Fisica-general Schaum-Electrostatica PDF

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LEY DE COULOMB

Y CAMPOS ELÉCTRICOS

24

LEY DE COULOMB: Suponga que dos cargas puntuales, q• y q,• están separadas una distancia r en el vacío. Si q• y q• tienen el mismo signo, las dos cargas se repelen mutuamente; si poseen signos opuestos, se atraen una a la otra. La fuerza que experimenta una carga debido a la otra se conoce como fuerza de Coulomb o eléctrica y está dada por la ley de Coulomb, q q 0 (en el vacío) FE ¼ k  2 r Como siempre en el SI, las distancias se miden en metros y las fuerzas en newtons. En el SI, la unidad de carga es el coulomb (C). La constante k de la ley de Coulomb tiene el valor k  8.988 × 109 N  m2兾C2 que suele aproximarse a 9.0 × 109 N  m2兾C2. A menudo k se reemplaza por 1兾40, donde 0  8.85 × 1012 C2兾N  m2 se llama la permisividad del espacio libre. Entonces la ley de Coulomb se convierte en FE ¼

1 q q0 40 r2

(en el vacío)

Cuando el medio circundante no es el vacío, las fuerzas generadas por las cargas inducidas en el material reducen la fuerza entre las cargas puntuales. Si el material tiene una constante dieléctrica K, entonces 0 en la ley de Coulomb se debe sustituir por K0  , donde  se llama permisividad del material. Entonces FE ¼

0 1 q q0 k q q ¼ K r2 4 r2

Para el vacío, K  1; para el aire, K  1.0006. La ley de Coulomb también se aplica a esferas y cascarones esféricos conductores cargados, así como a esferas uniformes de carga. Esto es cierto siempre que todas éstas sean lo suficientemente pequeñas, en comparación con sus separaciones, de modo que la distribución de carga sobre cada una no se vuelva asimétrica cuando dos o más de ellas interactúen. En dicho caso, r, la distancia entre los centros de las esferas, debe ser mucho mayor que la suma de los radios de las dos esferas. LA CARGA ESTÁ CUANTIZADA: La magnitud de la carga más pequeña en el universo se denota por e (llamada cuanto de carga), donde e  1.60218 × 1019 C. Todas las cargas libres, aquellas que se pueden aislar y medir, son múltiplos enteros de e. El electrón tiene una carga de e, mientras que la del protón es e. Aunque existen buenas razones para creer que los quarks portan cargas con magnitudes de e兾3 y 2e兾3, sólo existen en sistemas ligados que tienen una carga neta igual a un múltiplo entero de e. CONSERVACIÓN DE LA CARGA: La suma algebraica de las cargas en el universo es constante. Cuando se crea una partícula con carga e, en la vecindad inmediata se crea simultáneamente una partícula con carga e. Cuando una partícula con carga e desaparece, una partícula con carga e también desaparece en la vecindad inmediata. Por tanto, la carga neta del universo permanece constante. EL CONCEPTO DE CARGA DE PRUEBA: Una carga de prueba es una carga muy pequeña que se puede usar al hacer mediciones en un sistema eléctrico. Se supone que tal carga, que es pequeña tanto en magnitud como en tamaño físico, tiene un efecto despreciable sobre su medio ambiente. UN CAMPO ELÉCTRICO existe en cualquier punto del espacio donde una carga de prueba, al colocarse en dicho punto, experimenta una fuerza eléctrica. La dirección del campo eléctrico en un punto es la misma que la dirección de la fuerza experimentada por una carga de prueba positiva colocada en el punto. Se pueden usar líneas de campo eléctrico para esbozar campos eléctricos. La línea a través de un punto tiene la misma dirección que el campo eléctrico en dicho lugar. Donde las líneas de campo están más juntas unas de otras, 211

