Examen Final Calcul 2015 PDF

Preview

Summary

Examen Final Calcul 2015...

Description

` EXAMEN FINAL CALCUL ETSETB 17 de juny de 2015 Notes provisionals: 22 de juny a Atenea. Al.legacions: fins el 25 de juny a Intranet ETSETB. Per veure l’examen 25 de juny a les 12 hores (C3-204a). Notes definitives: 29 de juny. Temps: 3h

Codi de la prova: 230-00001-01–0

4. Sigui f(x) =

{

ax + 4 bx3 + x − 4

si x ≤ 2 si x > 2

Els valors de a i b que fan que la funci´o sigui derivable s´ on: (a) a = −5, b = −1/2 (b) a = 5, b = 1/3 (c) a = 5, b = −1/3 (d) a = 5, b = 1/2 5. Sigui X(s) la transformada de Laplace de la funci´ o x(t) soluci´ o de x′ (t) + x(t) = u(t − 1),

x(0) = 0.

En aquestes condicions el valor de X(1) ´es: 1 (b) 0 (c) e − 1 (d) 2e (a) 3e12

1. La integral ∫

2 1

x−1 dx x(x + 1)2

6. Siguin a, b ∈ R amb b > 0. La transformada de Laplace de la funci´o

val:

π 1 (b) 2 arctg 2 − (a) ln 3 − 2 ln 2 + 3 4 1 3π (d) 2 ln 3 − ln 2 + (c) 3 arctg 2 − 4 4

f(t) = u(t − b)ea(t−b) t2 ´es 2 (s − a)3 ) ( 2 2a 2 a −bs + + (b) e (s − a)2 (s − a)3 s−a ( 2 ) b 2b 2 (c) e−as + + (s − b)3 s − b (s − b)2 ( 2 ) b 2b 2 −bs (d) e + + (s − a)2 (s − a)3 s−a (a) e−bs

2. Considerem la funci´o f (x) = sinh x. Per aplicaci´o directa del teorema del valor mitj` a a la funci´ o f en l’interval [a, b] (on 0 ≤ a < b), s’obt´e: (a) cosh a <

sinh b − sinh a < cosh b b−a

(b) sinh a <

cosh a − cosh b < sinh b b−a

(c) cosh b <

sinh b − sinh a < cosh a b−a

(d) sinh b <

cosh b − cosh a < sinh a b−a

3. Si α > 0 i β > 0, la s`erie √ ∑ 3 1 + nα √ 3 + nβ n≥1 convergeix si, i nom´es si, (a) β ≥ 1 − α (b) β > 2 + 32α (c) β > 2 (d) β < 5

7. Si β > 0, la integral ∫ +∞ 1

xα ) dx ln 1 + x1β (

convergeix si, i nom´es si, (a) β < −α − 1 (b) β > 2α + 3 (d) β ≤ 3α + 1 (c) β ≥ 21 α 8. Les solucions de la inequaci´o x ≤2 x−4 s´ on (a) (−∞, 4) ∪ [8, +∞) (b) [8, +∞) (c) (−∞, 4) (d) (−∞, 4] ∪ (8, +∞)

9. L’as´ımptota obliqua de la funci´o donada per (

)

f (x) = x3 e−1/x − 1 sin quan x → +∞ ´es (a) y = −3x + 6 (c) y = 6x − 3

1 3x

1 1 (b) y = − x + 6 3 1 1 (d) y = − x + 6 3

10. Indiqueu el domini de la funci´o f (x) = ln(1 − ln x) (a) ( e1 , +∞) (b) (−∞, e) (c) (0, e) (d) (1, +∞) 11. Sigui f (x) = (ex − cos x − x) sin x. Un infinit`esim equivalent a f (x) quan x → 0, de la forma cxn , ´es: (a) x (b) x3 2 (c) x (d) cap de les altres 12. El polinomi de Taylor de grau menor o igual que 15 al voltant de x = 0 de f (x) = ´es (a) x4 + x15 /3 (c) x4 + x10 /3

