Estimacio - FDFDSFSD PDF

Preview

Summary

FDFDSFSD...

Description

ESTIMADOR DE KAY

1

Formulació del problema

Observem N mostres d’una exponencial pura amb soroll gaussià blanc complex CN (0, 1): √ x[n] = γej(2πf n+θ) + w[n] amb 0 ≤ n ≤ N − 1, on la freqüència discreta f (en el marge −1/2 ≤ f ≤ 1/2) és el paràmetre d’interès, γ és la relació senyal-soroll (SNR), i θ és la fase inicial. Sabem que l’estimador ML de f amb θ coneguda és   fˆML,θ = arg max Re e−jθ X(f ) f

i l’estimador ML de f amb θ desconeguda és:

fˆML = arg max |X(f )|2 f

on X(f ) =

N−1 X

x[n]e−j2πf n

n=0

és la transformada de Fourier del senyal.

2

Idea fonamental

Per evitar tenir que escombrar tot els valors possibles de f en la cerca del màxim, Steven Kay va tenir una idea senzilla i de gran impacte en el mon de les aplicacions del processat de senyal estadístic. L’objectiu de la pràctica és comprendre i analitzar amb MATLAB la seva idea, descrita a continuació. Com que la informació sobre la freqüència es manifesta com un increment linial de la fase de valor 2πf de la mostra n a la mostra n + 1, construïm una transformació de la observació d’aquesta manera: y[n] =

1 phase (x[n + 1]x∗ [n]) 2π

amb 0 ≤ n ≤ N − 2., on lóperador “phase” extreu la fase d’un complex. En l’Appendix teniu demostrat amb idees de trigonometria que, per SNR prou gran, aproximadament tenim que: y[n] ≈ f + v[n] on v[n] es soroll Gaussia real de mitja zero amb la funció d’autocorrelació següent: rv [0] = σv2 rv [1] = rv [−1] = − i rv [m] = 0 per |m| > 1, i on

σ v2 =

1 2

(2π) γ 1

σv2 2

Amb notació vectorial tenim el següent model senzill: y = f1 + v on el vector soroll v te una matriu de covarianza Cv amb tres diagonals no nul·les. Per posar un example, en el cas de N = 5, la Cv és de 4*4 amb la següent estructura: ฀ ฀ 1 −0.5 0 0  −0.5 1 −0.5 0   Cv = σv2  ฀ 0 −0.5 1 −0.5 ฀ 0 0 −0.5 1

El que hem aconseguit és que el paràmetre f aparegui com un nivell de continua sobre y[n]. D’aquesta manera ens trobem amb un problema d’estimació de continua que tant hem treballat al curs, el qual admet el següent estimador “closed-form” (es a dir, sense necessitat de grid search): fˆKAY =

N−2 X

b[n]y[n] = bT y

n=0

on la finestra de Kay és: b=

Cv−11 1T Cv−11

Observeu que de fet el valor trobat de σv2 és irrellevant per construir l’estimador, ja que apareix al numerador i al denominador de la finestra b anterior.

3

Objectiu de la tasca a realitzar

Analitzar amb MATLAB la bias i la variància dels l’estimador fˆML,θ , fˆML i fˆKAY en funció de γ per diferents valors de N . Mostrar amb gràfiques que per sobre d’un determinat valor de relació senyal-soroll, l’estimador de Kay es assimptòticament no esbiaixat i assimptòticament eficient. Pasos sugerits a fer • Generar el senyal amb f = 0.25 i N = 100 i γ = 100. • Construir la matriu Cv de dimensió 99 per 99. • Per una determinada N , calcular la finestra de Kay b i guardar aquest vector. Fer un plot per veure com és. • Contruir l’estimador fˆKAY . • Comprovar que fˆKAY dona un valor molt proper a 0.25.

• Canviar a diferents valors de f i comprovar que fˆKAY els estima be. • Per una determinada N , fer un “for” que provi l’estimador amb diferents realitzacions (fer per exemple 106 proves). Per què vagi ràpid, és important tenir el vector b ja calculat una sola vegada abans de fer les proves per diferents realitzacions.