212 FÍSICA GENERAL la intensidad del campo eléctrico es mayor. Las líneas de campo salen de las cargas positivas (ya que éstas repelen la carga de prueba positiva) y llegan a las cargas negativas (porque éstas atraen a la carga de prueba positiva). LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO (E ) en un punto es igual a la fuerza experimentada por una carga de prueba positiva unitaria colocada en dicho punto. Dado que la intensidad del campo eléctrico es una fuerza por unidad de carga, se trata de una cantidad vectorial. Las unidades de E son N兾C o (vea el capítulo 25) V兾m. Si una carga q se coloca en un punto donde el campo eléctrico debido a otras cargas es E , la carga experimentará una fuerza F E dada por F E  qE Si q es negativa, entonces F E será opuesta en sentido a E . CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL. Para calcular E (la magnitud asignada a E ) debida a una carga puntual q•, se usa la ley de Coulomb. Si una carga puntual q• se coloca a una distancia r de la carga q•, experimentará una fuerza   1 q 1 q q0 0 ¼ q FE ¼  4 r2 4 r2 Pero si la carga puntual q• se coloca en una posición donde el campo eléctrico es E, entonces la fuerza sobre q• es FE  q•E Al comparar estas dos expresiones para FE se observa que el campo eléctrico de una carga puntual q• es E ¼

1 q 4 r2

La misma relación se aplica a puntos afuera de una pequeña carga esférica q. Para q positiva, E es positivo y E se dirige radialmente hacia afuera desde q; para q negativa, E es negativo y E se dirige radialmente hacia adentro. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: La fuerza experimentada por una carga debido a otras cargas es la suma vectorial de las fuerzas coulombianas que actúan sobre ella debido a esas otras cargas. Similarmente, la intensidad eléctrica E en un punto debida a varias cargas es la suma vectorial de las intensidades debidas a las cargas individuales.

PROBLEMAS RESUELTOS 24.1 [I]

Dos esferas pequeñas tienen una separación centro a centro de 1.5 m. Portan cargas idénticas. ¿Aproximadamente cuán grande es la carga sobre cada una si cada esfera experimenta una fuerza de 2 N? Los diámetros de las esferas son pequeños comparados con la separación de 1.5 m. Por tanto, se puede suponer que las esferas son cargas puntuales. La ley de Coulomb, FE  (k兾K)q•1q•2 兾r2, da (con K aproximada como 1.00) 2

q1 q2 ¼ q2 ¼

de donde q  2 × 105 C.

24.2 [I]

ð2 NÞð1:5 mÞ FE r 2 ¼ ¼ 5  1010 C2 k 9  109 N m2 =C2

Repita el problema 24.1 si la separación entre las esferas es de 1.5 m y se encuentran dentro de una gran tina de agua. La constante dieléctrica del agua es de aproximadamente 80. De la ley de Coulomb, FE ¼

k q2 K r2

donde K, la constante dieléctrica, ahora es 80. Entonces, q¼

r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð2 NÞð1:5 mÞ2 ð80Þ F E r2 K ¼ 2  104 C ¼ k 9  109 Nm2 =C2

CAPÍTULO 24: LEY DE COULOMB Y CAMPOS ELÉCTRICOS 213 24.3 [I]

Un núcleo de helio tiene una carga de 2e y uno de neón de 10e, donde e es el cuanto de carga, 1.60 × 1019 C. Encuentre la fuerza de repulsión ejercida sobre una por la otra cuando están separadas 3.0 nanómetros (1 nm  109 m). Suponga que el sistema está en el vacío. Los núcleos tienen radios del orden de 1015 m. En este caso puede considerarse a los núcleos como cargas puntuales. Entonces FE ¼ k

24.4 [II]

ð2Þð10Þð1:6  1019 CÞ2 q q0 ¼ ð9:0  109 Nm2 =C2 Þ ¼ 5:1  1010 N ¼ 0:51 nN 2 r ð3:0  109 mÞ2

