Exponenciales (A) - Ejercicios de repaso de distribucion exponencial PDF

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Ejercicios de repaso de distribucion exponencial...

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Universidad de los Andes Departamento de Ingenier´ ıa Industrial Modelos Probabil´ ısticos (IIND-2104)

Base de problemas de Probabilidad Daniela saca dos monedas sin reposici o´ n de una caja que contiene 3 nickels y 2 dimes. Sean X e Y los valores en centavos que representan la primera y segunda moneda, respectivamente. (Nickels: 5 centavos; Dimes: 10 centavos).

Problema 1.

a. ¿Son X e Y independientes? Respuesta: Si dos eventos A y B son independientes entonces se cumple que P {A|B} = P {A}. De este modo, si X e Y son independientes, luego P {Y = 10} = P {Y = 10|X = 5}. En primer lugar, hallaremos P {Y = 10}. Por la ley de probabilidades totales, obtenemos: P {Y = 10} = P {Y = 10, X = 5} + P {Y = 10, X = 10}. Ahora, por el teorema de Bayes: P {Y = 10} = P {Y = 10|X = 5} · P {X = 5} + P {Y = 10, X = 10} · P {X = 10} = De este modo P {Y = 10} = 25 . Por otro lado, P {Y = 10|X = 5} = P {Y = 10|X = 5}. De este modo, X e Y no son independientes.

1 . 2

1 3 1 2 · + · . 4 5 2 5

Luego P {Y = 10} 6=

b. Halle P {X = 10|Y = 10}. Respuesta: Se debe utilizar el teorema de Bayes como se observa enseguida: P {X = 10, Y = 10} P {Y = 10} P {Y = 10|X = 10} P {X = 10} = P {Y = 10|X = 5} P {X = 5} + P {Y = 10|X = 10} P {X = 10} 1 ×2 = 2 34 51 2 4 × 5 + 4 × 5 1 = . 4

P {X = 10|Y = 10} =

c. Halle el coeficiente de correlaci ´on entre X e Y . Respuesta: Se debe hallar la distribucion ´ conjunta de X e Y : P {X = x, Y = y }. Por ejemplo: P {X = 10, Y = 10} = P {Y = 10|X = 10} P {X = 10} = A continuaci on ´ se muestra la tabla de probabilidades conjuntas: 1

1 2 1 × = . 4 5 10

X 5

10

gY (y)

5

3/10

3/10

3/5

10

3/10

1/10

2/5

gX (x)

3/5

2/5

1

Y

Usando esta distribuci o ´ n, se puede calcular: 3 2 + 10 · = 7 centavos, 5 5 2 2 2 2 3 E(X ) = E(Y ) = 5 · + 102 · = 55 centavos2 , 5 5 Var(X) = Var(Y ) = 55 − 72 = 6 centavos2 , 1 3 3 3 = 47.5 centavos2 , + 10 · 10 · + 10 · 5 · + 5 · 10 · E(XY ) = 5 · 5 · 10 10 10 10 Cov(X, Y ) = 47.5 − 72 = −1.5, E(X) = E(Y ) = 5 ·

Finalmente, el coeficiente de correlacion ´ es: 1 −1.5 ρXY = √ √ = − . 4 6· 6 d. Halle la funcion ´ de probabilidad de X + Y . Respuesta: Se define Z = X + Y . La siguiente tabla muestra los valores de Z para los diferentes valores de X e Y . X Y

5

10

5

10

15

10

15

20

El rango de Z es {10, 15, 20}. Las probabilidades pueden ser obtenidas s´olo observando las probabilidades de X e Y que llevan a cada valor de X :   3/10 z = 10,      6/10 z = 15, gZ (z) =   1/10 z = 20,     0 dlc. Problema 2. Una empresa de fabricacion ´ de bolsas pl a ´ sticas tiene una m a ´ quina que realiza el proceso de sellado. Por ser m ´aquinas que constantemente est an ´ trabajando tienen un desgaste continuo y, por ende, su tiempo de vida promedio es de 10 meses siguiendo 2

una distribucion ´ exponencial. Si el ultimo ´ cambio de maquina ´ se realizo´ hace 10 meses, ¿cu ´al es la probabilidad de que deba cambiarse la maquina ´ antes de los pr o ´ ximos 8 meses? Compruebe la propiedad de no memoria de la distribucion ´ exponencial. Respuesta: tenemos que: Sea T la variable aleatoria que mide la duracion ´ de la maquina, ´ 1 mes−1 ) 10

