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Ecole des HEC Université de Lausanne

FINANCE EMPIRIQUE

Eric Jondeau Bachelor/Licence

Pr. Eric Jondeau – Finance Empirique

1/60

Organisation du cours 1. Caractéristiques des Rendements des Actifs Financiers 2. Modèle de Marché et Régression Linéaire 3. Modèle d'Evaluation des Prix des Actifs Financiers 4. Efficience des Marchés et Prévisibilité des Rendements d'Actifs Financiers 5. Dividend Discount Model et Bulles Rationnelles 6. Modélisation de la Volatilité des Actifs Financiers

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Pr. Eric Jondeau – Finance Empirique

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FINANCE EMPIRIQUE Caractéristiques des Rendements des Actifs Financiers

Eric Jondeau

Bachelor/Licence

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Rendement d'actif

Pourquoi s'intéresser aux propriétés des rendements des actifs financiers plutôt qu'aux prix ? ● En général, les investisseurs sont intéressés par les rendements plutôt que par les prix. ● Les propriétés statistiques des rendements sont en général « meilleures » que celles des prix.

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Rendement d'actif Rendement simple à une période

La détention d'un actif entre les dates t−1 et t rapporte le rendement simple à une période Rt

Pt Pt Pt 1

1

ou

Pt

Pt 1 1 Rt

où Pt : prix de l'actif à la date t, Rt : rendement simple à une période entre les dates t−1 et t.

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Pr. Eric Jondeau – Finance Empirique

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Rendement d'actif Rendement simple à plusieurs périodes La détention d'un actif entre les dates t k et t rapporte le rendement simple à k périodes Rt [k ]

Pt

Pt Pt

k

ou

Pt

Pt

k

1 Rt [k ]

Pt

k

1 Rt

... 1 Rt

k 1

k

où Rt [k ] : rendement simple à une période entre les dates t k et t. En général, les rendements sont exprimés implicitement sur une base annuelle. Si l'actif est détenu pendant k années, alors le rendement annualisé est R a [k ] t

k   j

1

1 Rt 0

j

   

1/ k

1

1 k 1 R j 0 t t k Cette approximation est toutefois insuffisante pour certaines applications.

Remarque: dans certains cas, on utilise l'approximation : R a [k ]

Bachelor/Licence

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∑

j

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Rendement d'actif Rendement à composition continue (ou « log-rendement ») Si une banque paie un intérêt annuel Rt(m ) , m fois par an, le taux d’intérêt de chaque paiement est Rt( m) / m et la valeur nette du placement est (1 Rt(m ) / m)m un an plus tard. Dans le cas limite où les versements ont lieu en continu (m  Rt( m)   lim 1 m m  

), on a

m

exp rt

On déduit que le rendement composé continûment rt est donné par rt

 P  ln t   Pt 1 

pt

pt

où p t

1

ln Pt .

Un avantage des taux composés continûment est que le rendement à plusieurs périodes est simplement la somme des rendements à une période composés continûment : k 1

rt [ k ] ln 1 Rt [ k ]

∑ ln 1 j 0

Bachelor/Licence

k 1

Rt

j

∑r

t j

j 0

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Rendement d'actif Rendement de portefeuille La composition continue a un désavantage, quand on calcule le rendement d'un portefeuille. Le rendement simple d'un portefeuille de N actifs est la moyenne pondérée des rendements simples des N actifs. Si on définit p le portefeuille avec les poids i sur l'actif i. Alors le rendement simple du portefeuille est N

∑

R p, t

i Ri, t

i 1

Maintenant le rendement composé continûment du portefeuille n'a pas la même propriété. Le rendement composé continûment du portefeuille r p, t est r p ,t

 N ln  i1

∑

i

exp ri ,t

   

N

∑

i ri,t

i 1

Dans les applications empiriques, ce problème est malgré tout mineur. Bachelor/Licence