En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, un electrón (q  e) circunda a un protón (q  e) en una órbita de 5.3 × 1011 m de radio. La atracción del protón por el electrón aporta la fuerza centrípeta necesaria para mantener al electrón en órbita. Encuentre a) la fuerza de atracción eléctrica entre las partículas y b) la rapidez del electrón. La masa del electrón es de 9.1 × 1031 kg. El electrón y el protón son esencialmente cargas puntuales. Por consiguiente, a) b)

FE ¼ k

2 q q0 ð1:6  1019 CÞ ¼ 8:2  108 N ¼ 82 nN ¼ ð9:0  109 Nm2 =C2 Þ 2 2 11 r ð5:3  10 mÞ

La fuerza encontrada en a) es la fuerza centrípeta, my 2兾r. Por tanto, 8:2  108 N ¼

mv2 r

de la cual rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð8:2  108 NÞðrÞ ð8:2  108 NÞð5:3  1011 mÞ ¼ 2:2  106 m=s ¼ v¼ m 9:1  1031 kg

24.5 [II]

Tres cargas puntuales se colocan sobre el eje x como se muestra en la figura 24-1. Determine la fuerza neta sobre la carga de 5 C debida a las otras dos cargas. Ya que cargas diferentes se atraen, las fuerzas sobre la carga de 5 C son como se muestra. Las magnitudes de FE3 y de F E8 están dadas por la ley de Coulomb:

Figura 24-1

FE3 ¼ ð9:0  109 Nm2 =C2 Þ FE8 ¼ ð9:0  109 N m2 =C2 Þ

Figura 24-2 ð3:0  106 CÞð5:0  106 CÞ ð0:20 mÞ

2

ð8:0  106 CÞð5:0  106 CÞ ð0:30 mÞ

2

¼ 3:4 N

¼ 4:0 N

Note dos cosas acerca de los cálculos: 1) deben usarse las unidades apropiadas (metros y coulombs). 2) Puesto que sólo se desean las magnitudes de las fuerzas, no se consideraron los signos de las cargas. (Es decir, se

214 FÍSICA GENERAL utilizaron sus valores absolutos.) La dirección de cada fuerza está dada en el diagrama, la cual se obtuvo a partir de la inspección de la situación. Del diagrama, la fuerza resultante sobre la carga del centro es FE  FE8  FE3  4.0 N  3.4 N  0.6 N y está en la dirección x.

24.6 [II]

Determine la razón de la fuerza eléctrica de Coulomb FE a la fuerza gravitacional FG entre dos electrones en el vacío. De la ley de Coulomb y la ley de Newton de gravitación, FE ¼ k

Por tanto,

q2 r2

y

FG ¼ G

m2 r2

kq2 =r2 kq2 FE ¼ ¼ 2 2 FG Gm =r Gm2 ¼

ð9:0  109 Nm2 =C2 Þð1:6  1019 CÞ2 ¼ 4:2  1042 ð6:67  1011 Nm2 =kg2 Þð9:1  1031 kgÞ2

Como se ve, la fuerza eléctrica es mucho más intensa que la fuerza gravitacional.

24.7 [II]

Como se muestra en la figura 24-2, dos bolas idénticas, cada una de 0.10 g de masa, portan cargas idénticas y están suspendidas por dos hilos de igual longitud. En el equilibrio, se colocan ellas mismas como se muestra. Encuentre la carga sobre cada bola. Considere la bola de la izquierda. Está en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas: 1) la tensión FT de la cuerda; 2) la fuerza de gravedad, mg  (1.0 × 104 kg)(9.81 m兾s2)  9.8 × 104 N y 3) la fuerza de repulsión de Coulomb FE. P P Al escribir Fx ¼ 0 y Fy ¼ 0 para la bola de la izquierda, se obtiene FT cos 60°  FE  0

y

FT sen 60°  mg  0

De la segunda ecuación, FT 

9:8  104 N mg ¼ 1:13  103 N  0:866 sen 60°

Al sustituir en la primera ecuación se obtiene FE  FT cos 60°  (1.13 × 103 N)(0.50)  5.7 × 104 N Pero ésta es la fuerza de Coulomb, kqq兾r2. Por tanto, qq 0 ¼ q2 ¼

de donde q  0.10 C.

