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Exámen de econometria junto con las soluciones a los problemas,lo que resulta muy útil para la correcta comprensión de la asignatura....

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ECONOMETRÍA I. Examen nº 1. ECO. Febrero de 2005. Principal

PRIMERA PARTE: CUESTIONES PRÁCTICAS 1.- Exponga la condición de orden de la identificación de ecuaciones simultáneas El problema de la identificación hace referencia a la posibilidad (o no) de obtener los parámetros de la forma estructural de un modelo de ecuaciones simultáneas a partir de los parámetros de la forma reducida asociada (elementos de la matriz Π), los cuales pueden estimarse por MCO por no presentar problemas de simultaneidad entre variables endógenas y explicativas. Para comprobar si las ecuaciones del sistema están identificadas se utilizan dos reglas sencillas: la de orden y la de rango. Condición de orden. En un modelo de M ecuaciones simultáneas, para que una ecuación esté identificada, el número de variables predeterminadas excluidas de esa ecuación no de be ser menor que el número de variables endógenas incluidas en la ecuación menos 1, es decir, K – k ≥ m–1 Si K – k < m – 1, la ecuación no está identificada (subidentificada) Si K – k = m – 1, la ecuación está exactamente identificada Si K – k > m – 1, la ecuación esta sobreidentificada La condición de orden es necesaria pero no suficiente para la identificación, por lo que es necesario plantear la condición de rango. Otra forma de plantear la condición de orden se obtiene sumando (M – m) a ambos miembros de la desigualdad K – k ≥ m – 1 (K – k) + (M – m) ≥ (m – 1) + (M – m)  (K – k) + (M – m) ≥ M – 1 Donde: K es el número de variables predeterminadas en el modelo k es el número de variables predeterminadas incluidas en cada ecuación M es el número de variables endógenas del modelo m es el número de variables endógenas incluidas en una ecuación dada La expresión (K – k) + (M – m) ≥ M – 1 nos permite expresar la condición de orden de esta otra manera: “En un modelo de M ecuaciones simultáneas para que una ecuación esté identificada, debe excluir al menos M-1 variables (endógenas y predeterminadas) que aparecen en el modelo.  Si excluye exactamente M-1 variables la ecuación está exactamente identificada  Si excluye más de M-1 variables la ecuación está sobreidentificada  Si excluye menos de M-1 variables, la ecuación No está identificada. 2.- ¿Qué condiciones debe verificar un modelo recursivo? 3.- ¿Qué consecuencias tiene la presencia de errores de medida en la variable endógena? 4.- Pregunta extensa. Desarrollar el siguiente tema: “Estimación por Mínimos Cuadrados en 2 etapas”

SEGUNDA PARTE: EJERCICIO PRÁCTICO Sea el modelo expresado en desviaciones respecto a la media: Y1t = b12 Y2t + a11X 1t + a 12X 2t + u t Y2t = b21Y1t + a23X 3t + v t Siendo Yit , variables endógenas, y Xit variables exógenas. Se pide: a) Identifique las ecuaciones

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b) Estime los parámetros de la forma reducida del modelo y, a partir de ellos, obtenga las expresiones para los parámetros de la forma estructural. Para ello, utilice las siguientes matrices producto:  10 0 0    (X'X) =  0 20 0  ;  0 0 10   

 5 10    (X'Y) =  40 20   20 30   

parte a) Empezamos haciendo un recuento de las variables del modelo: Endógenas: Y1t, Y2t M=2 Exógenas: X1t, X2t, X3t K = 3 Condición de orden:

1ª ecuación: K – k = 3 – 2 = 1; m – 1 = 2 – 1 = 1; 1 = 1 ec. exactamente identificada. 2ª ecuación: K – k = 3 – 1 = 2; m – 1 = 2 – 1 = 1; 2 > 1 ec. sobreidentificada. Condición de rango: En un modelo que contiene M ecuaciones en M variables endógenas, una ecuación está identificada si y sólo si puede construirse por lo menos un determinante diferente de cero de orden (M-1) x (M-1), a partir de los coeficientes de las variables (endógenas y predeterminadas) excluidas de esa ecuación particular, pero incluidas en las otras ecuaciones del modelo. Primero formamos la matriz de parámetros tanto de las variables endógenas como de las predeterminadas Y1t

Y2t

X1t

X2t

X3t

0   1ª ecuación  1 -b12 -a 11 -a 12 A =  1 0 0 -a23   2ª ecuación  -b21 Para cada ecuación se forma una matriz con las columnas de sus parámetros nulos:  0  1ª ecuación   cuyo rango es 1. Como M – 1 = 1, se confirma que la ecuación es  -a23  identificada  -a11 -a12  cuyo rango es 1. Como M – 1 = 1, se confirma que la ecuación es 2ª ecuación  0   0 identificada. Por la condición de orden sabemos que es sobreidentificada. parte b) Reordenamos las ecuaciones Y1t - b12 Y2t - a 11X 1t - a 12X 2t = u t Y2t - b21Y1t - a23X 3t = v t Yt + BX t = U t



 1 -b 12   Y1t   -a11 -a12     + 1   Y2t   0 0  -b21

 X 1t  0     ut     X 2t  =   -a23     vt  X 3t 

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 πˆ 11 πˆ 21   ˆ ˆ ˆ  (X'X) -1 X'Y = ' =π  12 π 22 =   πˆ  ˆ  13 π 23 

 200 0 1  0 100 2000  0  0

0   5 10    0 40  20 = 200   20 30 

 πˆ 11 = 0,5 πˆ 21= 1   ˆ  =2 π ˆ 22 =1  π 12  πˆ = 2π ˆ= 3  13 23  

ˆ = -B Para recuperar los parámetros de la forma estructural hacemos 

 1 -b12     1   -b21 1ª ecuac ión

ˆ 11 = 0,5 π ˆ 12 = 2 π ˆ 13 = 2  0  π  -a11 -a12 = -   ˆ ˆ ˆ 0 -a 23  π21 = 1 π22 = 1 π23 = 3   0

2 – 3b 12 = 0

 b 12 = 2/3

Interesa despejar antes lo fácil para sustiruir en las otras

0,5 – b 12 = a 11  a 11 = –1/6 2 – b12 = a12

 a12 = 4/3

Y1t = 2/3 Y2t – 1/6 X 1t + 4/3 X 2t 2ª e cuación –0,5b21 + 1= 0

 b21 = 2

–2b21 + 1= 0

 b21 = 1/2

–2b21 + 3 = a 2 3

 b 12 = 2

Como hay dos soluciones para b21 hay dos para a23

Como la segunda ecuación está sobreidentificada, los MCI han dado dos estimaciones de cada coeficiente, lo que supone una indeterminación.

SUPONGO QUE CUANDO ESTUDIEMOS OTROS TIPOS DE ESTIMACIÓN (MC2E, VI) VOLVEREMOS SOBRE ESTE EJERCICIO)...