T ∼ exp(λ = Como es sabido: F (t) =

Z

0

t

f (x)dx =

Z

0

t

λe−λx dx = 1 − e−λt

Entonces,

P (T ≤ 18|T ≥ 10) = = =

P (10 ≤ T ≤ 18) F (18) − F (10) = 1 − F (10) P (T ≥ 10) −18/10 −10/10 (1 − e ) − (1 − e ) −e−9/5 + e−1 = −10 / 10 1 − (1 − e ) e−1

1 − e−4/5 = 0.55

La propiedad de no memoria establece que s´olo se debe tener en cuenta que la m a ´ quina debe durar menos de 8 meses a partir de ahora: P (T ≤ 8) = 1 − e−8/10 = 1 − e−4/5 = 0.55

Se comprueba que los resultados son iguales.

Problema 3.

El periodo de vida en anos ˜ de un televisor sigue una distribucion ´ exponencial con un promedio de 6 a n ˜ os.

a. ¿Cual ´ es la probabilidad de que un televisor falle antes del tercer ano ˜ de uso? Respuesta: Sea T la variable aleatoria que describe el tiempo a la falla del televisor. Por lo tanto T sigue una distribucion ´ exponencial con par ´ametro 61 fallas por ano. La funci o ´ n de densidad de ˜ 1 e −t 6 para t mayores o iguales a cero y la probabilidad de T puede expresarse como f (t) = 6 funcion ´ de distribuci on ´ de probabilidad acumulada es F (t) = 1 − e

−t 6

Entonces la probabilidad de que el televisor falle antes del tercer a n ˜ o es: P (T < 3) = F (3) = 1 − e

−1 2

= 0.3935

b. Suponga que se analizan 5 televisores, ¿cual ´ es la probabilidad de que al menos 3 de los 5 televisores fallen antes del segundo a n ˜ o de uso? Respuesta: La probabilidad de que un televisor falle antes del segundo a n ˜ o es: P (T < 2) = F (2) = 1 − e 3

−1 3

= 0.2835

de Considerando esta informaci o ´ n se puede definir la variable aleatoria X como el numero ´ televisores que fallan antes de dos a ˜nos del grupo de los 5 analizados. Entonces X sigue n=5, p=0.2835. La probabilidad de que fallen x una distribucion ´ binomial con parametros ´ televisores puede encontrarse como:   n x p × (1 − p)n−x f (x) = x Entonces la probabilidad de que fallen 3 o mas ´ televisores se puede encontrar como: P (X ≥ 3) = 1 − f (0) − f (1) − f (2) = 1 − 0.1888 − 0.3736 − 0.2956 = 0.1419 c. Si un televisor lleva 2 anos ˜ funcionando, ¿cu a ´ l es la probabilidad de que falle despu´es del quinto an ˜ o? Respuesta: La probabilidad pedida se puede determinar mediante: −5

P (T > 5|T > 2) =

−1 P (T > 5, T > 2) P (T > 5) e6 = = −2 = e 2 = 0.6065 P (T > 2) P (T > 2) e 6

Tambien ´ es posible aplicar la propiedad de no memoria de la distribucion ´ exponencial de la siguiente manera: −3