∫

x4

2

et dt

0

(b) x4 + x12 /3 (d) x4 + x8 /3

13. Sigui la funci´o f (x) = x3 − 3x2 +4: (a) el valor m´ınim absolut que pren f a l’interval [1, +∞) ´es 0 (b) el valor m` axim absolut que pren f a l’interval [−1, 5] ´es 4 (c) la funci´ o f a l’interval [−1, 3] no t´e un m` axim relatiu (o local) (d) la funci´ o f a l’interval [−1, 3] no t´e un m´ınim relatiu (o local) 14. Sigui f : R → R derivable tal que limx→−∞ f (x) = limx→+∞ f (x) = 0 , f ′ (x) > 0 si x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) , f ′ (x) < 0 si x ∈ (−1, 1) . Llavors podem afirmar que l’equaci´ o f(x) = 0 t´e: (a) una u ´ nica soluci´ o (b) tres solucions (c) dues solucions (d) no t´e cap soluci´ o

15. El l´ımit lim

x→+∞

(a) 1 (c) e3

(

x − 3 )3x

val: x+6 (b) +∞ (d) cap de les altres

16. Sigui f : [a, b] −→ R una funci´ o tal que f(a)f (b) < 0. Llavors ´es FALS que: (a) si f ´es derivable a (a, b) i cont´ınua a x = a i a x = b, l’equaci´ o f (x) = 0 t´e alguna soluci´o a (a, b) (b) si f ´es injectiva, l’equaci´ o f (x) = 0 t´e com a molt una soluci´o a (a, b) (c) si f ´es cont´ınua a [a, b], l’equaci´ o f (x) = 0 t´e alguna soluci´ o a (a, b) (d) si f ´es creixent, l’equaci´o f (x) = 0 t´e una soluci´ o a (a, b)

17. Suposem que el polinomi de Taylor de grau 33 en x = 0 de f ´es P (x) = x−2x2 +x33 . Llavors, en un entorn de x = 0, la funci´ o f: (a) ´es convexa cap avall (∩) (b) t´e un m´ınim relatiu (c) t´e un punt d’inflexi´ o (d) ´es convexa cap amunt (∪)

18. Les gr`afiques de les funcions f (x) = x4 i g(x) = 4 − 3x2 delimiten una regi´o fitada del pla. La seva `area ´es (a) 14/5 (b) 52/5 (c) 26/5 (d) 28/5 19. L’` area de la regi´o limitada per la gr`afica de e−|x| i l’eix d’abscisses val: (a) 1/2 (b) e2 (c) 2 (d) 1 20. El domini (o camp) de converg`encia de la ∞ ∑ ln n n x ´es: s`erie de pot`encies n n=3 (a) R (c) [−1, 1)

(b) (−1, 1) (d) [−1, 1]

21. Calculeu el valor de la integral ∫ +∞ x sin xe−x dx

22. Doneu la suma de la s`erie convergent 1 (n + 1)! n≥0 ∑

0

(a) 1/2

(b) 0

(c) 3/2

(d) 4

(a) e − 1 (c) e(e + 1)

(b) 1 + e/2 (d) 1

` EXAMEN FINAL CALCUL ETSETB 17 de juny de 2015 Notes provisionals: 22 de juny a Atenea. Al.legacions: fins el 25 de juny a Intranet ETSETB. Per veure l’examen 25 de juny a les 12 hores (C3-204a). Notes definitives: 29 de juny. Temps: 3h

4. Si β > 0, la integral ∫ +∞

xα ) dx ln 1 + x1β

1

(

convergeix si, i nom´es si, (a) β < −α − 1 (b) β > 2α + 3 (d) β ≤ 3α + 1 (c) β ≥ 21 α

