Extremwertrechnung PDF

Preview

Summary

Download Extremwertrechnung PDF

Description

Aufgabe: Paul lässt einen Drachen steigen und sieht ihn in einem Winkel von 16 Grad. Klara steht 25 m von Paul entfernt und sieht den Drachen in einem Winkel von 22 Grad. Beider Augenhöhe ist 1,75 m. Wie hoch ist der Drachen? Paul und Klara können auch in der Draufsicht nicht auf einer Linie mit dem Drachen stehen. Draufsicht perspektivische Drache D Darstellung

x

K

h

y

ε

a= 1,75 m

P

h Augenhöhe α= 22° ε Klara

e = 25 m

Schnitt entlang der x-Linie

Klara a= 1,75 m

x

α=22° Augenhöhe

e = 25 m

Drache

Drache h

y β=16°

h

Drachenschnur

d x

Paul

β=16° Augena= 1,75 m höhe

y

Paul

Schnitt entlang der y-Linie

Die resultierende Höhe des Drachen liegt zwischen den zwei Extremen. Die Drachenhöhe d kann nur als Bereich angegeben werden. 5,94 m ≤ d ≤ 26,45 m. Intervall: I = [5,94;26,45]. a) Weise nach, dass d = a±

e × tan a × tan b e × tan a × tan 2 b 2 2 2 × cos e tan tan cos 1 × a+ b× e- 2 2 tan a - tan b tan 2 a - tan 2 b

(

)

die ultimative Lösungsformel ist, mit der man für jeden Winkel ε (Epsilon) die Drachenhöhe d bestimmen kann! b) Wie hoch fliegt der Drachen, wenn Klara horizontal 30 Grad von Paul wegblicken muss, um zum Drachen zu blicken (ε = 30 °)?

Aufgabe: Paul lässt einen Drachen steigen und sieht ihn in einem Winkel von 16 Grad. Klara steht 25 m von Paul entfernt und sieht den Drachen in einem Winkel von 22 Grad. Beider Augenhöhe ist 1,75 m. Wie hoch ist der Drachen? Eine Extremsituation ist: Paul und Klara blicken in Die andere Extremsituation ist: Paul und die gleiche Richtung, um den Drachen zu sehen. Klara blicken in die entgegengesetzte RichIn der Draufsicht stehen sie in einer Linie mit dem tung, um den Drachen zu sehen. Drachen. In der Draufsicht stehen sie ebenfalls in einer D K P Linie mit dem Drachen. K

e = 25 m

P

D e = 25 m

Drache

Drache

x

ε h 22° Augen- a= höhe 1,75 m

h

γ Klara

16° e = 25 m

Paul

Nebenwinkel: g = 180 ° - 22° = 158° Innenwinkelsumme: e = 180° - 158° - 16 ° = 6° x e e ×sin g = . => x = . Sinussatz: sin g sin e sin e 25m × sin 158° x= . => x = 89,59m . sin 6° h Sinus: sin 16° = . => h = x × sin 16° . x h = 89,59m × sin 16° . => h = 24,70m . Drachenhöhe: d = a + h = 1,75m + 24,70m = 26,45m . Für den Fall, dass beide in die gleiche Richtung gucken, ist der Drache in einer Höhe von 26,45 m.

22° y 16° z Klara a= 1,75 m Paul e = 25 m h h . => y = tan 22° y h h tan 16° = . => z = z tan 16° h h + e = y + z . => 25 m = tan 22° tan 16° h × ( tan 16° + tan 22° ) 25m = tan 16° × tan 22° 25m × tan 16° × tan 22° h= . => h = 4,19m . tan 16° + tan 22° d = a + h = 1,75m + 4,19m = 5,94m . Hier ist der Drachen nur 5,94 m hoch.

Tangens: tan 22° =

Paul und Klara können aber auch in der Draufsicht nicht auf einer Linie mit dem Drachen

K

h

Draufsicht

D x

perspektivische Darstellung

h

Augena= höhe x 1,75 m α=22° ε Klara

y

ε

Drache

P

y β=16° e = 25 m

Paul

e = 25 m stehen. Die resultierende Höhe des Drachen liegt dann zwischen den zwei Extremen. Die Drachenhöhe d kann also nur als Bereich angegeben werden. 5,94 ≤ d ≤ 26,45 m Intervall: I = [5,94;26,45] (in m). Schnitt Drache Drache Drachenentlang der x-Linie schnur h h Klara a= 1,75 m

α=22° Augenhöhe

d x

β=16° Augena= 1, 75 m höhe

y

Paul

Schnitt entlang der y-Linie

perspektivische Darstellung

h d

h

Augenhöhe a= 1,75 m

x

y

h2 h2 h = + e2 - 2 × × e × cos e 2 2 tan a Paul tan b tan a e = 25 m h2 h2 h + 2× × e × cos e = e 2 tan 2 b tan 2 a tan a

α=22° ε Klara

(

Kosinussatz: y 2 = x 2 + e 2 - 2 × x × e × cos e h h Tangens: tan a = ; tan b = . x y h h => x = . ; y= β=16° tan a tan b

Drache

)

h 2 tan 2 a - tan 2 b + 2 × h × e × cos e × tan a × tan 2 b = e 2 × tan 2 a × tan 2 b

)

2

e × cos e × tan a × tan 2 b e 2 × tan 2 a × tan 2 b h + 2 ×h × = tan 2 a - tan 2 b tan 2 a - tan 2 b

æ e ×cos e × tan a × tan 2 b ö ÷÷ + çç 2 2 a b tan tan ø è

2

(

2

(

¸ tan 2 a - tan 2 b

)

æ e × cos e × tan a × tan 2 b ö e 2 × tan 2 a × tan 2 b × tan 2 a - tan 2 b + e 2 × cos 2 e × tan 2 a × tan 4 b ÷ çç h + = 2 ÷ tan 2 a - tan 2 b tan 2 a - tan 2 b ø è

(

(

)

)

e × tan a × tan b × tan 2 a + tan 2 b × cos2 e - 1 e × cos e × tan a × tan 2 b tan 2 a - tan 2 b tan 2 a - tan 2 b e × tan a × tan b e × tan a × tan 2 b 2 2 2 a b e × cose h= ± tan tan cos 1 × + × tan2 a - tan2 b tan 2 a - tan 2 b h= ±

(

h= ±

)

25 m × tan 22 ° × tan 16 ° 25 m × tan 22° × tan 2 16° 2 2 2 e × cos e tan 22 tan 16 cos 1 × ° + ° × tan 2 22° - tan 2 16° tan 2 22 ° - tan 216 °

(

)

(

)

h = ±35,75069212m × 0,1632371912 + 0,822229125 × cos 2 e - 1 - 10,251346m × cos e Der Term mit „-“ für „±“ entfällt, da er negative Höhen ergibt.

(

)

h = 35,75069212m × 0,1632371912 + 0,822229125 × cos2 e - 1 - 10,251346m × cos e

(

)

d = a + h = 1,75m + 35,75069212m × 0,1632371912 + 0,822229125 × cos 2 e - 1 - 10, 251346m × cose d

ε...