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Vorlesung Diff zur Faktorenanalyse zusammengefasst...

Description

FAKTORENANALYSE 

Strukturanalyse  strukturentdeckende Verfahren - es liegt keine a priori Hypothese vor, Zusammenhangsstruktur wird datengetrieben identifiziert → Explorative Faktorenanalyse - viele korrelierte Variablen auf möglichst wenige Dimensionen reduzieren - Beschreibung korrelierender Variablen - dient Variablenzusammenfassung und Hypothesengenerierung o

Korrelationsmatrix - beinhaltet alle möglichen Korrelationen zwischen den Merkmalen - Diagonale: Selbstkorrelationen der Variablen; Spiegelung der Korrelationen entlang dieser - Faktoraufteilung „mit dem Augapfel“ anhand von Gemeinsamkeiten

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Faktorladungsmatrix - Ergebnis einer Faktorenanalyse - Ladung: korrelativer Zusammenhang jeder Variablen mit dem Faktor - Ziel Einfachstruktur: Jede einzelne Variable soll möglichst hoch auf nur einem Faktor laden

 strukturüberprüfende Verfahren - es liegt eine Theorie vor, aus der sich a priori Hypothesen zur Zusammenhangsstruktur ableiten lassen - Zusammenhangsstruktur wird theoriegetrieben anhand von empirischen Daten identifiziert → Konfirmatorische Faktorenanalyse - Überprüfung der Zusammenhangsstruktur korrelierender Variablen - dient der Hypothesenüberprüfung

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Ziele und Anwendungen  Ziele o

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Gruppierung einer großen Menge Variablen in Teilmengen sodass - die Variablen innerhalb der Teilmenge hoch korrelieren - die Variablen zwischen den Teilmengen niedrig korrelieren → Einfachstruktur spezifische: - Korrelationsmuster zwischen beobachteten Variablen zusammenfassen - Reduktion vieler beobachteter Variablen zu wenigen Faktoren - operationale Definition von zugrundeliegendem Konstrukt mathematischer Grundgedanke - Faktoren: Korrelationsmuster zusammenfassen, Ziel der Sparsamkeit

 Anwendungen

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induktive Konstruktion - Entwicklung von Persönlichkeits- und Intelligenztests anhand von Testungen an VPN

Schritte der Faktorenanalyse - Auswahl der zu messenden Variablen - Herstellung einer Korrelationsmatrix der zu messenden Variablen - Extraktion einer Menge von Faktoren aus der Korrelationsmatrix - Festlegung der Anzahl der zu extrahierenden Faktoren - Rotation der Faktoren (zur verbesserten Interpretierbarkeit) - Interpretation der rotierten Faktorlösung

GEOMETRISCHE DARSTELLUNG DER FAKTORENANALYSE 

Kosinusfunktion

→ Definition anhand des Einheitskreises - Wertebereich -1 / 0 / 1 (wie bei Korrelationskoeffizient) - cos (180°): VPN haben identische z-Werte in beiden Variablen - bei z-Standardwerten: cos des Winkels zwischen Variablenvektoren = Korrelationskoeffizient dieser Variablen

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Korrelationen im Versuchspersonenraum

z-standardisierte Variablen - Summe der quadrierten Variablenvektorlängen entspricht der VPN-Anzahl → Versuchspersonenraum - Darstellung: Personen als Achsen, Variablen als Punkte (jede Variable entspricht einem Punkt im Koordinatensystem) - Variablenpunkt mit Ursprung des Koordinatensystems verbinden = Gerade mit definierte Lage und Länge - Raum hat so viele Dimensionen wie VPN  Pythagoras - die Länge der Variablenvektoren von z-standardisierten Variablen ist immer gleich der positiven Wurzel von n  Winkel - die Korrelation zweier z-standardisierter Variablen ist gleich dem Kosinus des Winkels zwischen den beiden Variablenvektoren; je kleiner die Winkel, desto größer die Korrelation - spitze Winkel: positiv, stumpfe Winkel: negativ  Ebenen - alle Variablenvektoren liegen in einer Ebene: ein zweidimensionales Koordinatensystem genügt, um die Lage aller Variablen zueinander vollständig zu beschreiben - allgemein: Bündel von Variablenvektoren in ein neues Koordinatensystem legen, das möglichst wenige Dimensionen hat