P (T > 5|T > 2) = P (T > 3 + 2|T > 2) = P (T > 3) = e 6 = e

−1 2

Usted desea adquirir un plan para su celular, para lo cual le ofrecen dos posibilidades. La primera consiste en pagar $300 pesos por cada minuto y, si usted consume segundos adicionales, debe pagar un minuto mas. ´ Por ejemplo si su llamada dur ´o 2.4 minutos, le cobraran ´ en total 3 minutos, es decir, $900 pesos. La segunda posibilidad consiste en pagar $500 pesos por cada minuto. Por ejemplo, si su llamada dur o´ 1.3 minutos le cobraran ´ $500 × 1.3 = $650 pesos. Usted estima que sus llamadas tendr a ´ n una duracion ´ que se distribuye exponencial con media de 1.1 minutos. Problema 4.

a. Si usted ignora sus conocimientos de modelos probabil´ısticos y asume que todas sus llamadas tardar ´an exactamente 1.1 minutos, ¿cual ´ plan debe elegir? Respuesta: En este caso, simplemente proceder´ıamos a elegir aquel plan que cobrara el menor costo por llamada, sin tener en cuenta la variabilidad de la duracion ´ de las llamadas en nuestros ca ´ lculos: Para el plan sin redondeo el costo calculado ser a ´ de $500 ∗ 1.1 = $550 por llamada mientras que para el plan con redondeo el costo se estimar´ıa en $300 ∗ 2 = $600 por llamada.

Bajo esta perspectiva se elegir´ıa el plan sin redondeo (omitiendo deliberadamente el componente probabil´ıstico de la duracion ´ de las llamadas). b. Si usted quiere minimizar el costo esperado por llamada, ¿cual ´ plan debe escoger? Respuesta: Definimos: • T = cantidad de minutos que dura una llamada. 4

• M =cantidad de minutos facturados en el plan con segundos • K = cantidad de minutos facturados en el plan sin segundos. • CR = costo esperado en el plan con redondeo. • CS = costo esperado en el plan sin redondeo. De acuerdo con lo anterior tenemos que: CS = E(M ) × 500 = E(T ) × 500 = 1.1 × $500 = $550 Para poder comparar necesitamos determinar CR = E(K ) ∗ $300. Para esto determinamos la distribucion ´ de K . Observe que K depende de T a trav e´ s de la funci o ´ n techo K = ⌈T ⌉, y para cada valor de K hay un intervalo de valores de T , como se muestra a continuaci o ´ n. k

Evento en te´ rminos de T

1

0≤T ≤1

2 3 .. . k

P (K = k) F (1) − F (0) = 1 − e−λ

1 7|Y = 5}. Para poder resolver este problema primero debemos hallar fX|Y (x|y) la cual se obtiene con la f o ´ rmula 1 x fXY (x, y) = 1 10001 2 0 < y < 30, y/3 < x < 10 fY (y) y 20 − 18000 R∞ Por tanto, P {X > 7|Y = 5} = 7 fX|Y (x|5)dx evaluando en y = 5:  1 x  1000  5/3 < x < 10 fX|Y (x|5) = 1 1 2 20 − 18000 y y=5

fX|Y (x|y) =

=

1 20

1 x 1000 1 52 − 18000

= (0.0205)x 7

5/3 < x < 10

5/3 < x < 10.

Integrando se obtiene P {X > 7|Y = 5} =

R 10 7

(0.0205)x dx =

0.0205 (102 2

− 72 ) = 0.5246.

f. Si e´ l regresa con $5, ¿Cu a ´ l es el valor esperado de la cantidad de dinero con la que Jos´e salio´ de su casa? Respuesta: Usando la ecuaci ´on E (X|Y = y) =

Z

xfX|Y (x|y)dx  1 10  x 1000 x dx = 1 1 y2 y/3 20 − 18000  x=10 1 x3 = 1 3000 1 2 20 − 18000 y x=y/3   1 3 3 (10 − (y/3) ) 3000 0 < y < 30 = 1 1 y2 20 − 18000 Z

Sabiendo que Y = 5 entonces, E(X|Y = 5) =



 1 (103 − (y/3)3 ) 3000 1 1 y2 y=5 20 − 18000

= 6.8254.

