Title | Formulario-analisi-1 |
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Course | Analisi matematica 1 |
Institution | Università degli Studi di Palermo |
Pages | 28 |
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Formulario per esami scritti...
FormulariodiAnalisiMatematica1 Indicedegliargomenti Puntiinterni,isolati,diaccumulazioneedifrontiera Alcunecostanti Proprietàdellepotenze Proprietàdegliesponenziali Proprietàdeilogaritmi Proprietàdelvaloreassoluto Progressioni Trigonometria Disequazioni Numericomplessi Limiti Derivate Rolle,Cauchy, Lagrange e de l'Hôpital Maxeminperfunzionidi1variabile Integrali Funzioneinversaerettatangentealgraficodifunzione Serienumeriche
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Puntiinterni,difrontiera,diaccumulazione,isolati Datouninsieme
in
e
èPUNTOINTERNOa .
seesoloseogniintornodelpunto
ètuttocontenuto
èPUNTODIFRONTIERAa seesoloseinogniintornodelpunto puntiappartenentia siapuntinonappartenentia .
cadonosia
èPUNTODIACCUMULAZIONEper seesoloseogniintornodelpunto contienealmenounpuntodi diversoda . èPUNTOISOLATOper
senonèdiaccumulazione.
Inoltre,sidefinisconoiseguentiinsiemi:
INTERNOdi
,
FRONTIERAdi
èl'insiemedeipuntiinterniad ,
DERIVATOdi
,
CHIUSURAdi
,
.
èl'insiemedeipuntidifrontieradi
.
èl'insiemedeipuntidiaccumulazioneper
UninsiemesidiceAPERTO
.
.
.
UninsiemesidiceCHIUSO
.
Valesemprelaseguenterelazione:
2
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Alcunecostantifondamentali
3
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Proprietàdellepotenzeadesponentereale
1. 2. 3. 4.
5.
6.
7.
8.
4
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Proprietàdegliesponenziali 1.
2.
3. 4. 5.
6.
7. 8.
9.
10.
5
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Proprietàdeilogaritmi 1. 2. 3. 4. 5.
6. 7.
8.
6
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Proprietàdelmoduloovaloreassoluto
1. 2. 3. 4. 5.
6.
7. 8.
7
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Progressioni
1. PROGRESSIONEARITMETICA:
2. PROGRESSIONEGEOMETRICA:
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Trigonometria PerleformuleditrigonometriacliccaQUI.
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Disequazioni Disequazionirazionalidisecondogrado Sia l'equazioneassociataalladisequazionedisecondo gradoesiano e leeventualiradiciditaleequazionecon .Lasoluzione delladisequazionedipenderàdalsuoversoedalsegnodel :
Disequazionifratte 1. Caso
:
sitrovanolesoluzionidi (1)e tra(1)e(2)prendendolaparte .
2. Caso
(2),perpoifareilprodottodeisegni
:
sitrovanolesoluzionidi (1)e tra(1)e(2)prendendolaparte .
3. Caso
(2),perpoifareilprodottodeisegni
:
sitrovanolesoluzionidi (1)e tra(1)e(2)prendendolaparte .
4. Caso
(2),perpoifareilprodottodeisegni
:
sitrovanolesoluzionidi (1)e tra(1)e(2)prendendolaparte .
(2),perpoifareilprodottodeisegni
Disequazioniirrazionali 1. Caso
(o
):
sirisolvonoisistemiesifal'unionedellerispettivesoluzionitrovate: 10
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2. Caso
(o
):
sitrovanolesoluzionidell'unicosistema:
Disequazioniconvaloreassoluto 1. Caso
noncostantee
(oppure
,
,
):
sirisolvonoisistemiesifal'unionedellerispettivesoluzionitrovate:
2. Caso
costantee
(o
):
lesoluzionisono
3. Caso
costantee
lesoluzionisono
(oppure
(o
)
):
(oppure
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Numericomplessi Formaalgebrica
1.
2.
3.
4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
Formatrigonometrica
dove se
allora:
1. 12
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2.
3.
4.
Formaesponenziale
se
allora:
1. 2.
3.
4.
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Limiti Formeindeterminate
N.B.:
nonsonoformeindeterminate!
Limitinotevolidisuccessioni Scaladiinfiniti/infinitesimi
Formasemplice
Formagenerale
/
/
/ / / / / / /
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Limitinotevolidifunzioni Siano
e
duepolinomidigrado e
rispettivamente,ovverodeltipo:
Allorasiha:
Formasemplice
Formagenerale
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Derivate Funzione (formasemplice)
Funzione (formagenerale)
Derivata
Derivata
$
Derivatadellafunzionecompostaesponenziale
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Teoremisulcalcolodellederivate DERIVATADELPRODOTTODIUNACOSTANTE PERUNAFUNZIONE :
DERIVATADELLASOMMADIDUEFUNZIONI e :
DERIVATADELPRODOTTODIDUEFUNZIONI e :
DERIVATADELQUOZIENTEDIDUEFUNZIONI e :
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Maxeminrelativieassoluti TEOREMADIFERMAT: Sia
,
puntodimaxominrelativotaleche
Sia
unafunzionecontinuain
.Siha:
ederivabileinunsuointorno.Allora:
a.
b.