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Rendement d'actif Paiement des dividendes Pour des actifs payant des dividendes périodiquement, la définition des rendements doit être modifiée. Soit Dt le dividende payé entre les dates t-1 et t et Pt le prix de l'actif à la fin de la période t. Le dividende n'est pas inclus dans Pt . Alors, le rendement simple et le rendement composé continûment à la date t sont définis respectivement comme Rt

rt

Pt

Dt Pt

ln Pt

1

1

Dt

ln Pt

1

Remarque : En général les indices boursiers de référence incluent les paiements de dividendes (sauf, notamment, l’indice DAX en Allemagne). Certaines institutions financières (comme Morgan Stanley, indices MSCI) produisent des indices de référence sans paiement de dividendes (« price index ») ou avec paiement de dividendes (« total return index »). Bachelor/Licence

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Rendement d'actif Excès de rendement Dans de nombreuses applications, nous allons utiliser les excès de rendement plutôt que les rendements eux-mêmes. L’excès de rendement est simplement la différence entre le rendement de l’actif et le rendement d'un actif de référence. L’actif de référence est souvent l’actif sans risque, en pratique le Bons du Trésor à court terme. Dans ce cas, l’excès de rendement simple et l'excès de rendement composé continûment sont définis de la façon suivante : Zi ,t

Ri ,t

R f ,t

z i ,t

ri ,t r f ,t

où R f , t et rf ,t sont le rendement simple et le rendement composé continûment, respectivement.

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Caractéristiques des rendements des actifs financiers Les premiers travaux en Finance ont fait des hypothèses très fortes sur les rendements des actifs financiers. Les hypothèses les plus cruciales sont les suivantes :

1. Normalité des log-rendements Il s’agit d’une hypothèse simplificatrice utile pour de nombreuses applications en Finance (par exemple, pour l’évaluation des prix des options). Pour les rendements des indices boursiers, c’est cohérent avec la loi des grands nombres.

2. L’indépendance temporelle (processus iid) Il s’agit, dans une certaine mesure, d’une implication de l’Hypothèse d’Efficience des Marchés (HEM). En fait, l’HEM impose seulement que les rendements sont imprévisibles.

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Log-rendements mensuels (1980-2004) SP500 30

20

20

10

10

0

0

-10

-10

-20

-20

-30 1980 1985 1990 1995 2000 2005

-30 1980 1985 1990 1995 2000 2005

DAX

FT All Shares

20

20

0

0

-20

-20

1980 1985 1990 1995 2000 2005

Bachelor/Licence

Nikkei

30

1980 1985 1990 1995 2000 2005

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Histogramme des log-rendements mensuels (1980-2004) Nikkei

SP500 50

60 50

40

40 30 30 20 20 10

10 0 -30

-20

-10

0

10

20

0 -30

-20

-10

DAX

0

10

20

FT All Shares

60

80

50 60 40 30

40

20 20 10 0 -30

Bachelor/Licence

-20

-10

0

10

20

0 -40

-20

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0

20

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La distribution des rendements Pour pouvoir aller plus loin dans l'analyse des rendements, il faut définir certains concepts théoriques importants : - la distribution d'une variable aléatoire - les moments d'une variable aléatoire Pour définir la distribution univariée des rendements, on fait les hypothèses suivantes:

 la série de rendement observée est la réalisation d'une variable aléatoire (v.a.) X.  X peut prendre n'importe quelle valeur dans un certain intervalle (-100%;+∞). X est une v.a. continue.  la distribution de X est donnée par fX(x). Remarque : On distingue entre X la v.a. et x une réalisation de cette v.a. Par exemple, X est la v.a. « résultat du lancer d'une pièce » (1 pour pile, 0 pour face). X est la valeur (0 ou 1) que prend la v.a. X quand on lance effectivement la pièce. Bachelor/Licence

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La distribution des rendements Fonction de distribution (pdf, pour probability distribution function) Quand X est une v.a. continue, la probabilité qu’elle soit exactement égale à une valeur donnée x est nulle par construction. Mais on suppose que la probabilité que X soit proche de x (entre x et x+dx) est donnée par la fonction fX ( x ). On a donc Pr X

x; x dx

f X x dx .

