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TD maths avec corrigé détaillé univ Lille 1...

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Fonctions usuelles 1

Fonctions usuelles

1.1

Généralités

⊲ Exercice 1.1. Composition de fonctions monotones, paires et impaires, périodiques Soient D et D′ deux parties de R, f : D → D′ et g : D′ → R deux fonctions. 1. Montrer que, si f et g ont la même monotonie alors g ◦ f est croissante.

2. Montrer que, si f et g n’ont pas la même monotonie alors g ◦ f est décroissante.

3. Montrer que, si f est paire, alors g ◦ f est paire.

4. On suppose que f est impaire. Discuter en fonction de la parité ou de l’imparité de g, celle de g ◦ f .

5. Montrer que, si f est périodique, alors g ◦ f est périodique. Montrer sur un exemple que la plus petite période strictement positive de g ◦ f peut être strictement plus petite que la plus petite période strictement positive de f .

⊲ Exercice 1.2. Étude des branches infinies Étudier les branches infinies des fonctions définies par les expressions suivantes et représentez-les dans le repère − → → − orthonormé (O, i , j ) usuel. x3 (x − 1)2

1

2) f (x) = 1 + e x p 4) f (x) = ln(| ln x|) 5) f (x) = 4x2 − 2x + xex 1) f (x) =

3) f (x) =

1 − 3x − 2x2 x+2 q

6) f (x) = 4 +

⊲ Exercice 1.3. Étude de fonction p Étude complète de la fonction f définie par f (x) = x2 − 2x − 3.

√ 4x2 + x x + 1

1. Domaine de définition, réduction du domaine d’étude. 2. Étude des variations.

3. Étude des branches infinies (position relative courbe asymptote). f (3 + u) − f (3) 4. Calculer, pour u > 0, puis étudier l’existence d’une limite pour cette quantité lorsque u + u → 0 . Que peut-on en déduire ?

5. Tracer.

⊲ Exercice 1.4. Étude de fonction j k 1 x Étudier la fonction définie par f (x) = − ⌊x⌋ 2 2

1.2

Notion de bijection

⊲ Exercice 1.5. Montrer que la fonction définie pour tout x ∈ R par  1 + ln(x + 1) si x > 0, f (x) = x+1 si x < 0. est une bijection et expliciter sa bijection réciproque. Représenter sur un même graphe f et f −1 . ⊲ Exercice 1.6. Montrer que, si f est bijective de I dans J , alors −f est une bijection de I dans −J = {−y|y ∈ J } et expliciter sa bijection réciproque. ⊲ Exercice 1.7. Équation fonctionnelle Déterminer les fonctions f : R∗ → R telles que ∀x ∈ R∗ , f (x) + 3f

  1 = x2 x

⊲ Exercice 1.8. Considérons la fonction f définie par l’expression f (x) = 1

ex . ex − 1

1. Montrer que f est une bijection de ]0, +∞[ sur un intervalle à préciser. 2. Donner les propriétés de f −1 qui se déduisent de celles de f (monotonie, limites au bord du domaine et ′ asymptotes, continuité, dérivabilité). Expliciter f −1 (x). 3. Expliciter f −1 (x) en résolvant directement l’équation f (x) = y et retrouver les propriétés établies dans la question précédente.

1.3

Valeur absolue, partie entière notée E(·) ou ⌊·⌋

⊲ Exercice 1.9. Montrer que, pour tout entier n ∈ N,

j nk n n−1 6 . 6 2 2 2

⊲ Exercice 1.10. Montrer que, 1. ∀(x, y) ∈ R2 , E (x) + E (y) + E (x + y) 6 E (2x) + E (2y) 2. ∀(n, x) ∈ N∗ × R, 0 6 E (nx) − nE(x) 6 n − 1,   E(nx) = E(x), 3. ∀(n, x) ∈ N∗ × R, E n  n−1 X  k = E(nx). 4. E x+ n k=0

   x − 1  6 2. ⊲ Exercice 1.11. Résoudre dans R,  x + 3 ⊲ Exercice 1.12.