24.8 [II]

FE r2 ð5:7  104 NÞð0:40 mÞ2 ¼ k 9:0  109 Nm2 =C2

Las cargas que se muestran en la figura 24-3 son estacionarias. Encuentre la fuerza sobre la carga de 4.0 C, debida a las otras dos cargas.

Figura 24-3

CAPÍTULO 24: LEY DE COULOMB Y CAMPOS ELÉCTRICOS 215 De la ley de Coulomb se tiene FE2 ¼ k FE3 ¼ k

qq 0 ð2:0  106 CÞð4:0  106 CÞ ¼ ð9:0  109 Nm2 =C2 Þ ¼ 1:8 N 2 2 r ð0:20 mÞ

6 qq 0 CÞð4:0  106 CÞ 9 2 2 ð3:0  10 ¼ 2:7 N ¼ ð9:0  10 Nm =C Þ 2 r2 ð0:20 mÞ

Las componentes de la fuerza resultante sobre la carga de 4 C son FEx  FE2 cos 60°  FE3 cos 60°  (1.8  2.7)(0.50)N  0.45 N FEy  FE2 sen 60°  FE3 sen 60°  (1.8  2.7)(0.866) N  3.9 N de modo que

FE ¼

q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 2 þ F2 ¼ ð0:45Þ þ ð3:9Þ N ¼ 3:9 N F Ex Ey

La resultante forma un ángulo de tan1 (0.45兾3.9)  7° con el eje y positivo, es decir, θ  97°.

24.9 [II]

Dos pequeñas esferas cargadas se colocan sobre el eje x: 3.0 C en x  0 y 5.0 C en x  40 cm. ¿Dónde se debe colocar una tercera carga q si la fuerza que experimenta debe ser cero? La situación se muestra en la figura 24-4. Se sabe que q se debe colocar en alguna parte sobre el eje x. (¿Por qué?) Suponga que q es positiva. Cuando se coloca en el intervalo BC, las dos fuerzas sobre ella están en la misma dirección y no se pueden cancelar. Cuando se coloca a la derecha de C, la fuerza de atracción desde la carga de 5.0 C siempre es mayor que la repulsión de la carga de 3.0 C. Por tanto, la fuerza sobre q no puede ser cero en esa región. Sólo en la región a la izquierda de B es posible que ocurra una cancelación. (¿Puede demostrar que esto también es cierto si q es negativa?) Para q colocada como se muestra, cuando la fuerza neta sobre ella es cero, se tiene F3  F5 y, por tanto, para distancias en metros, k

qð5:0  106 CÞ qð3:0  106 CÞ ¼k 2 2 d ð0:40 m þ dÞ

Después de cancelar k, q y 106 C de cada lado, se multiplica en cruz para obtener 5d 2  3.0(0.40  d)2

o

d 2  1.2d  0.24  0

Al usar la fórmula cuadrática se encuentra d¼

b 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b2  4ac 1:2  1:44 þ 0:96 ¼ ¼ 0:60  0:775 m 2a 2

Por tanto, se tienen dos valores para d: 1.4 m y 0.18 m. La primera es la respuesta correcta; la segunda proporciona el punto en BC donde las dos fuerzas tienen la misma magnitud pero no se cancelan.

Figura 24-4

24.10 [II] Calcule a) el campo eléctrico E en el aire a una distancia de 30 cm de una carga puntual q•1  5.0 × 109 C. b) la fuerza sobre una carga q•2  4.0 × 1010 C colocada a 30 cm de q•1 y c) la fuerza sobre una carga q•3  4.0 × 1010 C colocada a 30 cm de q•1 (en ausencia de q•2 ). a)

E¼k

5:0  109 C q1 ¼ ð9:0  109 Nm2 =C2 Þ ¼ 0:50 kN=C r2 ð0:30 mÞ2

dirigida hacia afuera de q•1.