La probabilité que X soit inférieur ou égal à c est donnée par FX c

Pr X

c

∫

c

f X x dx .

FX (c) est la fonction de répartition (cdf).

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La distribution des rendements Moments d’une v.a. La moyenne ou la valeur anticipée d’une v.a. continue est: E[ X]

∫

xfX x dx

La moyenne est le paramètre de location de la distribution. La variance d'une v.a. est 2

V[ X]

E[ X

2

]

∫

x

2

Xf

x dx

La variance est le paramètre de dispersion de la distribution. distribution.

Bachelor/Licence

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est l’écart-type de la

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Moyenne d’une v.a. Distribution normale pour différent valeurs de mu 0.4 mu=-1 mu=0 mu=1

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 -5

Bachelor/Licence

-4

-3

-2

-1

0

1

2

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3

4

5

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Ecart-type d’une v.a. Distribution normale pour différent valeurs de sigma 0.8 sig=0.5 sig=1 sig=2

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 -5

Bachelor/Licence

-4

-3

-2

-1

0

1

2

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3

4

5

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La distribution des rendements Moments d’une v.a. Plus généralement, on définit le kème moment non centré de la v.a. X comme mk

k

EX

∫

k

for k = 1, 2, ...

x Xf x dx

Le premier moment non centré m1

est la moyenne de X.

On définit le kème moment centré de la v.a. X comme k

E X

m 1

k

∫

x m 1

k

fX x dx

Par construction, 1 = 0. Le second moment centré de X.

for k = 1, 2, ... 2 2

m2

2

est la variance

Le 3éme moment centré 3 E[( X )3 ] mesure l’asymétrie de la distribution de X par rapport à sa moyenne, alors que le 4ème moment centré 4 E[( X ) 4 ] mesure l’épaisseur de la queue de distribution. Bachelor/Licence

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La distribution des rendements Skewness et kurtosis En général, on définit la skewness et la kurtosis comme S X

 X E  

3      

3 3

K X

 X E  

4      

4 4

- Quand S X est négative, de larges réalisations négatives de X se produisent plus souvent que de larges réalisations positives. Des crashs boursiers se produisent plus souvent que des booms. - Une large valeur de la kurtosis K X indique que des larges réalisations (positives ou négatives) sont plus susceptibles de se produire. - Pour la distribution normale, la skewness vaut zéro, alors que la kurtosis vaut 3. On définit donc l'excès de kurtosis comme K X 3 .

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Skewness d’une v.a. Distribution with asymmetry 0.5 Normal sk-t(10,-0.5) sk-t(10,0.5)

0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 -6

Bachelor/Licence

-4

-2

0

2

Pr. Eric Jondeau – Finance Empirique

4

6

21/60

Kurtosis d’une v.a. Distribution with fat tails 0.4 Normal t(10) t(2)

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 -10

Bachelor/Licence

-8

-6

-4

-2

0

2

4

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6

8

10

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Statistiques descriptives - Kurtosis -3

8

Distribution with fat tails

x 10

Normal t(10) t(2)

7

6

5

4

3

2

1

0 -20

Bachelor/Licence

-15

-10

-5

0

5

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10

15

20

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Distribution Distribution normale La distribution normale est souvent utilisée en Finance car elle a plusieurs propriétés intéressantes. La pdf de la loi normale pour la v.a. X ~ N ( , 2 ) est définie par fX x

1 2

x

 1 x exp  2  

  

2

   

( x) . La distribution est définie par deux paramètres, La cdf est notée FX ( x) . Le paramètre est la moyenne, avec

