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1) Worin besteht der Grundgedanke der FEM? Ziel ist es, einen beliebigen Funktionsverlauf durch stückweise Approximation mit einfachen Funktionen anzunähern, um diese einfacher und schneller berechnen zu können Der Grundgedanke besteht darin, das Werkstück in viele endliche (finite) Elemente aufzuteilen, die an den Elementrändern verknüpft sind. Für die gesuchte Funktion (Verschiebung, Stress) werden Ansätze gewählt, die nur in den einzelnen Elementen definiert sind und der Unbekannte Faktor die Verschiebung ist.

2) Schildern Sie grob (in Schritten) den Ablauf einer manuell durchgeführten FEM. 1. Auswahl der Ansatzfunktion (linear, quadratisch, kubisch) 2. Aufstellen der Matrixbeziehung für ein Element (Elementgleichung) 3. Koppeln der Elemente zum Gesamtsystem (Elementkopplung) 4. Einbau der Randbedingungen 5. Lösen des Gleichungssystems 6. Berechnung der Reaktionskräfte

3) Welche Dimension besitzt die Steifigkeitsmatrix eines für ebene, linear-elastische Probleme verwendbaren Stabelementes im lokalen Koordinatensystem und welche im globalen Koordinatensystem? Wodurch kommt der Unterschied in der Dimension (falls vorhanden) zustande? Lokales Kos globales Kos

– –

2x2 Matrix 4x4 Matrix

Da im lokalen Kos je Knoten nur eine Verschieberichtung möglich ist und im globalen Kos je Knoten zwei Verschieberichtungen in x-y-Richtung möglich sind.

4) Welche Softwarekomponenten sind erforderlich, um eine FEM-Analyse komplett rechnergestützt durchführen zu können? Welche Aufgaben werden mit den einzelnen Softwarekomponenten erfüllt? CAD- System Fe-Preprozessor

FEM-Programm Fe-Postprozessur

Geometrieerstellung Generierung eines berechenbaren FE-Modells (Netzerzeugung, Einleitung von Kräften, Festlegen von Randbedingungen, Aufstellen der Lösungsgleichung) Lösung der Gleichung (Solver) Ausgabe und Darstellung der Ergebnisse (grafisch)

4a) Ist die folgende Aussage richtig: „Ein Stabelement besitzt 6 Freiheitsgrade“? Begründen Sie Ihre Antwort! Ein Stabelement besitzt in: 2D (Ebene): 2 Freiheitsgrade pro Knoten: Verschiebung ux, uy 3D (Raum): 3 Freiheitsgrade pro Knoten: Verschiebung ux, uy, uz Ein Stabelement besitzt 2 Knoten, im Raum (3D) ergeben sich somit 6 Freiheitsgrade.

5. a) Welche und wie viele Freiheitsgrade besitzt ein Balkenelement, das für ebene Probleme eingesetzt werden kann? In der Ebene besitzt ein Knoten eines Balkenelementes 3 Freiheitsgrade (Verschiebung ux, uy und Rotation um z). Da ein Balkenelement 2 Knoten hat, besitzt es insgesamt 2x3=6 FHG. Je Knoten 3 Freiheitsgrade:

2 translatorische (x, y) und 1 rotatorische (z)

5. b) Welche und wieviel Freiheitsgrade müssen an Knoten 1 und 2 unterdrückt werden, wenn das dargestellte Problem mit einem Balkenelement berechnet wird, das für ebene Probleme verwendet werden kann?