Codi de la prova: 230-00001-01–1

1. Suposem que el polinomi de Taylor de grau 33 en x = 0 de f ´es P (x) = x−2x2 +x33 . Llavors, en un entorn de x = 0, la funci´ o f:

5. Les gr`afiques de les funcions f (x) = x4 i g(x) = 4 − 3x2 delimiten una regi´o fitada del pla. La seva `area ´es (a) 52/5 (b) 14/5 (c) 28/5 (d) 26/5

(a) t´e un m´ınim relatiu 6. Doneu la suma de la s`erie convergent

(b) ´es convexa cap avall (∩)

∑

(c) ´es convexa cap amunt (∪)

n≥0

1 (n + 1)!

(d) t´e un punt d’inflexi´ o (a) e − 1 (c) e(e + 1)

(b) 1 + e/2 (d) 1

2. Siguin a, b ∈ R amb b > 0. La transformada de Laplace de la funci´o f (t) = u(t − b)ea(t−b) t2

7. L’as´ımptota obliqua de la funci´o donada per

´es (a) e−bs

(

a2 2a 2 + + (s − a)3 s − a (s − a)2

)

2 (s − a)3 ) ( 2 2b 2 b + + (c) e−bs (s − a)3 s − a (s − a)2 ( 2 ) b 2b 2 −as (d) e + + (s − b)3 s − b (s − b)2 (b) e−bs

3. Indiqueu el domini de la funci´o f (x) = ln(1 − ln x) (a) ( e1 , +∞) (b) (−∞, e) (c) (0, e) (d) (1, +∞)

( ) 1 f (x) = x3 e−1/x − 1 sin 3x quan x → +∞ ´es (a) y = −3x + 6 (c) y = 6x − 3

1 1 (b) y = − x + 6 3 1 1 (d) y = − x + 3 6

8. Les solucions de la inequaci´o x ≤2 x−4 s´ on (a) (−∞, 4) ∪ [8, +∞) (b) [8, +∞) (c) (−∞, 4) (d) (−∞, 4] ∪ (8, +∞)

9. Considerem la funci´o f (x) = sinh x. Per aplicaci´ o directa del teorema del valor mitj` a a la funci´ o f en l’interval [a, b] (on 0 ≤ a < b), s’obt´e: (a) sinh a < (b) cosh a <

cosh a − cosh b < sinh b b−a

sinh b − sinh a < cosh b b−a

(c) sinh b <

cosh b − cosh a < sinh a b−a

(d) cosh b <

sinh b − sinh a < cosh a b−a

13. Sigui X(s) la transformada de Laplace de la funci´ o x(t) soluci´ o de x′ (t) + x(t) = u(t − 1),

x(0) = 0.

En aquestes condicions el valor de X(1) ´es: (c) 2e1 (d) e − 1 (a) 0 (b) 3e1 2 14. Sigui la funci´o f (x) = x3 − 3x2 +4: (a) el valor m` axim absolut que pren f a l’interval [−1, 5] ´es 4 (b) el valor m´ınim absolut que pren f a l’interval [1, +∞) ´es 0

10. Sigui f : [a, b] −→ R una funci´ o tal que f(a)f (b) < 0. Llavors ´es FALS que:

(c) la funci´ o f a l’interval [−1, 3] no t´e un m´ınim relatiu (o local)

(a) si f ´es injectiva, l’equaci´o f(x) = 0 t´e com a molt una soluci´o a (a, b)

(d) la funci´ o f a l’interval [−1, 3] no t´e un m` axim relatiu (o local)

(b) si f ´es derivable a (a, b) i cont´ınua a x = a i a x = b, l’equaci´ o f(x) = 0 t´e alguna soluci´ o a (a, b)

15. Calculeu el valor de la integral

(c) si f ´es creixent, l’equaci´o f (x) = 0 t´e una soluci´ o a (a, b)

∫

(d) si f ´es cont´ınua a [a, b], l’equaci´ o f (x) = 0 t´e alguna soluci´o a (a, b)