a + b + |a − b| 2

a + b − |a − b| . 2   I → R 2. Soient f et g deux fonctions réelles définies et continues sur un intervalle réel I. Montrer que m  t → 7 min(f (t ), g(t))   I → R sont des fonctions continues sur I . et M  t 7→ max(f (t), g(t)) 1. Montrer que, pour tout (a, b) ∈ R2 , max(a, b) =

1.4

et

min(a, b) =

Fonctions puissance, logarithme et exponentielle

⊲ Exercice 1.13. Calcul 1. Simplifier (écrire différemment et plus simplement) les expressions : 2

1) (a 5)

(n2 ) 2

)

1 (1 + x)2

9) (2n − 1)2 − 4n − 2n+1

2) 6)

an an − x12 1+x x

10) (1 +

3)

a3n (an )3

4)

7)

x

ln(ln x) ln x

8)

√ 2 √ 5) − 6 − 2 5 11) (n + 2)! − n! 12)

2. Que pensez-vous des expressions suivantes :

(an )n (e−5 ln p )ln q −

n+2 1 − . n! (n + 1)!



1 q5

ln p

) cos( π3 )2 − 23 8 + sin( π6 ) sin( 7π 6 . et π 3 (cos π4 )3 (sin 4 )

⊲ Exercice 1.14. Exprimer, en fonction de n et du premier terme, le terme général des suites récurrentes réelles suivantes :     u0 ∈ R v0 ∈ R∗ x1 ∈ R w1 ∈ R∗ . , , , ∀n ∈ N∗ , xn+1 = nxn ∀n ∈ N∗ , wn+1 = wnn ∀n ∈ N, un+1 = un2 ∀n ∈ N, vn+1 = vnn ⊲ Exercice 1.15. Résoudre 2

3

1.  2(x ) = 3(x ) . 8x = 10y 2. 2x = 5y √ √ x 3. x x = x . ⊲ Exercice 1.16. Résoudre les inégalités 1. ln |x + 2| 6 ln 3 + ln |x − 1|. √ √ √ 2. 2 4 x + 3 3 x > x

2

1.5

Trinôme du second degré

⊲ Exercice 1.17. Résoudre les inégalités (on ne se privera pas d’une représentation graphique) 1. x2 + 2x − 3 < 5. 2. |x2 + 2x − 3| < 3.

3. ln |x + 3| < 2 ln 2 − ln |x − 1|.

1.6

Manipulation des inégalités

⊲ Exercice 1.18. Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , ∀(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ [0, 1]n , ⊲ Exercice 1.19.

n X

xi =

n X i=1

i=1

x2i ⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, xi ∈ {0, 1}.

1. Soit n ∈ N∗ fixé quelconque. Considérons la fonction f (x) = ∀x ∈ R \ {1},

f (x) = x ×

2. Montrer que, ∀n ∈ N∗ ,

n X

kxk . Montrer que,

k=1

    d d 1 − xn+1 1 − xn =x× x× . 1−x dx dx 1−x   n X n+2 k = 2 1 − 2n+1 2k k=1

et calculer la limite de cette expression lorsque n tend vers +∞.

3. En déduire que,

∀n ∈ N∗ ,

1

1

1

1

2 2 × 4 4 × 8 8 × · · · × (2n ) 2n < 4.

Peut-on améliorer cette inégalité en remplaçant 4 par un nombre réel strictement inférieur à 4 ? 4. En reprenant la preuve conduite ci-dessus, montrer que, ∀x ∈ R \ {1}, ∀n ∈ N∗ ,

n X

k=1

et en déduire que ∀x ∈] − 1, 1[,

x(1 − (n + 1)xn + nxn+1) (1 − x)2

kxk =

lim

n→+∞

puis que

n X

kxk =

k=1

∀λ ∈]1, +∞[, ∀n ∈ N∗ , cette dernière inégalité ne pouvant pas être améliorée.

x (1 − x)2

n Y  k  1k λ λ λ < λ (λ−1)2 ,

k=1

⊲ Exercice 1.20. Propriétés de la moyenne de Cesaro Soit (un )n∈N une suite réelle à laquelle on associe la suite réelle (vn )n∈N définie par vn =

u0 + u1 + u2 + · · · + un . n+1

1. Montrer que si (un )n∈N est croissante, alors (vn )n∈N l’est aussi. 2. Montrer que si (un )n∈N est majorée, alors (vn )n∈N l’est aussi. 3. Montrer que si (un )n∈N est bornée, alors (vn )n∈N l’est aussi. 4. Dans chacun des cas précédents, démontrez l’assertion réciproque ou infirmez la, en explicitant un contreexemple.