Knoten 1: es müssen alle 3 Freiheitsgrade unterdrückt werden (ux, uy und Rotation um z) Knoten 2: es muss ein Freiheitsgrad unterdrückt werden uy Knoten 1: 3 Freiheitsgrade -> 2 transl. (x, y) und 1 rot. (z) Knoten 2: 1 Freiheitsgrad -> 1 transl. (y)

6. Als unerfahrener FEM-Anwender müssen Sie die Ergebnisqualität einer FEM-Berechnung, die unter Verwendung von 4-Knoten-Vierscheibenelementen duchgeführt worden ist, beurteilen. Wie gehen Sie vor? Welche Alternativen gibt es? Begründen Sie Ihre Antwort. • • • • •

Prüfen, ob Scheibenelement richtige Wahl ist - Können nur in der Ebene belastet werden Daraus achten, ob an Krafteinleitungsstellen und scharfen Ecken und Kanten ein feineres Netzt generiert wurde, um Singularitäten auszuschließen Ergebnis auf Plausibilität prüfen Aufbau mit unterschiedlichen Elementen, um einen Vergleich zur Beurteilung der Güte zu haben Andere Software nutzen

Man sollte die Ergebnisse mit mech. Kenntnissen, Übereinstimmungen, Widersprüchen, ggf. Berechnungen von Hand vergleichen. Alternativ sollte man eine Neuberechnung mit einem feineren Netz durchführen. Man sollte immer berücksichtige, dass es sich lediglich um Näherungslösungen handelt Zuerst ist zu prüfen, ob ein Scheibenelement überhaupt die richtige Wahl war. Scheibenelemente können nur in der Ebene belastet werden. Man sollte darauf achten, ob an Krafteinleitungsstellen und scharfen Ecken und

Kanten ein feineres Netz generiert wurde um Singularitäten ausgleichen zu können. Generell sollte man aus Erfahrung und Berechnungen von Hand das Ergebnis auf Plausibilität prüfen. Alternativ kann man das Modell mit verschiedenen Elementtypen berechnen, um Vergleiche zu erhalten, z.B. 8 anstatt 4 Knoten.

7. Ein FEM-Modell besteht ausschließlich aus Tetraeder-Elementen und besitzt 1100 Knoten. Wieviel Freiheitsgrade besitzt das Gleichungssystem? (Oder 2200 Knoten) Ein Tetraeder-Element gehört zu den Volumenelementen und besitzt 3 FHG pro Knoten. ➔ 3x1100 Knoten = 3300 Freiheitsgrade 3 FHG pro Knoten ➔ 3x2200 Knoten = 6600 Freiheitsgrade

8. Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen der im Bild dargestellten Belastung des Balkens und der rechten Seite der Matrixbeziehung für das Balkenelement!

Bei der rechten Seite der Matrixbeziehung handelt es sich um die Belastung des Bauteils.

9. Was bedeutet der Auxiliary Point (Hilfspunkt) bei der Generierung von Balkenelementen in dem FEMSystem ADINA?

Auxiliary Point = Referenzpunkt Zur Ausrichtung des Querschnittes wird ein Referenzpunkt benötigt. Dieser Punkt ist für die Ausrichtung der Kraftvektoren wichtig. (Orientierung des Balkenquerschnitts) Das ist wichtig, da die Spannungsverteilung aus dem Flächenträgheitsmoment und der Querschnittsfläche berechnet wird. Dazu muss der Anwender den Querschnitt ausrichten. 10. Eine homogene isotrope Struktur aus Stahl (E-Modul: 200.000GPA) wird einer Kraft ausgesetzt. Die maximale Spannung beträgt 100.000MPa. Wie ändert sich die maximale Spannung, wenn das E-Modul der Struktur der Struktur um 50% reduziert wird? (auf 100.000MPa)?

reduziert sich die Spannung auch um die Hälfte, da Spannung= e*Ex ist Es gilt: δ=F/A

11. Welche Belastungen können a) Plattenelemente b) Scheibenelemente aufnehmen? a)

Plattenelemente können nur senkrecht (quer) zu ihrer Ebene belastet werden. In Z-Richtung mit einer Kraft und in x- und y-Richtung mit einem Moment (Bsp. Zimmerdecke) (Querkraft und Biegung) Durch Belastung quer zur Ebene (Querkräfte): Kräfte in z-Richtung und Momente in x- und y- Richtung.

b) Scheibenelemente können nur in Ihrer Ebene belastet werden (Bsp.: Hauswand) Durch Belastungen in der Ebene (Zug und Druck): Kräfte in z- und y- Richtung