Problema 6. Una librer´ ıa en el centro de Bogot ´a cuenta con 3 cajeros independientes entre s´ı. Cada cajero toma un tiempo en atender a un cliente, este tiempo sigue una distribucion ´ exponencial con tasa λ1 , λ2 y λ3 para los cajeros 1, 2 y 3 respectivamente. Suponga que los clientes de la librer´ıa fila y que siempre hay clientes a la espera de realizar el pago. forman una unica ´ a. Si los tres cajeros se encuentran ocupados. ¿Cu ´al es la distribucion ´ del tiempo que espera el primer cliente en fila? Respuesta: Sean X1 , X2 y X3 variables aleatorias que representan el tiempo que tardan los cajeros 1, 2, y 3 respectivamente en atender a un cliente. Para calcular la distribucion ´ del tiempo de espera de la primera persona en la fila es suficiente con determinar la distribucion ´ del m´ınimo tiempo de servicio entre los tres cajeros, pues inmediatamente alguno de los cajeros se desocupe la persona en fila entrar a ´ a servicio.

P (minX1 , X2 , X3 = t) = P (X1 > t, X2 > t, X3 > t) Puesto que las variables son independientes, se tiene que:

P (X1 > t, X2 > t, X3 > t) = P (X1 > t)P (X2 > t)P (X3 > t) P (X1 > t, X2 > t, X3 > t) = e−λ1 ·t · e−λ2 ·t · e−λ3 ·t P (X1 > t, X2 > t, X3 > t) = e−(λ1 +λ2 +λ3 )·t De esta forma, se puede definir Z como el tiempo de espera de la primera persona en la fila. Z se distribuye exponencial con par a ´ metro λmin = λ1 + λ2 + λ3

8

b. Si el cajero 1 tarda en promedio 2 minutos en atender a un cliente, el cajero 2 tarda 5 minutos y el cajero 3 tarda 4 minutos. ¿Cual ´ es el valor esperado del tiempo en fila de la primera persona en cola? Respuesta: La variable aleatoria Z representa el tiempo de espera del primer cliente en fila. Z se λmin = λ1 + λ2 + λ3 . Por lo tanto, su valor esperado es: distribuye exponencial con parametro ´ 1 λmin 1 λ1 +λ2 +λ3

E(Z) = E(Z) =

Ahora bien, λ1 =

1 2

min−1 ,λ2 =

1 5

min−1 ,λ3 = 41 min−1 , por lo tanto: E(Z) =

1 1+1 +1 2 5 4

E(Z) = 1.052 minutos c. Si la primera persona de la fila lleva esperando 30 segundos en ser atendido, ¿Cu a ´ l es la probabilidad de que deba esperar al menos 30 segundos m ´as? Respuesta: Utilizando la propiedad de no memoria de la distribuci on ´ exponencial se tiene que: P (Z > 1 | Z > 0.5) = P (Z > 0.5) P (Z > 1 | Z > 0.5) = e−λmin ·0.5 P (Z > 1 | Z > 0.5) = e−0.95·0.5 P (Z > 1 | Z > 0.5) = 0.621

Por lo tanto, la probabilidad de que deba esperar 30 segundos m ´as es de 0.621. d. Si la primera persona en la fila lleva esperando 1 minuto en ser atendido, ¿Cual ´ es la probabilidad de que sea atendida dentro de los pr o ´ ximos 2 minutos? Respuesta: Utilizando la propiedad de no memoria de la distribuci on ´ exponencial se tiene que: P (Z < 3 | Z > 1) = 1 − P (Z > 3 | Z > 1) P (Z < 3 | Z > 1) = 1 − P (Z > 2) P (Z < 3 | Z > 1) = P (Z < 2) P (Z < 3 | Z > 1) = 1 − e−0.95·2 P (Z < 3 | Z > 1) = 0.85

Problema 7. Un parque de diversiones debe realizar anualmente un mantenimiento preventivo a sus atracciones para evitar accidentes. No obstante, la gerencia del parque desea que el tiempo de reparaci o´ n de la atracci o ´ n mas ´ popular sea el menor posible, por ser ´esta la que genera mayores ingresos anuales. Considere que el tiempo de reparaci o´ n de una atracci o´ n sigue una distribucion ´ exponencial con una media de 15 d´ıas.