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Faktorenlösung  Begriffe o

Faktoren - Dimensionen des neuen Koordinatensystems/ Koordinaten des neues Koordinatensystems

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Faktorenraum - Raum, der durch die Faktoren aufgespannt wird

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Extraktion der Faktoren - Rechenvorgang, der zu einer Faktorenlösung führt

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Faktorladungen der Variablen auf den Faktoren - Projektionen der Variablenvektor-Endpunkte auf die Faktoren (Koordinaten der Variablen im Faktorraum) - lassen sich in Form einer Matrix darstellen, die man Faktorladungsmatrix nennt - hängen von der Länge der Variablenvektoren ab

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Variablenvektoren - Länge hängt von der Dimensionalität des VPN-Raums ab - Länge von z-standardisierten Variablen beträgt immer Wurzel von n - um die Faktorenladungen von n numerisch unabhängig zu machen, bringt man alle Vektoren auf die Länge 1

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Faktorladungsmatrix

idealer Fall: - alle Vektoren liegen in einer Ebene und können in ihrer vollen Länge dargestellt werden → kein Informationsverlust - Länge kleiner als 1: Darstellung nicht mehr perfekt → erst ein zusätzlicher Faktor kann die Korrelation der Variablen mit einer weiteren Variablen vollständig darstellen  h2 - h= Länge der projizierten Variablenvektoren im Faktorraum - h2= statistisches Maß für die Genauigkeit der Faktorlösung → entspricht der durch die Faktoren erklärten Varianz der Variablen j → Interpretation: Wie „verlustfrei“ lässt sich eine gegebene Variable mit den vorhandenen Faktoren abbilden? (max: 1, min:0)  Faktorlösung - Nähe der Faktoren zu den Variablenvektoren - Variablen mit ähnlichen Faktorladungsmustern über alle extrahierten Faktoren bilden eine inhaltsähnliche Gruppe - gute Repräsentation einer inhaltsähnlichen Variablengruppe durch einen Faktor: Faktor liegt selbst im Bündel oder nahe am Bündel → Problem: Lage der Faktoren meist willkürlich; Lösung: Rotation zur optimalen Lage der Faktoren zu den Bündeln

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Faktorenrotation: orthogonale Lösung - die Faktoren bleiben nach der Rotation aufeinander senkrecht stehen (die Faktoren sind unkorreliert) - erreichen, dass Variablen auf einem Faktor möglichst hohe, auf dem anderen möglichst niedrige Ladungen zeigen → Einfachstruktur

 inhaltliche Interpretation - theoretisch-spekulativ das Gemeinsame erschließen→ Konstrukt - Schlüssel dafür: Faktorladungsmatrix

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Beispiel: PANAS-Fragebogen - 10 Items indizieren einen abstrakten Faktor „positiver Affekt“ - 10 Items indizieren einen abstrakten Faktor „negativer Affekt“

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Markieritems - Merkmale, die „am reinsten laden“

Faktorenrotation: oblique Lösung - oft lässt sich das Kriterium der Einfachstruktur mit einer orthogonalen Rotation nicht erfüllen, deshalb wird gelegentlich eine schiefwinklige Rotation zugelassen → Aufhebung der Orthogonalität  Verkomplizierung der Modelleigenschaften - unterschiedliche Länge der Variablenvektoren: keine perfekte Darstellung mehr möglich - Faktorladungsmatrix zerfällt in Mustermatrix und Strukturmatrix - Winkel können nicht mehr einfach als Korrelationen gelesen werden (es treten auch Ladungen über 1 auf)  Mustermatrix - ihre Einfachstruktur wird mit der Rotation optimiert und liegt der inhaltlichen Interpretation der Faktoren zugrunde - muss ergänzt werden durch die Matrix der Faktorinterkorrelationen, die die Information über die Zusammenhänge der ja nun nicht mehr unkorrelierten Faktoren enthält - Faktorladungen: Koordinaten der Variablenvektorendpunkte  Strukturmatrix - Korrelationen zwischen den Variablen und den (schiefwinklig rotierten) Faktoren: senkrechte Projektionen der Variablenvektorendpunkte auf die Faktoren - quadrierte Variablen-Faktorenkorrelationen lassen sich nicht mehr zu Kommunalitäten der Variablen über die Faktoren aufaddieren - „Abfallprodukt“

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Fundamentale Gleichungen Probleme der Methode Anwendungsbeispiel...