12. Welches der 2 folgenden Elementtypen ist für die Spannungsanalyse eines ebenen Problems im Allgemeinen besser geeignet? a) 3-Knoten-Dreieckscheibenelemente b) 4-Knoten-Viereckscheibenelemente Die beiden Elemente unterscheiden sich in ihrem Ansatz. Bei 3-Knoten-Dreieckscheibenelemente ist die Ableitung eine Konstante. Bei 4-Knoten-Viereckscheibenelemente ist die Ableitung eine lineare Funktion. Daher sind 4-Knoten-Viereckscheibenelemente besser geeignet, weil sie eine vergleichsweise bessere Annährung liefert.

13. Welche Randbedingungen sind am welchem Ort in der nachfolgenden aus dem Programm stammenden Abbildung definiert?

Das sind Lagerbedingungen aus dem Programm ADINA. Lager B: Verschiebung in z-Richtung unterdrückt, Verschiebung in y-Richtung und Rotation in z-Richtung und x möglich. Knoten B: Verschiebung in z-Richtung unterdrückt. Knoten C: Verschiebung in y-Richtung und Rotation um x-Achse unterdrückt.

14. Warum kann es in SolidWorks Simulation erforderlich sein, Trennlinien zu erzeugen? Eine Trennlinie teilt eine ausgewählte Fläche in mehrere separate Flächen. Um Lagerpunkte zu definieren. (Mahlmühle) Um Kraftangriffspunkte zu definieren (Haken, Tank) Um eine Kraft, Lagerpunkte oder ein Moment klar zu definieren (Ort). Kräfte können nur an Linien oder Punkten anliegen.

15. In SolidWorks Simulation sind für eine Kante Randbedingungen definiert worden. Welche sind diese?

Die Kante wurde translatorisch in x unterdrückt und rotatorisch in der x und y-Achse unterdrückt (festgehalten). 16. a) Für das unten mit symmetrischen Linienlasten beaufschlagte dargestellt Bauteil soll ein FE-Modell für eine linear-elastische Berechnung erstellt werden. Machen Sie einen Vorschlag (Skizze), der die Netzeinstellung und vor allem die Randbedingungen umfasst!

Aufgrund der Symmetrie in beiden Achsen ist es möglich nur ein Viertel des Bauteils zu berechnen. Bei der Berechnung darf nicht mit der kompletten Kraft gerechnet werden, sondern mit F/2. Als Randbedingung müssen die Verschiebungen senkrecht zu den Schnittflächen unterdrückt werden. Da es sich um ein ebenes Problem handelt, würde sich z.B. ein 4-Knoten-Vierscheibenelement empfehlen. Außerdem sollte an scharfen Ecken das Netzt verfeinert werden.

16 b) Welche Freiheitsgrade müssen berücksichtigt werden, wenn das oben dargestellte Problem mit Scheibenelementen berechnet wird? Zeigen Sie dies am Beispiel des FEM-Systems ADINA auf, indem Sie markieren, welche Kontrollkästchen in der nachfolgenden Abbildung aktiviert werden müssen und welche nicht. (Zeichnen Sie hierzu bitte ein Koordinatensystem in die obere Abbildung ein und markieren Sie die zu berücksichtigenden Freiheitsgrade in der nachfolgenden Abbildung)

Aktiviere: z und y-Translation (außer es ist ein Koordinatensystem angegeben) (Das Teil wird in x-Richtung gestreckt und in z-Richtung gestaucht)

17. a) Leiten Sie die einem Stabelement zugrundeliegende Differentialgleichung her!

1.

Spannung-Dehnungsbeziehung

2.

Kräftegleichgewicht

3.

Einsetzen

17. b) Mit welchem Ansatz und warum kann für ein finites Element eine Näherung dieser DGL erreicht werden? Die DGL kann aus dem Hook’schem Gesetz und dem Kräftegleichgewicht abgeleitet werden. Wenn ein Stabelement vorliegt (E*A*u‘‘+px=0), dann partielle Integration um u‘ zu bekommen, d.h. also ein linearer Ansatz.