2 1

x sin xe−x dx

0

(a) 0

(b) 1/2

(c) 4

(d) 3/2

)3x x−3 val: 16. El l´ımit lim x→+∞ x + 6 (a) 1 (b) +∞ (c) e3 (d) cap de les altres (

11. La integral ∫

+∞

x−1 dx x(x + 1)2

val:

1 π (a) ln 3 − 2 ln 2 + (b) 2 arctg 2 − 4 3 3π 1 (c) 3 arctg 2 − (d) 2 ln 3 − ln 2 + 4 4

12. Sigui f : R → R derivable tal que limx→−∞ f (x) = limx→+∞ f (x) = 0 , f ′ (x) > 0 si x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) , f ′ (x) < 0 si x ∈ (−1, 1) . Llavors podem afirmar que l’equaci´o f(x) = 0 t´e: (a) una u ´ nica soluci´ o (b) tres solucions (c) dues solucions (d) no t´e cap soluci´ o

17. El polinomi de Taylor de grau menor o igual que 15 al voltant de x = 0 de f(x) = ´es (a) x4 + x15 /3 (c) x4 + x10 /3

∫

x4

2

et dt

0

(b) x4 + x12 /3 (d) x4 + x8 /3

18. L’` area de la regi´ o limitada per la gr` afica de e−|x| i l’eix d’abscisses val: (a) e2 (b) 1/2 (c) 1 (d) 2

21. El domini (o camp) de converg`encia de la ∞ ∑ ln n n x ´es: s`erie de pot`encies n n=3

19. Si α > 0 i β > 0, la s`erie 3 ∑√ 1 + nα √ 3 + nβ n≥1 convergeix si, i nom´es si, (a) β ≥ 1 − α (b) β > 2 + 32α (c) β > 2 (d) β < 5 20. Sigui f (x) =

{

ax + 4 bx3 + x − 4

si x ≤ 2 si x > 2

Els valors de a i b que fan que la funci´o sigui derivable s´ on: (a) a = −5, b = −1/2 (b) a = 5, b = 1/3 (c) a = 5, b = −1/3 (d) a = 5, b = 1/2

(a) R (c) [−1, 1)

(b) (−1, 1) (d) [−1, 1]

22. Sigui f(x) = (ex − cos x − x) sin x. Un infinit`esim equivalent a f(x) quan x → 0, de la forma cxn , ´es: (a) x (b) x3 2 (c) x (d) cap de les altres

` EXAMEN FINAL CALCUL ETSETB 17 de juny de 2015 Notes provisionals: 22 de juny a Atenea. Al.legacions: fins el 25 de juny a Intranet ETSETB. Per veure l’examen 25 de juny a les 12 hores (C3-204a). Notes definitives: 29 de juny. Temps: 3h

Codi de la prova: 230-00001-01–2

5. L’` area de la regi´o limitada per la gr`afica de e−|x| i l’eix d’abscisses val: (a) 2

(b) 1

(c) 1/2

(d) e2

6. El domini (o camp) de converg`encia de la ∞ ∑ ln n n x ´es: s`erie de pot`encies n n=3 (a) R (c) [−1, 1)

(b) (−1, 1) (d) [−1, 1]

7. Sigui f(x) = 1. La integral ∫

2 1

x−1 dx x(x + 1)2

val:

1 π (a) ln 3 − 2 ln 2 + (b) 2 arctg 2 − 4 3 3π 1 (c) 3 arctg 2 − (d) 2 ln 3 − ln 2 + 4 4

{

ax + 4 bx3 + x − 4

si x ≤ 2 si x > 2

Els valors de a i b que fan que la funci´o sigui derivable s´ on: (a) a = −5, b = −1/2 (b) a = 5, b = 1/3 (c) a = 5, b = −1/3 (d) a = 5, b = 1/2 8. Suposem que el polinomi de Taylor de grau 33 en x = 0 de f ´es P (x) = x−2x2 +x33 . Llavors, en un entorn de x = 0, la funci´ o f: (a) t´e un punt d’inflexi´ o