3

1.7

Preuves d’inégalités

⊲ Exercice 1.21. Récurrence Montrer, par récurrence, la propriété ∀n ∈ N , 1 + ⊲ Exercice 1.22. Récurrence Démontrer que :

1 1 1 1 + 2 + ... + 2 6 2 − n 3 n 22

∀x ∈] − 1, +∞[, ∀n ∈ N, (1 + x)n > 1 + nx .

1 ⊲ Exercice 1.23. Montrer que ∀x ∈ R, x(x−1) > − . On donnera trois preuves, une algébrique, une analytique 4 et une graphique. ⊲ Exercice 1.24. Méthode fonctionnelle basée sur une étude de variations d’une fonction Montrer que x2 6 cos x 6 1. 1. ∀x ∈ [0, π], 1 − 2 n kπ 1 X cos 2 converge et calculer sa limite. Application : montrer que la suite un = n n k=1 2. ∀x ∈ [0, π], x −

x3 6 sin x 6 x. 6

Application : montrer que la suite un =

n X

k=1

sin

kπ converge et calculer sa limite. n2

et tracer les courbes représentatives des 3 fonctions de chaque encadrement sur un même dessin. ⊲ Exercice 1.25. Inégalités avec 3 variables Montrer que, ∀(x, y, z) ∈ R∗+ 3 tels que x 6 y + z , z y x + < 1+z 1+y 1+x Indic : en posant f : t 7→

t , on pourra montrer que ∀s ∈ R∗+ , ∀t ∈]0, s[ , f (s) < f (t) + f (s − t). 1+t

⊲ Exercice 1.26. Intérêt des inégalités x2 6 ln(1 + x) 6 x. 2  n  Y k 2. (*) En déduire la limite de un = 1+ 2 . n k=1   n Y k 3. (**) En déduire la limite de vn = 1− 2 . n 1. Montrer que ∀x ∈ R+ , x −

k=1

1.8

Limites usuelles

⊲ Exercice 1.27. Préciser le comportement des suites suivantes lorsque n tend vers +∞ : 1) 4) 7) 10)

n2 ln n en ln(n)9n + ln(n + 1)32n √ (32n+3 + n23n ) ln(n + n) 32n − 23n ln(n + 2) − ln((n + 4)3 + 1) 2n X

k=n

13)

2)

ak , a ∈ R,

5) 8) 11)

8n + 32n p√ n + (ln n)100 2 ln n + ln n4 3 ln n + 1 1  ln n 2n (3e)n   √ √1 n ln(n4 ) − 3n ln (n + 2) n e6n + 100n

(n + 3) − (n + 1) P2n 2 ln n! − k=1 ln k n

n+1

4

n7n + 32n √ ln n + n 7n5 + n2 6) (n + 3)5 − ln(n10) a3n ln n 9) , a ∈ R∗+ nn √ n n2 + n 12) √ n! + e6n 3)

⊲ Exercice 1.28. Préciser le comportement des suites suivantes lorsque n tend vers +∞ en utilisant les limites usuelles : 1) 4)

ln (1 + e−n ) e−n  √  1 2n + n ln(n+1) 2

7) n(3 n − 1)

1 1 2) n sin n + 1 − 2 n 1  2 √  ln(n+1) 5) n + n 

8)

1

− cos( lnnn 2 (nn − 1)2

5

)



3) 6) 9)

tan2 (ne−n ) (n + 1)2 ln(1 − 2e−2n ) √   lnnn 3 ln(1 + 2n ) √ 1+ √ n 2n ln(2 e + 1) 1 2n((ln 3) n − 1)