19. unten sei der Querschnitt einer Welle (an der Lagerstelle) dargestellt. Zeichnen Sie Randbedingungen (Lagerungsbedingungen) so ein, dass a) nur ein Torsionsmoment abgestützt wird b) nur eine Gewichtslast abgestützt wird

20. Das abgebildete Bauteil ist mit einer konstanten Linienlast beaufschlagt und soll mit der abgebildeten FEMStruktur berechnet werden. Nehmen Sie dazu Stellung (Begründung). (Die mit x gekennzeichneten Elemente sind 8-Knoten-Viereckscheibenelemente, alle übrigen Elemente sind 4-Knoten-Viereckscheibenelemente)

Es sollen im Allgemeinen keine Elemente mit unterschiedlichen Verschiebungsansätzen gekoppelt werden. Es kann so zu Überlappungen, Durchdringungen oder Klaffungen (Lücken) im Netz kommen. Alternativ sollte man besser an kritischen Stellen ein feineres Netz wählen. (jeder Knoten braucht einen Gegenknoten) Zwei verschiedenen Elementtypen sind miteinander kombiniert →Klaffungen, Überlappungen und Durchdringungen können im Netz entstehen Höhergradige Elemente eines Elementtyps an der Einspannung einsetzten, da dort große Belastungen durch den Hebelarm zu erwarten sind Feiner Vernetzen an Krafteinleitungsstellen um Verschiebungen genauer erfassen zu können und Singularitäten zu vermeiden.

22. Welche Dimension besitzt die Steifigkeitsmatrix eines für ebene, linear-elastische Probleme verwendbaren Stabelementes im lokalen Koordinatensystem und welche im globalen Koordinatensystem? Wodurch kommt der Unterschied in der Dimension (falls vorhanden) zustande? Lokalen Koordinatensystem: 2x2 Matrix Globalen Koordinatensystem: 4x4 Matrix Im lokalen Koordinatensystem können die Stäbe nur in eine Richtung verschoben werden, im globalen Koordinatensystem aber in x- und y-Richtung.

23. Welche Daten sind zur vollständigen Beschreibung eines FE-Berechnungsmodells für eine linear-elastische Analyse notwendig? -Geometrie -Randbedingungen (Lager) -Belastungen (Kräfte) -Materialeigenschaften -Elementeigenschaften -Vernetzung 24. Welche Möglichkeiten der grafischen Ergebnisdarstellung einer FEM-Berechnung gibt es? Spannung, Verschiebung, Dehnung, Listen Getrennte gemittelte und kontinuierliche Darstellung Diagramme, Isolinien, Isoflächen, verformte/unverformte Darstellung des Bauteils 25. Was versteht man unter Schalenelementen? Schalenelemente sind Elemente der FEM, die ein dünnwandiges Bauteil simulieren können. Sie werden im Raum angeordnet und in 3D-Anwendungen eingesetzt. Dabei sind es Körper, deren Oberfläche durch räumlich gekrümmte Flächen dargestellt werden können. Ein Schalenelement ist eine Kombination aus einer Platte und einer Scheibe. Ein Schalenelement besitzt 6FHG pro Knoten. Belastungen können quer und parallel zur Ebene aufgenommen werden.

26. Kennen Sie einen Elementtyp, der für die Spannungsanalyse besser geeignet ist, als ein 4-KnotenViereckscheibenelement. Wenn ja nennen Sie ihn und begründen sie die bessere Eignung. 8-Knoten-Viereckscheibenelemente wären besser geeignet, da auf Grund der Zwischenknoten mehr Spannungen berechnet werden und das Ergebnis somit genauer wird. (Ansatzfunktion höheren Grades) dadurch bessere Verschiebung dadurch Ableitung bekomme ich meine Dehnung 27. Für welche Stellen bzw. Punkte eines Elementes werden bei der FEM-Festigkeitsberechnung die Verschiebungen, für welche Stellen die Spannungen berechnet? Die Verschiebungen werden direkt an den Knoten ermittelt. Die Spannungen werden im Inneren der Elemente an den sogenannten Gaußpunkten ermittelt. Dies wird durch Integration realisiert.