9

a. ¿Cual ´ es la probabilidad de que el parque alcance a reparar su atracci o´ n favorita en menos de 10 d´ıas? Respuesta: Sea X una variable aleatoria que representa el tiempo de reparaci o´ n (en d´ıas) de las m a´ quinas y sigue una distribucion ´ exponencial con parametro ´ λ=

1 (d´ıas−1 ) 15

La funcion ´ de densidad de esta variable es fX =

1 −x/15 e 15

La probabilidad de que una reparacion ´ dure menos de diez d´ıas es: P (X < 10) =

Z

10 0

1 −x/15 e dx = 1 − e−10/15 = 1 − e−2/3 = 0.486 15

b. El costo de reparacion ´ por cada 4 horas de trabajo o fracci o ´ n es de $500,000 y, considerando que el d´ıa tiene 8 horas laborales, ¿Cual ´ es la probabilidad de que una reparaci ´on cueste exactamente $4,000,000? Respuesta: Una reparacion ´ costar ´a 4,000,000 siempre que su duracion ´ sea superior a 28 horas e inferior o igual a 32 horas, lo que equivale entre 3.5 y 4 d´ıas:   P (3.5 < X < 4) = P (X < 4) − P (X < 3.5) = 1 − e−4/15 − 1 − e−3.5/15 = e−7/30 − e−4/15 = 0.026 c. El encargado de mantenimiento debe destinar suficiente tiempo para la reparacion ´ de la atracci o ´ n. Con un 90% de certeza encuentre el tiempo necesario para que la reparaci o ´ n sea completada Respuesta: Sea t el tiempo asignado a una reparaci o ´ n (en minutos). Se pide encontrar P (X > t) = 0.1, es decir: Z

∞ t

1 −x/15 e dx = e−t/15 = 0.1 15

Que se cumple para: t = −15ln(0.1) = 34.54 d´ıas. Problema 8. Considere dos variables aleatorias exponenciales e independientes X y Y con λ = 1. Sea parametro ´ X . X +Y

Z=

a. Demuestre que FZ (t) se puede escribir como P (Y ≥ αX) donde α =

1−t t

Respuesta: FZ (t) = P (Z ≤ t) = P



X ≤t X +Y



= P (X(1 − t) ≤ Y t) = P

10

  1−t X . Y ≥ t

de personas que Tome X como una variable aleatoria que representa el numero ´ llegan a la biblioteca de la universidad entre las 8 AM y las 8:30 AM y Y como de personas que llegan a la biblioteca de la otra variable aleatoria que representa el numero ´ universidad entre las 8:30 AM y las 10 AM. Las dos variables aleatorias tienen distribuciones µ1 y µ2 , respectivamente. Demuestre que la variable aleatoria Z = X + Y Poisson con parametros ´ sigue una distribucion ´ Poisson con par a´ metro µ1 + µ2 .

Problema 9.

Respuesta: Sean

Entonces, s

MX (s) = e−µ1 (e

X ∼ P oisson(µ1 ),

Y ∼ P oisson(µ2 ).

MY (s) = e

−1)

−µ2 (es −1)

y

.

Ahora, tenemos que MZ (s) = MX (s)MY (s) s

= e−µ1 (e =e

−1) −µ2 (es −1)

e

−(µ1 +µ2 )(es −1)

,

La cual es la funcion ´ generatriz de momentos de una variable aleatoria Poisson con parametro ´ µ1 + µ2 . Otra forma de resolver esta pregunta: Sea Z = X + Y . Ya que X y Y son independientes podemos afirmar que: X pX (x)pY (z − x) pZ (z) = x

=

z x X (1) e−1

=

e−(µ1 +µ2 ) (µ1 + µ2 )z z!

(z−x)

(2) e−2 x! (z − x)! x=0   z e−(µ1 +µ2 ) X z x z−x = µ1 µ2 z! x x=0 ×

z = 0, 1, . . .