216 FÍSICA GENERAL b)

FE  Eq•2  (500 N兾C)(4.0 × 1010 C)  2.0 × 107 N  0.20 N dirigida hacia afuera de q•1.

c)

FE  Eq•3  (500 N兾C)(4.0 × 1010 C)  0.20 N Esta fuerza está dirigida hacia q•1.

24.11 [III] La situación que se muestra en la figura 24-5 representa dos pequeñas esferas cargadas. Encuentre a) el campo eléctrico E en el punto P, b) la fuerza sobre una carga de 4.0 × 108 C colocada en P y c) el lugar donde el campo eléctrico sería cero (en ausencia de la carga 4.0 × 108 C).

Figura 24-5

a)

Una carga de prueba positiva colocada en P será repelida hacia la derecha por la carga positiva q1 y atraída hacia la derecha por la carga negativa q2. En virtud de que E 1 y E 2 tienen la misma dirección, se pueden sumar sus magnitudes para obtener la magnitud del campo resultante: E ¼ E1 þ E 2 ¼ k

jq1 j jq j k þ k 22 ¼ 2 ðjq1 j þ jq2 jÞ r 21 r2 r1

donde r1  r2  0.05 m, y |q1| y |q2| son los valores absolutos de q1 y q2. Por tanto, E¼

9:0  109 Nm2 =C2 ð0:050 mÞ2

ð25  108 CÞ ¼ 9:0  105 N=C

dirigido hacia la derecha. b)

Una carga q colocada en P experimentará una fuerza Eq. En consecuencia, FE  Eq  (9.0 × 105 N兾C)(4.0 × 108 C)  0.036 N El signo negativo indica que la fuerza se dirige hacia la izquierda. Esto es correcto porque el campo eléctrico representa la fuerza sobre una carga positiva. La fuerza sobre una carga negativa es en sentido opuesto al campo.

c) Al razonar como en el problema 24.9 se concluye que el campo será cero en algún lugar a la derecha de la carga de 5.0 × 108 C. Sea d la distancia a dicho punto desde la carga de 5.0 × 108 C. En dicho punto, E1  E2  0 puesto que el campo debido a la carga positiva es hacia la derecha, mientras el campo de la carga negativa es hacia la izquierda. Por ende " #   5:0  108 C 20  108 C jq1 j jq2 j 9 2 2 ¼0 k 2  2 ¼ ð9:0  10 Nm =C Þ 2  r2 r1 d2 ðd þ 0:10 mÞ

Al simplificar se obtiene 3d 2  0.2d  0.01  0 lo cual da d  0.10 m y 0.03 m. Sólo el signo más tiene significado y por consiguiente d  0.10 m. El punto en cuestión está a 10 cm hacia la derecha de la carga negativa.

24.12 [II] Tres cargas están colocadas sobre tres esquinas de un cuadrado, como se muestra en la figura 24-6. Cada lado del cuadrado es de 30.0 cm. Calcule E en la cuarta esquina. ¿Cuál sería la fuerza sobre una carga de 6.00 C situada en la esquina libre?

CAPÍTULO 24: LEY DE COULOMB Y CAMPOS ELÉCTRICOS 217 Las contribuciones de las tres cargas al campo en la esquina libre son como se indica. Observe en particular las direcciones de cada una. Sus magnitudes están dadas por E  kq兾r2 y son: E4  4.00 × 105 N兾C E8  4.00 × 105 N兾C E5  5.00 × 105 N兾C Ya que el vector E8 hace un ángulo de 45.0° con la horizontal, se tiene Ex  E8 cos 45.0°  E4  1.17 × 105 N兾C Ey  E5  E8 cos 45.0°  2.17 × 105 N兾C Al usar E  E x2 + E 2y y tan   Ey 兾Ex, se encuentra que E  2.47 × Figura 24-6 105 N a 118°. La fuerza sobre una carga colocada en la esquina vacía simplemente sería FE  Eq. Ya que q  6.00 106 C, se tiene FE  1.48 N a un ángulo de 118°.