Sia
derivabile volteesia
taleche
allora a.
parie
maxrelativo
b.
parie
minrelativo
c.
disparie
crescentein
d.
disparie
decrescentein
Ricercadeimaxeminrelativi Se
èderivabilenell'internodi
1. sirisolvel'equazione
allora
perdeterminareipunticritici
2. siapplicailteorema2)o3)(vistisopra)perdecideresesitrattadimaxomin relativi.
Se
nonèderivabilenell'internodi
alloraoccorreesaminareduetipidi
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punti: 1. punticritici(vedicasoprecedente)
2. ipunti taliche :inquestocasobisognaverificaresesitrattadi minimoodimassimorelativoapplicandoladefinizione.
Ricercadeimaxeminassoluti Confrontareivaloriche
assumeneipuntideiseguentiinsiemi:
1.
2.
3.
Scegliereilpiùgrande eilpiùpiccolo eilminimodellafunzione
pertrovarerispettivamenteilmassimo
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Integrali Integrale (formasemplice)
Integrale (formagenerale)
Primitive
Primitive
Teoremisulcalcolointegrale INTEGRALEDELPRODOTTODIUNACOSTANTE PERUNAFUNZIONE :
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INTEGRALEDELLASOMMADIDUEFUNZIONI e :
METODODIINTEGRAZIONEPERPARTI:
ESTENSIONEDELCONCETTODIINTEGRALE:
PROPRIETA'ADDITIVADELL'INTEGRALE(
):
TEOREMAFONDAMENTALEDELCALCOLOINTEGRALE: Se
ècontinuain
,allora,perogni
siha:
TEOREMADELLAMEDIA: Se
ècontinuain
,esiste
Se
ècontinuain
,siha:
Se
ècontinuain
,siha:
taleche:
Integraliimpropri
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Se
Se
Se
ècontinuain
con
èintegrabilein
,siha:
èintegrabilein
Se
,siha:
,siha:
èintegrabilein
,siha:
Criteridiintegrabilità Se
èunafunzionecontinuain
ese
Se
èunafunzionecontinuain
ese
Se
èunafunzionecontinuain
ese
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Funzioneinversaerettatangente Unafunzionestrettamentemonotona(crescenteodecrescente)èinvertibile. Seunafunzione èinvertibileederivabilein derivataprimanelpuntosarà:
con
,alloralasua
L'equazionedellarettatangentealgraficodellafunzione
dove
nelpunto
èladerivatadellafunzione calcolatanelpunto
è
.
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Serienumeriche Serieatermininonnegativi Condizionenecessariaaffinchèunaserieatermininonnegativi
convergaèche
Criteriperladeterminazionedelcaratterediunaserienumerica
CRITERIODELRAPPORTO:
ò
CRITERIODELLARADICE:
ò
CRITERIODIRAABE:
ò
CRITERIODICONDENSAZIONEDICAUCHY: Se ènoncrescente( anche:
),laserieèconvergenteseesoloseloè
CRITERIODELCONFRONTO: Siano
dueserieatermininonnegativicon
,allora:
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1. Se
èconvergenteconsomma ,anche
èconvergenteconsomma
.
2. Se
èdivergente,anche
èdivergente.
CRITERIODELCONFRONTOCONLASERIEARMONICAGENERALIZZATA: Laseriearmonicageneralizzataèdatada:
a. Se
,alloralaserieconverge
b. Se
,alloralaseriediverge
Serieaterminialternieserieoscillanti Indichiamocon lasommadellaserieecon
lasommaparzialedeiprimi termini.
TEOREMADILEIBENITS: Se e
,
monotonanoncrescente(
alloralaserieconvergeedinoltre
) .
TEOREMADELLESERIEOSCILLANTI: Se
, )e
monotonanondecrescente( alloralaserieoscilla.
Serienumericheassolutamenteconvergenti
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Unaserienumerica
sidiceASSOLUTAMENTECONVERGENTEse
è
convergente. Seunaserienumericaèassolutamenteconvergentealloraèconvergente.
Sommaeprodottodiserie Lasommadidueserienumeriche
Ilprodottodidueserienumeriche
èconvergentesoloseentrambeleseriesonoconvergentiealmenounadelledueè assolutamenteconvergente
Alcuneserienumerichenotevoli SERIEGEOMETRICADIRAGIONE :
SERIETELESCOPICA(DIMENGOLI):
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