Correction des exercices ⊲ Corrigé de l’exercice 1.1 1. ⋆ Supposons que f et g sont croissantes. Soient (x, y) ∈ D2 fixés quelconques tels que x < y. Par croissance de f , f (x) 6 f (y) d’où, par croissance de g, g (f (x)) 6 g (f (y)). Par conséquent, g ◦ f est croissante. ⋆ Supposons que f et g sont décroissantes. Soient (x, y) ∈ D2 fixés quelconques tels que x < y. Par décroissance de f , f (x) > f (y) d’où, par décroissance de g, g (f (x)) 6 g (f (y)). Par conséquent, g ◦ f est croissante. 2. ⋆ Supposons que f est croissante et g est décroissante. Soient (x, y) ∈ D2 fixés quelconques tels que x < y. Par croissance de f , f (x) 6 f (y) d’où, par décroissance de g, g (f (x)) > g (f (y)). Par conséquent, g ◦ f est décroissante. ⋆ Supposons que f est décroissante et g est croissante. Soient (x, y) ∈ D2 fixés quelconques tels que x < y. Par croissance de f , f (x) > f (y) d’où, par croissance de g, g (f (x)) > g (f (y)). Par conséquent, g ◦ f est décroissante. 3. Supposons que f est paire. (i) puisque f est paire, ∀x ∈ D, −x ∈ D, (ii) ∀x ∈ D, (g ◦ f )(−x) = g (f (−x)) = g(f (x)) = g ◦ f )(x). | {z } f est paire Par conséquent,

g ◦ f est paire .

4. On suppose que f est impaire. (i) puisque f est impaire, ∀x ∈ D, −x ∈ D, (ii) ∀x ∈ D, ⋆ si g est paire, (g ◦ f )(−x) = g(f (−x)) = g(−f (x)) = g(f (x)) = (g ◦ f )(x), | {z } g est paire ⋆ si g est impaire, (g ◦ f )(−x) = g(f (−x)) = g(−f (x)) = −g(f (x)) = −(g ◦ f )(x). | {z } g est impaire

Par conséquent, si g est paire alors g ◦ f est paire, si g est impaire alors g ◦ f est impaire.

5. Supposons que f est périodique. Soit T > 0 une période de f . (i) puisque f admet T pour période, ∀x ∈ D, x + T ∈ D et x − T ∈ D, (ii) ∀x ∈ D, (g ◦ f )(x + T ) = g (f (x + T )) = g (f (x)) = (g ◦ f )(x). | {z } T période de f Par conséquent, T est une période de g ◦ f donc

g ◦ f est périodique .

′

Posons D = D = R, f = sin et g = | · |. Alors la plus petite période strictement positive de f est 2π tandis que la plus petite période strictement positive de g ◦ f est π . ⊲ Corrigé de l’exercice 1.2 x3 . f (x) = (x − 1)2 Branches infinies en −∞, +∞, 1+ et 1− . 1. ⋆ Au voisinage de −∞. x3 x x3 = f (x) = 2 donc lim f (x) = −∞. 2 =   2 x→−∞ (x − 1) 1 1 2 1− x 1− x x Étudions x3 x3 1 f (x) = = 2 =  2  2 x x(x − 1) 1 1 1− x3 1 − x x donc lim

x→−∞

f (x) = 1. x

1

Étudions   1  1 2 2x 1 − 2 1− 3 2 x 3 x − x + 2x − x = f (x) − x =  2x 2x  2 −x= (x − 1)2 1 2 = 1 (x − 1)2 x2 1 − 1− x x donc lim f (x)−x = 2 si bien que le graphe de f admet au voisinage de −∞ la droite d’équation 3

x→−∞

y = x + 2 comme asymptote oblique. De plus, au voisinage de −∞,

2    2  1 3 2 1 −2 1− 1− 2 1− x 2x x 3x f (x) − (x + 2) = =  0  1 1 1− 1− x x donc au voisinage de +∞ le graphe de f est situé au-dessus de son asymptote. ⋆ Au voisinage de 1− et 1+ . lim f (x) = +∞ donc le graphe de f admet en 1 la droite d’équation x = 1 comme asymptote x→1

verticale. Remarque concernant l’étude des branches infinies en −∞ et +∞ : la division euclidienne de x3 par 3x − 2 , ce (x− 1)2 = x2 −2x+1 donne x3 = (x +2)(x− 1)2 +3x−2 d’où, après simplification : f (x) = x+2+ (x − 1)2 qui permet de trouver directement la présence d’une asymptote oblique en +∞ et −∞ ainsi que la position 3x − 2 . relative courbe/asymptote qui se déduit du signe du terme f (x) − (x + 2) = (x − 1)2