24.13 [III] Dos placas metálicas cargadas en el vacío están separadas 15 cm, como se muestra en la figura 24-7. El campo eléctrico entre las placas es uniforme y tiene una intensidad E  3 000 N兾C. Un electrón (q  e, me  9.1 × 1031 kg) se libera desde el reposo en el punto P justo afuera de la placa negativa. a) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la otra placa? b) ¿Cuál será la rapidez a la que viajará justo antes de golpearla?

E  3 000 N兾C

Las líneas del campo eléctrico muestran la fuerza sobre una carga positiva. (Una carga positiva sería repelida hacia la derecha por la placa positiva y atraída en la misma dirección por la placa negativa.) Un electrón, por ser negativo, experimentará una fuerza en sentido opuesto, hacia la izquierda, de magnitud FE  |q| E  (1.6 × 1019 C)(3 000 N兾C)  4.8 × 1016 N Debido a esta fuerza, el electrón experimenta una aceleración hacia la izquierda dada por a¼

Figura 24-7

4:8  1016 N FE ¼ 5:3  1014 m=s2 ¼ m 9:1  1031 kg

En el problema de movimiento para el electrón que se libera desde la placa negativa y viaja hacia la placa positiva se tiene yi  0 x  0.15 m a  5.3 × 1014 m兾s2 a)

De x  yit  12 at 2 se tiene rffiffiffiffiffiffi s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x ð2Þð0:15 mÞ 8 t¼ ¼ s 2 ¼ 2:4  10 a 5:3  1014 m=s

b)

y = yi  at  0  (5.3 × 1014 m兾s2)(2.4 × 108 s)  1.30 × 107 m兾s Como se verá en el capítulo 41, los efectos relativistas empiezan a ser importantes para una rapidez superior a esta. Por tanto, este tratamiento se debe modificar para partículas muy rápidas.

24.14 [I] Suponga en la figura 24-7 que un electrón se dispara en línea recta hacia arriba desde el punto P con una rapidez de 5 × 106 m兾s. ¿A qué distancia sobre el punto A golpea la placa positiva? Este es un problema de proyectiles. (Dado que la fuerza gravitacional es muy pequeña comparada con la fuerza eléctrica, se puede ignorar la gravedad.) La única fuerza que actúa sobre el electrón después de que se libera es la fuerza eléctrica horizontal. En el problema 24.13a se encontró que, bajo la acción de esta fuerza, el electrón tiene un tiempo de vuelo de 2.4 × 108 s. El desplazamiento vertical en ese tiempo es (5.0 × 106 m兾s)(2.4 × 108 s)  0.12 m El electrón golpea la placa positiva 12 cm arriba del punto A.

218 FÍSICA GENERAL 24.15 [II] En la figura 24-7 un protón (q•  +e, m  1.67 × 1027 kg) se dispara con una rapidez de 2.00 × 105 m兾s desde A hacia P. ¿Cuál será su rapidez justo antes de golpear la placa en el punto P? Primero se calcula la aceleración al conocer el campo eléctrico y a partir de ella la fuerza: a¼

FE qE ð1:60  1019 CÞ (3 000 N兾C) 2 ¼ ¼ ¼ 2:88  1011 m=s m m 1:67  1027 kg

Para el problema del movimiento horizontal se tiene

yi  2.00 × 105 m兾s

x  0.15 m

a  2.88 × 1011 m兾s2

Se usa y 2f  y 2i  2ax para encontrar vf ¼

q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 vi2 þ 2ax ¼ ð2:00  105 m=s...