2. L’as´ımptota obliqua de la funci´o donada per f (x) = x

3

(

quan x → +∞ ´es

e

1 − 1 sin 3x )

(b) ´es convexa cap amunt (∪) (c) ´es convexa cap avall (∩) (d) t´e un m´ınim relatiu

(a) y = −3x + 6 (c) y = 6x − 3

−1/x

1 1 (b) y = − x + 6 3 1 1 (d) y = − x + 3 6

3. Les solucions de la inequaci´o x ≤2 x−4

9. Sigui f(x) = (ex − cos x − x) sin x. Un infinit`esim equivalent a f(x) quan x → 0, de la forma cxn , ´es: (a) x (b) x3 2 (c) x (d) cap de les altres

10. Considerem la funci´o f(x) = sinh x. Per aplicaci´ o directa del teorema del valor mitj` a a la s´ on funci´ o f en l’interval [a, b] (on 0 ≤ a < b), (a) (−∞, 4) ∪ [8, +∞) (b) [8, +∞) s’obt´e: (c) (−∞, 4) (d) (−∞, 4] ∪ (8, +∞) 4. Sigui f : R → R derivable tal que limx→−∞ f (x) = limx→+∞ f (x) = 0 , f ′ (x) > 0 si x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) , f ′ (x) < 0 si x ∈ (−1, 1) . Llavors podem afirmar que l’equaci´o f(x) = 0 t´e: (a) una u ´ nica soluci´ o (b) tres solucions (c) dues solucions (d) no t´e cap soluci´ o

(a) cosh b < (b) sinh b <

sinh b − sinh a < cosh a b−a

cosh b − cosh a < sinh a b−a

(c) cosh a <

sinh b − sinh a < cosh b b−a

(d) sinh a <

cosh a − cosh b < sinh b b−a

11. Les gr`afiques de les funcions f (x) = x4 i g(x) = 4 − 3x2 delimiten una regi´o fitada del pla. La seva `area ´es (a) 26/5 (b) 28/5 (c) 14/5 (d) 52/5

n≥0

(a) e − 1 (c) e(e + 1)

(a) la funci´ o f a l’interval [−1, 3] no t´e un m` axim relatiu (o local) (b) la funci´ o f a l’interval [−1, 3] no t´e un m´ınim relatiu (o local)

12. Doneu la suma de la s`erie convergent ∑

16. Sigui la funci´o f (x) = x3 − 3x2 +4:

1 (n + 1)!

(c) el valor m´ınim absolut que pren f a l’interval [1, +∞) ´es 0 (d) el valor m` axim absolut que pren f a l’interval [−1, 5] ´es 4

(b) 1 + e/2 (d) 1

13. Sigui f : [a, b] −→ R una funci´ o tal que f(a)f (b) < 0. Llavors ´es FALS que:

17. El polinomi de Taylor de grau menor o igual que 15 al voltant de x = 0 de f(x) =

(a) si f ´es cont´ınua a [a, b], l’equaci´o f (x) = 0 t´e alguna soluci´o a (a, b) (b) si f ´es creixent, l’equaci´o f(x) = 0 t´ e una soluci´ o a (a, b) (c) si f ´es derivable a (a, b) i cont´ınua a x = a i a x = b, l’equaci´o f(x) = 0 t´e alguna soluci´ o a (a, b) (d) si f ´es injectiva, l’equaci´o f (x) = 0 t´e com a molt una soluci´o a (a, b) 14. Siguin a, b ∈ R amb b > 0. La transformada de Laplace de la funci´o

x4

2

et dt

0

(b) x4 + x12 /3 (d) x4 + x8 /3

18. Sigui X(s) la transformada de Laplace de la funci´ o x(t) soluci´ o de x′ (t) + x(t) = u(t − 1),

x(0) = 0.