28. Eine FEM-Analyse für ein ebenes Problem ist durchgeführt worden. Nehmen Sie Stellung zu der Aussage: Die berechneten Spannungen besitzen einen kontinuierlichen (stetigen) Verlauf über das gesamte FE-Netz. Wahrscheinlich wurde der Mittelwert gebildet bzw. das Ergebnis geglättet. Außerdem kann es sein, dass verschiedene Netze aufeinander liegen. Dies kann zu Fehlern führen, da diese Stellen gemittelt werden. (Soll trotz grober Vernetzung ein kontinuierlicher Verlauf erzeugt werden, kann dies mit der sogenannten Smoothing Technik erfolgen)

29. Beschreiben Sie, welche Voraussetzungen in Cosmos/Works vorliegen müssen, um a) eine variable Druckbelastung definieren zu können b) eine Drehmomentbelastung definieren zu können a) Bei der Druckerzeugung muss die Option „ungleichmäßige Verteilung“ a ktiviert werden. Unter der Registerkarte Referenzgeometrie muss ein neues Koordinatensystem erstellt werden. Die variable Druckbelastung wird anhand einer Funktion beschrieben und bezieht sich auf das erzeugte Koordinatensystem. Es kann gegeben falls auch notwendig sein, eine Trennebene einzufügen (Übung mit dem Wassertank), wenn die Belastung bei einer bestimmten Höhe innerhalb des Bauteils beginnen soll. b) Es muss eine zylindrische Fläche ausgewählt werden oder bei einer planen Fläche zusätzlich eine Referenzachse.

30. Ein FEM Modell für eine Festigkeitsberechnung besteht ausschließlich aus Scheibenelementen und besitzt 2200 Knoten. Wieviel FHG besitzt das Gleichungssystem? Ein Scheibenelement besitzt 2 FHG → 2200x2 = 4400 FHG

31. Für einen gekrümmten Träger ist das unten dargestellte gleichförmige FE-Netz aus 4-KnotenScheibenelementen erzeugt worden. An seinem freien Ende wird der Träger mit einer horizontalen Last beaufschlagt, die sich gleichmäßig auf das Ende verteilt. Wie groß sind die Kräfte, die den einzelnen Knoten zugewiesen werden müssen?

Außen 5 und in der Mitte 10 (beim Freischneiden kommen auf alle Elemente an die Knoten 5N und werden dann addiert)

32. Worauf muss man beim Streichen von Spalten und Zeilen in der Gesamtsteifigkeitsmatrix achten? Vermeidung von Informationsverlusten

33. Welche Verfahren gibt es um den Fehler klein zu halten? Verfahren nach Galerkin und die Fehlerquadratmethode (FQM) Unterschied: - FQM: Der Fehler wird gewichtet durch seine Ableitung - Galerkin: Die Gewichtsfunktion entspricht der Formfunktion (Shapefunction) Der Fehler wird durch die Shapefunction gewichtet. 34. Warum muss man einen Elementtypen festlegen? Mit dem Elementtyp wählt man eine Ansatzfunktion.

35. Wie wird die Ansatzfunktion hergeleitet? 1D: 1, x, x², x³,… 2D: Pascal´sches Dreieck: 1, x, y, x*y, x², y²,…. 3D: Pascal´sches Dreieck als Pyramide: 1, x, y, z,…. 36. Was ist eine Randbedingung? Eine bekannte Verschiebung. 37. Wo können Singularitäten auftreten? An Lasteinleitungsstellen, scharfen Ecken und Kanten. 38. Was kann man gegen Singularitäten unternehmen? Realitätsgerechte Modellierung wie z.B. Rundungen, lokale Netzverfeinerungen 39. Warum können Netzverfeinerungen notwendig sein? Um Singularitäten auszuschließen und um an kritischen Stellen genauere Ergebnisse zu erhalten. 40. Was sind Klaffungen? Klaffungen sind Lücken an den Elementrändern, die durch Kopplung unterschiedlicher Elementtypen entsteht. 41. Ein FEM-Model besteht ausschließlich aus Tetraeder-Elementen und besitzt 1100 Knoten. Wieviele Freiheitsgrade besitzt das Gleichungssystem? 1100x3 = 3300 FHG

