la superficie ABB ′ A′ `e un rettangolo, per cui A = Lh; inoltre il baricentro si trova a met`a altezza, per cui h pG = γ . 2 Allora

  1 S = γh2 L; 2 1 S = γh2 Lˆi. 2

25

• Retta di applicazione: In questo caso la retta di sponda `e ortogonale al piano xy, in Fig. 26 `e rappresentata dal punto B; inoltre l’asse X ha stessa direzione e verso opposto all’asse y. Calcoliamo le coordinate del centro di spinta CS. Sia ξ la distanza di CS dalla retta di sponda (punto B) lungo l’asse y, allora ξ = XG + ξG dove XG =

h e 2 ξG =

IG M

IG . XG A Il valore di IG si trova tabulato per diverse figure geometriche. Per un generico rettangolo di base B ed altezza H, come riportato in Fig. 25, si trova BH 3 IG = . 12 =

H

I G = BH3

G

12

B Figura 25: Momento di inerzia di un rettangolo rispetto ad un asse baricentrico. Per la superficie ABB ′ A′ , la base del rettangolo, rispetto ad una retta parallela alla retta di sponda, `e B = L e l’altezza H = h, per cui Lh3 h ξG = 12 = h 6 · Lh 2 e quindi ξ=

h 2 h + = h. 2 6 3

Dato che la superficie `e verti...