2

→ − j → − i y =x+2

x=1

Figure 1 – Branches infinies de f : x 7→

3

x3 . (x − 1)2

1 2. f (x) = 1 + e x . Branches infinies en −∞, +∞ et 0+ (pas de branche infinie en 0− car la limite de f (x) est finie à gauche en 0). ⋆ Au voisinage de −∞. lim f (x) = 2 donc le graphe de f admet en −∞ la droite d’équation y = 2 comme asymptote

x→−∞

1

horizontale. De plus, au voisinage de −∞, f (x) − 2 = e x − 1 < 0 donc le graphe de f est situé en-dessous de son asymptote. ⋆ Au voisinage de +∞. lim f (x) = 2 donc le graphe de f admet en +∞ la droite d’équation y = 2 comme asymptote x→+∞

1

horizontale. De plus, au voisinage de +∞, f (x) − 2 = e x − 1 > 0 donc le graphe de f est situé au-dessus de son asymptote. ⋆ Au voisinage de 0+ . lim+ f (x) = +∞ donc le graphe de f admet à droite en 0 la droite d’équation x = 0 comme x→0

asymptote verticale.

4

y=2

→ − j → − i

x=0

1

Figure 2 – Branches infinies de f : x 7→ 1 + e x .

5

1 − 3x − 2x2 . 3. f (x) = x+2 Branches infinies en −∞, +∞, −2− et −2+ . ⋆ Au voisinage de −∞.   1 1  − − 3  1 − 3x − 2x2 2x 2x2 2x2 −2x2 1+ 2x  3  f (x) = donc lim f (x) = +∞. x→−∞ −2x 1 + 2 2 = 1+ x 1+ x+2  x = Étudions   x 3 1 −2 1 + − f (x) 2x 2x2   = x 2 1+ x donc lim

x→−∞

Étudions

donc

f (x) = −2. x

    1 1 1 + x 1 + 1 − 3x − 2x2 x+1 x x   = f (x) − (−2x) = =  + 2x = 2 x+2 2 x+2 1+ x 1+ x x

lim f (x) − (−2x) = 1 si bien que le graphe de f admet au voisinage de −∞ la droite

x→−∞

d’équation y = −2x + 1 comme asymptote oblique. De plus, au voisinage de −∞,     1 2 1 1+ − 1+ − x x x    >0 f (x) − (−2x + 1) = =  2 2 1+ 1+ x x

donc au voisinage de −∞ le graphe de f est situé au-dessus de son asymptote. ⋆ Au voisinage de +∞.     3 3 1 1 2 −2x 1 + −2x 1 + − − 2 2x 1 − 3x − 2x2 2x 2x2 2x     = donc lim f (x) = −∞. = f (x) = x→+∞ 2 x+2 2 x 1+ 1+ x x Étudions   1 3 −2 1 + − 2 f (x) 2x 2x   = 2 x 1+ x donc lim

x→+∞

Étudions

donc

f (x) = −2. x

    1 1 1 + x 1 + 1 − 3x − 2x2 x+1 x x   = =  f (x) − (−2x) = + 2x = x+2 2 2 x+2 1+ x 1+ x x

lim f (x) − (−2x) = 1 si bien que le graphe de f admet au voisinage de +∞ la droite

x→+∞

d’équation y = −2x + 1 comme asymptote oblique. De plus, au voisinage de +∞,     2 1 1 − 1+ 1+ − x x   f (x) − (−2x + 1) = =  x  1

ln(ln x) ln x | {z } → 0 x→+∞

(composition des limites)

×

ln x x |{z} → 0

x→+∞

(croissances comparées)

f (x) = 0 si bien que le graphe de f admet en +∞ une branche parabolique de x − → direction asymptotique (O i ). donc

lim

x→+∞

9

x=1

→ − j → − i

x=0

Figure 4 – Branches infinies de f : x 7→ ln(| ln x|).