42. Eine FEM-Analyse für ein ebenes Problem ist durchgeführt worden. In der Abbildung ist der Verlauf der Vergleichsspannung dargestellt. Warum sind die Verläufe der Farbbänder über die Elementränder hinweg nicht kontinuierlich? Nehmen Sie dazu Stellung.

Stichwort Singularität: Sprünge zu grob. (-> glätten) zu grobe Vernetzung, lieber 8-Knoten-Viereckelement Maßnahmen:

- realitätsgerechte Modellierung - lokale Netzverfeinerung - smooth-technik

ZUSATZFRAGEN 1) Warum ist es wichtig bei der Generierung eines Balkenelementes die Orientierung des Querschnitts über einen Vektor bzw. Hilfspunkt anzugeben? Zum Berechnen der Spannung wird aus der Querschnittsfläche und dem Flächenträgheitsmoment eine Spannungsverteilung berechnet. dazu muss der Anwender den Querschnitt in der Ebene ausrichten, damit das Programm die notwendigen Zahlenwerte für die Elementsteifigkeitsmatrix bestimmen kann.

2) Die unten dargestellte Welle wird durch die beiden Kr äfte auf Biegung belastet. Gelagert ist die Welle gelenkig jeweils in der Mitte der unteren Wellenscheibe. Links befindet sich das Festlager, rechts das Loslager. Welche Schritte müssen Sie durchführen, wenn für diese Welle ein Berechnungsmodell erstellt werden soll? Wie sieht das Netz aus? Es dürfen in diesem Fall keine Volumenelemente verwendet werden!

3) Das unten abgebildete Blech ist rechts vollständig eingespannt und wird an seiner linken Seite mit einer Querkraft auf Biegung belastet.

y x z 3 a) Welche Spannung entspricht der Biegespannung? σz = εz ∗ E = Biegespannung σb = 𝑀𝐵 /W = Biegespannung

3 b) Wie ist der Verlauf der Biegespannung über den Querschnitt, also über die Blechdicke?

F

𝜎 + -

Der Verlauf der Biegespannung ist bei konstantem Querschnitt proportional fallend mit dem Länge des Balkens.

4) Die obere Begrenzung des dargestellten Netzes aus 4-Knoten-Viereckscheibenelemten soll gleichmäßig belastet werden. Die resultierende Kraft soll insgesamt 1 N betragen. Mit welcher Kraft werden die einzelnen Knoten belastet?

1N

1N 1 6

1 3

1 3

1 6

5 a) die aus dem Praktikum behandelte gelochte Scheibe unterliegt einer Fliehkraft (bei konstanter Drehzahl). Welche Randbedingungen sind zu definieren, wenn für das FEM-Modell Scheibenelemente verwendet werden? Geben Sie die für das FEM Modell notwendigen Randbedingungen an und begründen Sie diese bzw. Markieren Sie dazu die entsprechenden Stellen in der untenstehenden Darstellung.

z y x Da bei der Berechnung mit 2D-Solids nur die translatorischen Freiheitsgrade in y- und z-Richtung benötigt werden, müssen die übrigen fixiert werden.

5 b) Welche Freiheitsgrade müssen berücksichtigt werden, wenn das oben dargestellte Problem mit Scheibenelementen berechnet wird? Zeigen Sie die am Beispiel des FEM-Systems Adina auf, indem Sie markieren welche Kontrollkasten in der Abbildung aktiviert ...