Examen SP Feb 2021 Solucion PDF

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Grado en Ingeniería en Sistemas de Telecomunicación. 3er Curso Análisis y Diseño de Circuitos Examen final convocatoria de Febrero. Segunda parte. 27 de enero de 2021 Tiempo: 90 minutos Cuestiones de Teoría (tiempo estimado: 30 minutos. 3 puntos.) 1. Obtener la transformada de Laplace de la función: ฀฀(฀฀) = ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀(฀฀) (0.75 puntos) 2. Enuncie y demuestre el Teorema del Valor Final. (0.75 puntos) 3. Determine los valores del circuito transformado de la derecha para t > 0 considerando que el interruptor se mueve de (1) a (2) en t=0. (0.75 puntos) L

(1) I R1

(2)

3R1

4. Descomponer F(s) como suma de funciones racionales y obtener los coeficientes asociados a cada función racional. (0.75 puntos) 1 ฀฀(฀฀) = 2 (฀฀ + 1)(฀฀ 2 + 2฀ ฀ + 1)

Problema (tiempo estimado: 1 hora. 7 ptos.) Diseñe un filtro paso bajo de segundo orden de Butterworth con ฀฀1 = 1 Ω y ฀฀2 = 1.5 Ω siendo

฀฀฀ ฀ = 1rad/s y ฀ ฀ = 1.

Para ello a) b) c) d)

Obtenga |฀฀(0)|2 (0.5 puntos) Obtenga |฀฀(฀฀฀฀)|2 (1 punto) Obtenga |฀฀(฀฀฀฀)|2 (1 punto) Obtenga ฀฀(฀฀) para que se trate un filtro de fase mínima. (1 punto) A partir de ahora si no ha llegado a una expresión de ฀฀(฀฀) puede emplear ฀฀(฀฀) =

฀฀ 2 + 0.632฀ ฀ + 0.2 ฀฀ 2 + 1.414฀ ฀ + 1

e) Obtenga ฀฀฀฀฀฀ (0.5 puntos) f) A partir de ฀฀฀฀฀฀ y empleando el preámbulo de Foster obtenga la realización del circuito (1 punto) g) A partir de los resultados obtenidos realice las transformaciones necesarias para obtener un filtro paso-banda de cuarto orden con una banda de paso entre 7.5MHz y 12.5MHz con ฀฀1 = 50Ω y ฀฀2 = 75 Ω. (2 puntos)

4฀฀1 ฀฀2

Notas:- |฀฀(0)|2 =

(฀฀1 +฀฀2 )2 1+฀฀(฀฀)

-Emplee ฀฀฀฀฀฀ =

1−฀฀(฀฀)

SOLUCIÓN 1. Obtener la transformada de Laplace de la función: ฀฀(฀฀) = ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀(฀฀) (0.75 puntos) Para cualquier función f(t): ℒ[฀฀

฀฀฀฀

∞

฀฀(฀฀)] = � ฀฀ 0

฀฀฀฀

∞

฀฀(฀฀)฀฀ = �฀฀฀฀ ฀฀(฀฀)฀฀ −(฀฀−฀฀)฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀(฀฀ − ฀฀) −฀฀฀฀

Por su lado:

0

∞

ℒ[฀฀(฀฀)] = � ฀฀ −฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 0

1 ฀฀

De forma que, combinando ambos resultados: 1 ℒ[฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀(฀฀)] = ฀฀ − ฀฀ 2. Enuncie y demuestre el Teorema del Valor Final. (0.75 puntos) ฀ ฀ · ฀฀(฀฀) lim ฀฀(฀฀) = lim ฀฀→∞

ℒ�฀฀

´ (฀฀)�

฀฀→0

∞

= ฀฀฀฀(฀฀) − ฀฀(0) = � ฀฀ −฀฀฀฀ ฀฀ ´ (฀฀) ฀฀฀฀ ∞

0

lim ฀ ฀ · ฀฀(฀฀) − ฀฀(0) = lim � ฀฀ ฀฀→0

฀฀→0 0

−฀฀฀฀

฀฀

´ (฀฀)

∞

∞ = lim � ฀฀ ´ (฀฀) ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀(฀฀)] 0 ฀฀→0

0

lim ฀ ฀ · ฀฀(฀฀) − ฀฀(0) = lim ฀฀(฀฀) − ฀฀(0) ฀฀→0

฀฀→∞

De donde: lim ฀฀(฀฀) = lim฀ ฀ · ฀฀(฀฀)

฀฀→∞

฀฀→0

c.q.d.

3. Determine los valores del circuito transformado de la derecha para t > 0 considerando que el interruptor se mueve de (1) a (2) en t=0. (0.75 puntos) Mientras el interruptor permanezca en la posición (1) el circuito actúa como divisor de corriente. I R1

3R1

La corriente que circula por la bobina coincide con la de 3R1. Por lo tanto:

฀฀1 ฀฀1 = 2 ฀฀ ฀฀฀฀ (0− ) = ฀ ฀ =8 ฀฀ + 3฀฀1 ฀฀1 + ฀฀2 1 Los valores del circuito transformado serán:

2/s

Ls

3R 1

5. Descomponer F(s) como suma de funciones racionales y obtener los coeficientes asociados a cada función racional. (0.75 puntos) 1 ฀฀2 ฀฀1 ฀฀3 ฀ ฀ + ฀฀4 1 ฀฀(฀฀) = 2 + = + 2 =2 2 2 2 (฀฀ + 1)(฀฀ + 2฀ ฀ + 1) (฀฀ + 1)(฀ ฀ + 1) (฀ ฀ + 1) ฀ ฀ + 1 ฀฀ + 1 1 1 ฀฀1 = ฀฀(฀฀)(฀ ฀ + 1)2 |฀฀=−1 = = (1 + 1) 2 ฀฀2 =