• A partir de les realitzacions trobar la mitja i la variància de fˆKAY . • Provar diferents valors de N i γ i treure gràfiques. • Sobre les gràfiques de la variància en funció de γ per diferents valors de N , representar també el CRB a partir de la seva expressió vista a classe. 2

• Utilitzar eixos logarítmics (usar la funció “loglog” del MATLAB) per veure be la disminució de la variància respecta a la relació senyal soroll. • (Opcional) Programar i analitzar fˆML,θ i fˆML . Veure que tot i que fˆML va millor que el Kay per baixa SNR, el Kay es molt mes senzill.

4

Appendix. Estudi previ fet per un alumne.

NOTA: Si A és real, B és complex i |B| ≪ A llavors:     imag(B) imag(B) imag(B) ≈ arctan ≈ phase(A + B) = arctan A A + real(B) A

Com a an`alisi previ al que es demana pr`opiament a la pr`actica, resoldrem les questions te`oriques proposades a la descripci´o de l’estimador de Kay. El primer pas ser`a demostrar que y[n] = f + v [n]. Com a punt de partida tenim:

p j2πf n γe + w[n] ! " w[n] p j2πf n 1 + p j2πf n x[n] = γ e γe x[n] =

Si ens fixem en el terme entre par`entesi de la multiplicaci´o veiem que es tracta d’un nombre complex. Podem escriure el seu m`odul: s$

!

w[n] 1 + Re p j2πf n γe

!

"%2 + Im

w[n] p j2πf n γe

I fase: i 3 h Im pγ w[n] j2πfn e 5 i h arctan 4 w[n] Re pγ ej2πfn + 1 2

3

"2

w[n] Quan SN R "" ) p ##: (γ)

s"

# $2 $%2 # w[n] w[n] + Im p j2πf n ≈ 1 1 + Re p j2πf n γe γe

i 3 h %% " " Im pγ w[n] w[n] e j2πfn 4 5 ≈ arctan Im p i h arctan γ ej2πf n + 1 Re pγ w[n] j2πfn e 2

Fent servir l’aproximaci´o de Taylor arctan(x) ∼ x obtenim l’expressi´o: !

j Im w[n] 1 + p j2πf n = 1 · e γe

p

w[n] γ e j2πfn

"

De manera que x[n] queda igual a: !

j Im p x[n] = γ ej2πf n · 1 · e

p

w[n] γ e j2πfn

"

Si ens fixem en el terme imaginari, veiem que

p j = γe

#

! 2πf n+Im p

w[n] p γ e j2πfn

w[n] γ e j2πfn

´es w[n] girat en fase, per`o

w[n] t´e simetria cil´ındrica, aix´ı que si w[n] ∼ CN (0, 1): w[n] p j2πf n ≡ w0 [n] ∼ CN (0, 1) γe # $ w[n] 1 w0 [n] 00 p j2πf n = p ≡ w [n] ∼ CN 0, 2 γ γ γe # $ , 00 1 000 Im w [n] = w [n] ∼ N 0, 2γ El factor 2 davant de γ apareix per la propietat de simetria circular. Per tant: x[n] =

p j(2πf n+w000 [n]) γe

4

"$

Ara podem multiplicar: x[n + 1] · x∗ [n] = γ ej(2πf n+w

000

[n+1]−w000 [n])

2πy[n] ≡ phase [x[n + 1] · x∗ [n]] = 2πf + (w000[n + 1] − w000 [n])

y[n] = f +

w000[n + 1] − w000 [n] = f + v[n] 2π

Un cop hem trobat aix`o passarem al seg¨uent pas, trobar el valor de σv2. De l’apartat anterior es pot deduir que v[n] es soroll Gaussi`a real de mitja zero, per tant:

i h 2 σv2 = Rv [0] = E [v[n] · v ∗ [n]] = E (v[n]) = h# $2 i 2σ 2w000 1 1 1 000 000 E = w [n + 1] − w [n] = · 2 2 2 (2π) (2π) (2π) γ Un cop trobat aix`o, i seguint les instruccions de la pr`actica i la teoria feta a classe, ja podem comen¸car la pr`actica.

5...