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formula de balance de energía de un cilindro en suspensión con temperatura de 600 F y a sus alrededores de 65 F...

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA FENÓMENOS DE TRANSPORTE II – SEMESTRE 2020-2020 Nombre: Iryna Annabell Ruales vallejo Código: 1004718787_FT2_C-1.1 Tipo de trabajo autónomo: Consulta individual, demostración de ecuación de balance de energía para un cilindro. 1. Supuestos: 1.1. En coordenadas cilíndricas el área transversal ya no se considera constante. 1.2. Debido a que las longitudes de mi geometría no presentan desproporciones entre sí, se considera flujo multidimensional de calor, tomando en cuenta los 3 ejes. 1.3. La temperatura cambia con el tiempo, por lo que nos encontramos en un régimen transitorio. 1.4. Se asume el sistema sin generación de calor, debido a que el problema no menciona nada al respecto. 1.5. Se asume conductividad térmica constante, debido a que el problema no menciona nada al respecto.

2. Desarrollo de la ecuación. Ecuación general del balance de energía para coordenadas cilíndricas: 𝑄󰇗𝑟 + 𝑄󰇗ϕ + 𝑄󰇗𝑧 − 𝑄󰇗𝑟+∆𝑟 − 𝑄󰇗ϕ+∆ϕ − 𝑄󰇗𝑧+∆𝑧 + 𝐸󰇗𝑔𝑒𝑛,𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =

∆𝐸𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ∆𝑡

Ec. 2.-1

𝐸󰇗𝑔𝑒𝑛,𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑒󰇗𝑔𝑒𝑛 ∗ 𝑉 = 𝑒󰇗𝑔𝑒𝑛 ∆𝑟∆ϕ∆𝑧 Área 𝐴 = 2𝜋𝑟

Ec. 2.-2

Volumen 𝑉 = 2𝜋𝑟𝐿 2𝑟 = 𝐿 𝑉 = 4𝜋𝑟 2 Ecuación general divida para el volumen −

(𝑇𝑡+∆𝑡 − 𝑇𝑡 ) 1 𝑄󰇗𝑟+∆𝑟 − 𝑄󰇗𝑟 1 𝑄󰇗𝑧+∆𝑧 − 𝑄󰇗𝑧 1 𝑄󰇗ϕ+∆ϕ − 𝑄󰇗ϕ + 𝑒󰇗𝑔𝑒𝑛 = 𝜌𝑐 − − ∆𝑧 4𝜋𝑟 ∆𝑡 4𝜋𝑟 4𝜋𝑟 ∆ϕ ∆𝑟

Ec. 2.-3

lim

∆𝑟→0

−

lim −

∆ϕ→𝑜

1 𝑄󰇗𝑟+∆𝑟 − 𝑄󰇗𝑟 1 𝜕𝑄󰇗 1 𝜕 𝜕𝑇 2𝜋 𝜕 𝜕𝑇 ) =− =− (−𝑘𝐴 ) = (𝑘𝑟 𝜕𝑟 ∆𝑟 𝜕𝑟 4𝜋𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 4𝜋𝑟 𝜕𝑟 4𝜋𝑟 4𝜋𝑟 1 𝜕 𝜕𝑇 = (𝑘𝑟 ) 𝜕𝑟 2𝑟 𝜕𝑟

1 𝑄󰇗ϕ+∆ϕ − 𝑄󰇗ϕ 1 𝜕 1 𝜕𝑄󰇗 𝜕𝑇 2𝜋 𝜕 𝜕𝑇 =− =− (−𝑘𝐴 ) = (𝑘𝑟 ) 2 2 𝜕ϕ 4𝜋𝑟 ∆ϕ 𝜕𝑟 𝜕𝑟 4𝜋𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 4𝜋𝑟 4𝜋𝑟 =

lim −

∆𝑟→𝑜

1 𝜕 𝜕𝑇 (𝑘𝑟 ) 2𝑟 2 𝜕𝑟 𝜕𝑟

1 𝑄󰇗𝑧+∆𝑧 − 𝑄󰇗𝑧 1 𝜕 𝜕𝑇 1 𝜕𝑄󰇗 2𝜋𝑟 𝜕 𝜕𝑇 1𝜕 𝜕𝑇 =− (−𝑘𝐴 ) = =− (𝑘 ) = (𝑘 ) 𝜕𝑧 4𝜋𝑟 𝜕𝑧 4𝜋𝑟 4𝜋𝑟 𝜕𝑧 ∆𝑧 𝜕𝑧 4𝜋𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑧 2 𝜕𝑧

1𝜕 𝜕𝑇 𝜕𝑇 1 𝜕 𝜕𝑇 1𝜕 𝜕𝑇 󰇗 = 𝜌𝑐 (𝑘𝑟 ) + 2 (𝑘𝑟 )+ (𝑘 ) + 𝑒𝑔𝑒𝑛 𝜕𝑧 𝜕𝑡 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕ϕ 𝜕𝜙 2 𝜕𝑧 Sin generación de calor y con conductividad constante: 𝑘 𝜕 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝑘 𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 󰇗 = 2𝜌𝑐 (𝑟 ) + 2 (𝑟 ) + 𝑘 ( ) + 𝑒𝑔𝑒𝑛 𝜕𝑡 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕ϕ 𝜕𝜙 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑒𝑔𝑒𝑛 󰇗 =0 𝝏𝑻 𝟏 𝝏 𝝏𝑻 𝝏 𝝏𝑻 𝟐 𝝏𝑻 𝟏 𝝏 (𝒓 ) + 𝟐 (𝒓 )+ ( )= 𝒓 𝝏𝒓 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝛟 𝝏𝝓 𝝏𝒛 𝝏𝒛 ∝ 𝝏𝒕

Ec. 2.-4...