−2฀฀ ฀฀ 1 1 ฀฀ [฀฀(฀฀)(฀ ฀ + 1)2 ]฀฀=−1 = � 2 � = 2 � = 2 (฀฀ ฀฀฀฀ + 1) ฀฀=−1 2 ฀฀฀฀ ฀฀ + 1 ฀฀=−1

Por último: (฀฀ 2

⁄1 2 ⁄ ฀฀3 ฀ ฀ + ฀฀4 1 1 2 = 2 − − 2 2 + 1)(฀ ฀ + 1) (฀ ฀ + 1) ฀ ฀ + 1 ฀฀ + 1

฀฀3 ฀ ฀ + ฀฀4 − 1⁄ 2฀฀ 3 − ฀฀ 2 − ⁄1 2฀฀ = (฀฀ 2 + 1)(฀ ฀ + 1)2 ฀฀ 2 + 1

De donde: ฀฀3 = − 1⁄ 2 y ฀฀4 = 0

−⁄1 ฀฀ 2 = 2 ฀฀ + 1

Solución Problema (tiempo estimado: 1 hora. 7 ptos.) a) Obtenga |฀฀(0)|2 (0.5 puntos) 4฀฀1 ฀฀2 = 0.96 |฀฀(0)|2 = (฀฀1 + ฀฀2 )2 b) Obtenga |฀฀(฀฀฀฀)|2 (1 punto) Siendo el orden n=2 |฀฀(0)|2 0.96 = |฀฀(฀฀฀฀)|2 = 1 + ฀฀ 2฀฀ 1 + ฀฀ 4 c) Obtenga |฀฀(฀฀฀฀)|2 (1 punto)

0.96 ฀฀ 4 + 0.04 |฀฀(฀฀฀฀)|2 = 1 − |฀฀(฀฀฀฀)|2 = 1 − 4 = ฀฀ 4 + 1 1 + ฀฀

d) Obtenga ฀฀(฀฀) para que se trate un filtro de fase mínima. (1 punto) ฀฀ 4 + 0.04 2 = ฀฀ 4 ฀฀(฀฀) ∙ ฀฀(−฀฀ ) = ฀฀(฀฀฀฀) ฀฀= ฀฀ + 1 ฀฀

Haciendo el cambio ฀ ฀ = ฀฀ 2 podemos resolver y obtenemos para el numerador ฀฀ 4 + 0.04 las siguientes raices ฀฀1 =-0.316 + j0.316

฀฀2 = -0.316 - j 0.316 ฀฀3 =0.316 + j 0.316

฀฀4 = 0.316 - j 0.316

Para el denominador se obtiene ฀฀ 4 + 1

฀฀1 =-0.707 + j 0.707i

฀฀2 =-0.707 - j 0.707i

฀฀3 = 0.707 + j 0.707i

฀฀4 = 0.7071 - j 0.707i

Eligiendo en ambos casos las que tienen parte real negativa llegamos a: ฀฀(฀฀) =

฀฀ 2 + 0.632฀ ฀ + 0.2 ฀฀ 2 + 1.414฀ ฀ + 1

A partir de ahora emplee la expresión para ฀฀(฀฀) ฀฀(฀฀) =

฀฀ 2 + 0.632฀ ฀ + 0.2 ฀฀ 2 + 1.414฀ ฀ + 1

e) Obtenga ฀฀฀฀฀฀ (0.5 puntos) ฀฀฀฀฀฀

฀฀ 2 + 0.632฀ ฀ + 0.2 1 + 1 + ฀฀(฀฀) ฀฀ 2 + 1.414฀ ฀ + 1 = = ฀฀ 2 + 0.632฀ ฀ + 0.2 1 − ฀฀(฀฀) 1− 2 ฀฀ + 1.414฀ ฀ + 1 ฀฀฀฀฀฀ =

2฀฀ 2 + 2.05฀ ฀ + 1.2 0.78฀ ฀ + 0.8

f) A partir de ฀฀฀฀฀฀ y empleando el preámbulo de Foster obtenga la realización del circuito (1 punto) Empleando el preámbulo de Foster nos queda: 1 1 1 = 2.56฀ ฀ + = 2.56฀ ฀ + ฀฀฀฀฀฀ = 2.56฀ ฀ + 1 0.8 0.78฀ ฀ + 0.8 0.65฀ ฀ + 0.65฀ ฀ +1.2 1.2 1.5 Por lo tanto el circuito quedará

g) A partir de los resultados obtenidos realice las transformaciones necesarias para obtener un filtro paso-banda de cuarto orden con una una banda de paso entre 7.5MHz y 12.5MHz con ฀฀1 = 50฀฀ y ฀฀2 = 75 ฀฀.

Para el paso banda haremos el cambio de variable 2 ฀฀ 2 + Ω 0 ฀฀ = ฀฀ ∙ ฀฀ Ω1 = 2฀฀ ∙ 7.5 ∙ 106 = 47.123Mrad/s

Ω2 = 2฀฀ ∙ 12.5 ∙ 106 = 78. 539Mrad/s B = Ω2 − Ω1 =31.416Mrad/s

Ω0 = �Ω1 ∙ Ω2

Desnormalizando ฀ ฀ = ฀฀0 ∙ ฀฀฀฀ 1 Ω → 50Ω

1.5 Ω → 75Ω

Desnormalizando con respecto a ฀฀0...