En aquestes condicions el valor de X(1) ´es: 1 (d) 0 (a) e − 1 (b) 2e (c) 3e12 )3x x−3 val: 19. El l´ımit lim x→+∞ x + 6 (a) 1 (b) +∞ (c) e3 (d) cap de les altres (

a(t−b) 2

f (t) = u(t − b)e

´es (a) x4 + x15 /3 (c) x4 + x10 /3

∫

t

´es (a) e−as

(

b2 2b 2 + + (s − b)3 s − b (s − b)2

(b) e−bs

(

b2 2b 2 + + 2 (s − a) (s − a)3 s−a

) )

2 (s − a)3 ( 2 ) a 2a 2 −bs (d) e + + (s − a)2 (s − a)3 s−a (c) e−bs

15. Indiqueu el domini de la funci´o f (x) = ln(1 − ln x) (a) ( e1 , +∞) (b) (−∞, e) (c) (0, e) (d) (1, +∞)

20. Si β > 0, la integral ∫ +∞ 1

xα ) dx ln 1 + x1β (

convergeix si, i nom´es si, (a) β < −α − 1 (b) β > 2α + 3 (d) β ≤ 3α + 1 (c) β ≥ 21 α 21. Calculeu el valor de la integral ∫ +∞ x sin xe−x dx 0

(a) 3/2

(b) 4

(c) 1/2

(d) 0

22. Si α > 0 i β > 0, la s`erie 3 ∑√ 1 + nα √ 3 + nβ n≥1 convergeix si, i nom´es si, (a) β ≥ 1 − α (b) β > 2 + 32α (c) β > 2 (d) β < 5

` EXAMEN FINAL CALCUL ETSETB 17 de juny de 2015 Notes provisionals: 22 de juny a Atenea. Al.legacions: fins el 25 de juny a Intranet ETSETB. Per veure l’examen 25 de juny a les 12 hores (C3-204a). Notes definitives: 29 de juny. Temps: 3h

Codi de la prova: 230-00001-01–3

6. Sigui la funci´o f(x) = x3 − 3x2 +4: (a) la funci´ o f a l’interval [−1, 3] no t´e un m´ınim relatiu (o local) (b) la funci´ o f a l’interval [−1, 3] no t´e un m` axim relatiu (o local) (c) el valor m` axim absolut que pren f a l’interval [−1, 5] ´es 4 (d) el valor m´ınim absolut que pren f a l’interval [1, +∞) ´es 0

1. El domini (o camp) de converg`encia de la ∞ ∑ ln n n s`erie de pot`encies x ´es: n n=3 (a) R (c) [−1, 1)

7. Les solucions de la inequaci´o x ≤2 x−4

(b) (−1, 1) (d) [−1, 1]

2. Indiqueu el domini de la funci´o f (x) = ln(1 − ln x) (b) (−∞, e) (a) ( e1 , +∞) (c) (0, e) (d) (1, +∞) 3. L’as´ımptota obliqua de la funci´o donada per ( ) 1 f (x) = x3 e−1/x − 1 sin 3x quan x → +∞ ´es (a) y = −3x + 6 (c) y = 6x − 3

1 1 (b) y = − x + 3 6 1 1 (d) y = − x + 6 3

s´ on (a) (−∞, 4) ∪ [8, +∞) (b) [8, +∞) (c) (−∞, 4) (d) (−∞, 4] ∪ (8, +∞)

8. Sigui X(s) la transformada de Laplace de la funci´ o x(t) soluci´ o de x′ (t) + x(t) = u(t − 1),

x(0) = 0.