Concluimos, por lo tanto, que la suma de dos variables de Poisson independientes es una variable de Poisson con parametro ´ igual a la suma de los parametros. ´

Demuestre que la suma de una variable aleatoria exponencial (λ) y una variable independiente erlang(n , λ) es erlang(n+1 , λ). Use este resultado para demostrar que la suma de n variables independientes Exponenciales es una variable aleatoria Erlang.

Problema 10.

Ayuda: Si X y Y son variables positivas independientes y Z = X + Y , entonces fZ (t) =

Z

0

t

fX (t − y)fY (y)dy

Esta formula ´ se llama la convolucio´ n de las funciones fX (·) y fY (·) y usted la puede demostrar calculando primero la funcion ´ de probabilidad acumulada de Z bien sea integrando en el plano (X, Y ) o condicionando en X . 11

Respuesta: Primero mostraremos que para dos variables independientes aleatorias X y Y , la funcion ´ de densidad de probabilidad de la suma Z = X + Y est a ´ dada por: Z t fX (t − y)fY (y)dy, fZ (t) = 0

y luego se sustituiran ´ las correspondientes funciones de densidad para una exponencial y una erlang con el fin de demostrar lo solicitado. F Z (t) = P (Z ≤ t)

= P (X + Y ≤ t) Z ∞ = P (X ≤ t − Y |Y = y)fY (y) dy Z−∞∞ = P (X ≤ t − y|Y = y )fY (y ) dy Z−∞∞ P (X ≤ t − y )fY (y ) dy = −∞ Z ∞ = F X (t − y )fY (y ) dy

por independencia de X y Y

−∞

Tomando la derivada con respecto a t fZ (t) =

Z

∞ −∞

f X (t − y)fY (y) dy

Si X y Y son variables aleatorias positivas, los argumentos de fX y fY deben ser positivos. Esto cambia los l´ımites de integracion ´ a: Z t fZ (t) = f X (t − y )fY (y ) dy 0

Ahora bien, si X es exp(λ) y Y es erlang(λ,n) entonces fX (t) = λe−λt

t>0

n n−1 −λt

fY (t) =

λ t e (n − 1)!

t>0

Sustituyendo se obtiene fZ (t) =

Z

t

λe−λ(t−y)

0

λn y n−1 e−λy dy (n − 1)!

Z λn+1 e−λt t n−1 fZ (t) = y dy (n − 1)! 0 λn+1 e−λt tn fZ (t) = (n − 1)! n λn+1 tn e−λt fZ (t) = t>0 n! lo cual es una Erlang (n + 1,λ).

Ahora bien, se demuestra que la suma de n variables independientes exponenciales es una variable aleatoria Erlang: Sea Xi la secuencia de exponenciales(λ)IID, y sea Sn = X1 + . . . + Xn . Debemos probar que Sn es Erlang(n, λ). Procedemos por inducci o ´ n: 12

se puede ver que una Erlang(1, λ) es una exponencial(λ). • Para n = 1 facilmente ´ • Se supone Sn una Erlang(n, λ), y probamos que Sn+1 es una Erlang(n + 1, λ). Dado que Sn+1 = Sn + Xn , esto es exactamente lo que probamos en la parte (a).

Si X y Y son variables aleatorias independientes y tienen distribuciones de tipo exponencial con parametro ´ λ, calcule la distribucion ´ de Z = X + Y a partir de la formula ´ de convoluci o ´n Z

Problema 11.

t

fZ (t) =

0

fY (x − y)fX (x)dx

Advertencia: No se pueden usar transformadas para resolver este ejercicio. Ayuda: Z debe ser (2, λ). una Erlang con parametros ´ Respuesta: Se tiene que fX (t) = f Y (t) = λe−λt

t > 0.

Por lo tanto al reemplazar en la formula ´ de convoluci o ´n Z t fZ (t) = fY (t − x)fX (x)dx 0 Z t = λe−λx λe−λ(t−x) dx 0 Z t = λ2 e−λ(x+t−x) dx 0

= λ2 e−λt

Z

t

dx

0

= λ2 te−λt

t > 0,

que naturalmente coincide con una funcion ´ de...