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Examen Parcial 1 Noviembre 2012, Respuestas...

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´ MATEMATICAS ( grupo E )

Primer parcial (19 de noviembre de 2012)

SOLUCIONES arccos (5 − x2 ) √ . Hallar lim− f (x). x→−2 2−x

1. Determinar el dominio de f (x) =

[2 puntos]

Para que exista la ra´ız del denominador, ha de cumplirse x < 2. Para que exista la funci´ on arcocoseno del numerador, se debe verificar |5 − x2 | ≤ 1: |5 − x2 | ≤ 1 ⇔ −1 ≤ 5 − x2 ≤ 1 ⇔ 4 ≤ x2 ≤ 6 ⇔ 2 ≤ |x| ≤ Como se han de cumplir ambas condiciones a la vez, x < 2 y 2 ≤ |x| ≤

√

√

6

6:

√ domf = [− 6, −2] lim −

x→−2

arccos (5 − x2 ) arccos 1 √ = √ =0 2−x 4

2. Determinar el l´ımite, si existe, de las sucesiones: √ √ 1 nlog n + n2 − 2nen n+1 √ . b) bn = √ . a) an = n (n + 1) n + 1 − n n a) lim

n→∞

√

1

s



log n 1 nlog n + n2 − 2nen = lim  + 1 − 2e n  = 1 − 2 = −1 n→∞ n n

√ √ √ √ n+1 n + 1[(n + 1) n + 1 + n n] √ √ = lim = b) lim n→∞ (n + 1) n + 1 − n n n→∞ (n + 1)3 − n3 √ (n + 1)2 + n n2 + n 2 = lim n→∞ 3 3n2 + 3n + 1

[2 puntos]

3. Calcular, si existen, el m´ aximo y m´ınimo global de g(x) = 1 + puntos]

g(x) =

          

1+

1 x−1 = 2− si x x

1 1−x = 1+ x x

x≥1

|x − 1| x



1 3 . en , 2 2 

[2

.

si x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 1)

Se puede comprobar f´ acilmente que g(x) es continua en x = 1, luego es continua en y alcanza m´ aximo y m´ınimo globales en dicho intervalo.  1   si x>1    x2 ′ . g (x) =    1   − si x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 1) x2



1 3 , , 2 2 

Al ser lim+ g ′(x) = 1 6= lim− g ′ (x) = −1, g(x) no es derivable en x = 1. x→1

x→1

Analizando el signo de g ′ (x), vemos que g(x) crece en [1, ∞) y decrece en (−∞, 0) ∪ (0, 1]. As´ı, pues, en [1/2, 3/2] g(x) tiene su m´ınimo global en x = 1 (g(1) = 1), su m´ aximo global es g(1/2) = 2, y tiene un m´ aximo relativo en x = 3/2 (g(3/2) = 4/3). x2 4. Dada la funci´ on f (x) = arctan : x−1 a) Determinar su dominio. b) Estudiar su l´ımite cuando x → 1. c) Calcular sus m´ aximos y m´ınimos globales y locales. d) ¿Se anula f en el intervalo [2, 4]? e) Esbozar la gr´afica de la funci´ on. [3 puntos] !

a) domf (x) = R − {1} x2 b) lim+ arctan x→1 x−1 x2 lim− arctan x−1 x→1

!

= arctan(∞) = π/2

!

= arctan(−∞) = −π/2

x(x − 2) + (x − 1)2 Analizando el signo de f ′ (x), que se anula en x = 0 y x = 2, vemos que f es creciente en (−∞, 0] ∪ [2, ∞), y decreciente en [0, 1) ∪ (1, 2], luego alcanza un m´ a ximo relativo en x = 0 (f (0) = 0) y un m´ınimo relativo en x = 2 (f (2) = arctan 4). No se aximo ! alcanza m´ ! x2 x2 = −π/2) = π/2 y lim arctan y m´ınimo absolutos ( lim arctan x→−∞ x→∞ x−1 x−1

c) f ′ (x) =

x4

d) No se anula en [2, 4], pues f (x) = arctan

x2 !

x−1

5. Determinar los valores x reales tales que

= 0 ⇔ x = 0.

ex ex+1 . ≤ x+1 x

[1 punto]

ex+1 ex ex ex [e(x + 1) − x] x(e − 1) + e ex+1 ≤0⇔ ≤ − ≤0⇔ ≤0⇔ ⇔ x(x + 1) x x x+1 x(x + 1) x+1   e ∪ (−1, 0) x ∈ −∞, 1−e...