∫

EX

x

De même le paramètre 2

E[( X

avec E[ X 2 ] Bachelor/Licence

∫

) 2] x2

et

x dx

est l'écart-type, avec E[ X 2 ]

E[ X ]

2

x dx . Pr. Eric Jondeau – Finance Empirique

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Distribution Distribution normale Propriétés de la distribution normale:  Elle est symétrique par rapport à  Les queues de la distribution convergent rapidement vers 0  Toute combinaison linéaire de v.a. normales est une v.a. normale Deux cas importants: 1. Si X ~ N 2. Si X1 ~ N

Bachelor/Licence

, 1,

2

, alors Y 2 1

aX

et X 2 ~ N

b~N a 2,

2 2

b, a 2

, alors Y

2

X1

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. X 2 ~ N E X1

X 2 , V X1

X2 .

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Distribution Limites de la distribution normale Une hypothèse traditionnelle en Finance est que le rendement simple Rt est une v.a. iid normale. C’est évidemment une hypothèse intéressante, mais elle pose quelques difficultés:

 La distribution normale peut prendre n’importe quelle valeur avec une probabilité non nulle, y compris inférieure à −1.  Si Rt est normalement distribué, alors le rendement multi-période Rt [k ] ne peut pas être normal, puisque c’est le produit de v.a. normales.  L’hypothèse de normalité est fortement rejetée par les données.

Bachelor/Licence

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Distribution Distribution log-normale Une variable X est log-normale si ln(X ) ~ N ( , 1 2

fX x

 1  ln x exp  2  

2

  

  pour x  

2

). Sa pdf est définie par 0

Les deux premiers moments sont E[ X ] exp( V [ X ] exp(2

2

/ 2) 2 )(exp(

2

) 1)

En plus, si ln( X ) ~ N ( , 2 ) avec E [X ] premiers moments de ln( X ) sont E[ln( X )] 2

V [ln(X )]

Bachelor/Licence

ln(m 2 ) ln(1

1 2 s2

ln(m 2 / m2 )

m et V [ X ]

s 2 , on en déduit que les deux

s2 )

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Distribution Distribution du Chi-2 La distribution du Chi-2 est déduite de la distribution normale: Si Z ~ N (0,1) , alors X Z 2 ~ 2 avec 1 degré de liberté, ce qu'on note 2 (1) . Sa moyenne et sa variance sont E[ X ] 1 V[ X ] 2. Plus généralement, si ( X 1 ,..., X n ) sont n v.a. indépendantes distribuées comme alors leur somme X 1 ... X n est un 2 (n ) . La moyenne d'une v.a. distribuée comme un V [ X ] 2n .

Bachelor/Licence

2

2

(1) ,

(n ) est E [ X ] n et sa variance est

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Distribution Distribution F de Fisher La distribution de Fisher est déduite de la distribution du Chi-2 : si X 1 ~ X 2 ~ 2 (n 2 ) sont deux variables indépendantes, alors F

2

(n1 ) et

X1 / n1 ~ F n1, n 2 X 2 / n2

c’est-à-dire une distribution de Fisher avec n1 et n2 degrés de liberté.

Distribution t de Student La distribution t de Student est déduite des distributions normales et du Chi-2 : si Z ~ N (0,1) et X ~ 2 (n ) sont deux variables indépendantes, alors le ratio t

Z ~t n X /n

i.e. une distribution t de Student avec n degrés de liberté. F (1, n) . On en déduit que t 2 Bachelor/Licence

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Statistiques descriptives Statistique univariée : Mesures de tendance centrale La moyenne d’échantillon est la plus simple des mesures de tendance. r

ˆ

1 T

T

∑r

t

t 1

Si les données proviennent d’une distribution normale, alors la moyenne est la mesure optimale de tendance. La médiane est le 50éme percentile de l’échantillon ou 50% de l’échantillon a une valeur plus petite que la médiane, notée m...