En aquestes condicions el valor de X(1) ´es: 1 (b) e − 1 (c) 0 (d) 3e12 (a) 2e

4. Sigui f (x) =

{

ax + 4 bx3 + x − 4

si x ≤ 2 si x > 2

Els valors de a i b que fan que la funci´o sigui derivable s´ on: (a) a = −5, b = −1/2 (b) a = 5, b = 1/3 (c) a = 5, b = −1/3 (d) a = 5, b = 1/2 5. El polinomi de Taylor de grau menor o igual que 15 al voltant de x = 0 de f (x) = ´es (a) x4 + x15 /3 (c) x4 + x10 /3

∫

x4

)3x x−3 val: 9. El l´ımit lim x→+∞ x + 6 (a) 1 (b) +∞ (c) e3 (d) cap de les altres (

10. La integral ∫

2

et dt

0

val: x4

+ x12 /3

(b) (d) x4 + x8 /3

2 1

x−1 dx x(x + 1)2

π 1 (b) 2 arctg 2 − (a) ln 3 − 2 ln 2 + 3 4 1 3π (d) 2 ln 3 − ln 2 + (c) 3 arctg 2 − 4 4

11. Suposem que el polinomi de Taylor de grau 33 en x = 0 de f ´es P (x) = x−2x2 +x33 . Llavors, en un entorn de x = 0, la funci´o f :

16. Les gr`afiques de les funcions f (x) = x4 i g(x) = 4 − 3x2 delimiten una regi´o fitada del pla. La seva `area ´es (a) 28/5 (b) 26/5 (c) 52/5 (d) 14/5

(a) ´es convexa cap amunt (∪) (b) t´e un punt d’inflexi´ o 17. L’` area de la regi´o limitada per la gr`afica de e−|x| i l’eix d’abscisses val:

(c) t´e un m´ınim relatiu (d) ´es convexa cap avall (∩)

(a) 1

12. Si α > 0 i β > 0, la s`erie √ ∑ 3 1 + nα √ 3 + nβ n≥1

1

xα

ln 1 + x1β (

(c) e2

(d) 1/2

18. Doneu la suma de la s`erie convergent

convergeix si, i nom´es si, (a) β ≥ 1 − α (b) β > 2 + 32α (c) β > 2 (d) β < 5 13. Si β > 0, la integral ∫ +∞

(b) 2

) dx

∑

n≥0

(a) e − 1 (c) e(e + 1)

1 (n + 1)! (b) 1 + e/2 (d) 1

19. Sigui f : R → R derivable tal que

convergeix si, i nom´es si, (a) β < −α − 1 (b) β > 2α + 3 1 (c) β ≥ 2 α (d) β ≤ 3α + 1

limx→−∞ f(x) = limx→+∞ f (x) = 0 , f ′ (x) > 0 si x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) , f ′ (x) < 0 si x ∈ (−1, 1) . Llavors podem afirmar que l’equaci´o f(x) = 0 t´e: (a) una u ´ nica soluci´ o (b) tres solucions (c) dues solucions (d) no t´ e cap soluci´ o

14. Calculeu el valor de la integral ∫ +∞ x sin xe−x dx 0

(a) 4

(b) 3/2

(c) 0

(d) 1/2

15. Considerem la funci´o f (x) = sinh x. Per aplicaci´ o directa del teorema del valor mitj` a a la funci´ o f en l’interval [a, b] (on 0 ≤ a < b), s’obt´e: (a) sinh b < (b) cosh b < (c) sinh a < (d) cosh a <

cosh b − cosh a < sinh a b−a

sinh b − sinh a < cosh a b−a

cosh a − cosh b < sinh b b−a

sinh b − sinh a < cosh b b−a

20. Sigui f : [a, b] −→ R una funci´ o tal que f(a)f (b) < 0. Llavors ´es FALS que: (a) si f ´es creixent, l’equaci´o f (x) = 0 t´e una soluci´ o a (a, b) (b) si f ´es cont´ınua a [a, b], l’equaci´ o f (x) = 0 t´e alguna soluci´ o a (a, b) (c) si f ´es injectiva, l’equaci´ o f (x) = 0 t´e com a molt una soluci´o a (a,...