10

p 5. f (x) = 4x2 − 2x + xex . Branches infinies en −∞ et +∞ ⋆ Au voisinage de −∞. lim f (x) = +∞. x→−∞

Étudions

f (x) = x donc lim

x→−∞

Étudions

r

2|x|

f (x) = −2. x

f (x) − (−2x) = =

=

=

1 ex r + x 2x 4x = −2 1 − 1 + e 2x x 4x

1−

p

 p  4x2 − 2x + xex + 2x 4x2 − 2x + xex − 2x √  4x2 − 2x + xex − 2x   ex −2x 1 − 2 ! r 1 ex − 2x 2|x| 1 − + 2x 4x   ex −2x 1 − 2 ! r ex 1 + +1 1− −2x 2x 4x ex 2 r 1 ex +1 1− + 4x 2x 1−

1 lim f (x) − (−2x) = si bien que le graphe de f admet au voisinage de −∞ la droite 2 1 d’équation y = −2x + comme asymptote oblique. De plus, au voisinage de −∞, 2

donc

x→−∞

→ 0− z }| { → 0− x→−∞ z }| { → 1+ x→−∞   zv }| {     − u → 0   u x→−∞   u    z }|{ u    x x u e  e 1  1  1 + − 1 − + 1 − u   u 2x  | {z 4}  2 2 u    t  → 1    x→−∞       x→−∞

r x ex 1 1 1   1− e − − + 1− 1 2x 2r 2 2 4x = f (x) − −2x + = 2 1 ex +1 1− + 4x 2x

r |

1−

1 ex +1 + 2x 4x {z } → 2

x→−∞

  1 < 0 donc au voisinage de −∞ le graphe de f est si bien qu’au voinage de −∞, f (x) − −2x + 2 situé en-dessous de son asymptote. ⋆ Au voisinage de +∞. lim f (x) = +∞. x→+∞

11

Étudions f (x) x

=

√ x2 xe

√ 4xe−x − 2e−x + 1 x

2 x

e√ x |{z} → +∞

=

x→+∞

(croissances comparées)

√ 4xe−x − 2e−x + 1 | {z } → 1 x→+∞

(croissances comparées)

f (x) = +∞ si bien que le graphe de f admet en +∞ une branche parabolique de x − → direction asymptotique la droite (O, j ). donc lim

x→−∞

12

y = −2x +

1 2 → − j → − i

Figure 5 – Branches infinies de f : x 7→

13

p

4x2 − 2x + xex .

q √ 6. f (x) = 4 + 4x2 + x x + 1 Branche infinie en +∞. lim f (x) = +∞. x→+∞

Étudions 4 f (x) = + x x donc lim

x→+∞

2x

s

1 1 1+ √ + 2 4 x 4x x

4 = +2 x

s

1 1 1+ √ + 4x2 4 x

f (x) =2 x

Étudions

p p √ √ ( 4x2 + x x + 1 − 2x)( 4x2 + x x + 1 + 2x) p √ 4x2 + x x + 1 + 2x √ x x+1 = 4+ p √ 4x2 + x x + 1 + 2x   √ 1 x x 1+ √ x x s ! = 4+ 1 1 √ + 1+ 2x +1 4 x 4x2   1 1+ √ √ x x = 4+ x ! s 1 1 2 1+ √ + 2 +1 4 x 4x | {z } → +∞

f (x) − 2x = 4 +

x→+∞

f (x) = +∞ si bien que le graphe de f admet en +∞ une branche parabolique de x direction asymptotique la droite d’équation y = 2x. donc

lim

x→+∞

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⊲ Corrigé de l’exercice 1.3 Observons que −1 est une racine évidente du trinôme x2 − 2x − 3, or le produit des racines est −3 donc l’autre racine vaut −1. Par conséquent, la forme factorisée du trinôme est x2 − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3) 1. f (x) existe ⇐⇒ x2 − 2x − 3 > 0 ⇐⇒ (x + 1)(x − 3) > 0 ⇐⇒ x ∈] − ∞, −1] ∪ [3, +∞[ Ainsi, le domaine de définition de f est Df =] − ∞, −1] ∪ [3, +∞[. Nous savons que la courbe représentative du trinôme x2 − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3) admet la droite verticale d’équation x = 1 (médiatrice du segment formé par...