Formulario-Productos-Notables-pdf PDF

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“PRODUCTOS NOTABLES” I. BINOMIO AL CUADRADO: (Trinomio Cuadrado Perfecto)

( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2 ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 2

II. DIFERENCIA DE CUADRADOS:

( a b )(a + b ) = a 2 − b 2 III. IDENTIDADES DE LEGENDRE

(a + b ) + ( a − b)

2

(a + b) − (a − b)

2

2

2

= 2 (a2 + b2 ) = 4ab

❖ Consecuencia:

(a + b) − (a − b) 4

4

= 8ab( a2 + b2 )

IV. IDENTIDADES DE STEVEN:

( x + a )( x + b ) = x 2 + (a + b ) x + ab ( x + a )( x + b )( x + c ) = x 3 + (a + b + c )x 2 + (ab + ac + bc ) + abc V. BINOMIO AL CUBO: (Trinomio Cuadrado Perfecto)

( a + b )3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ( a − b )3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

VI. IDENTIDADES DE CAUCHY:

( a + b ) = a 3 + b 3 + 3ab (a + b ) 3 ( a − b ) = a 3 − b 3 − 3ab (a − b ) 3

❖ Consecuencias:

(a + b ) + (a − b)

= 2a ( a2 + 3b2 )

(a + b) − (a − b)

= 2b (b 2 + 3a 2 )

3

3

3

3

VII. SUMA Y DIFERNCIA DE CUBOS:

a 3 + b 3 = ( a + b ) (a 2 − ab + b 2 ) a 3 − b 3 = ( a − b ) (a 2 + ab + b 2 ) VIII. TRINOMIO AL CUADRADO:

( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 +2ab + 2bc + 2ac 2 ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 +2 ( ab + bc + ac ) 2

IX. TRINOMIO AL CUBO:

( a + b + c ) = a3 + b3 + c 3 +3a 2b + 3a 2c + 3b 2a + 3b 2c + 3c 2a + 3c 2b + 6abc 3 ( a + b + c ) = a3 + b3 + c 3 +3 (a + b + c )(ab + ac + bc ) − 3abc 3 ( a + b + c ) = a3 + b3 + c 3 +3 (a + b )(a + c )(b + c ) 3

X. IDENTIDADES DE LAGRANGE:

(a (a

2

+ b 2 )( x2 + y 2 ) = ( ax + by ) + ( ay − bx)

2

+ b2 + c 2 )( x2 + y 2 +z 2 ) = ( ax + by + cz) +( ay − bx) +( az − cx) +( bz − cy)

2

2

2

2

XI. IDENTIDAD DE GAUSS:

( a + b + c )( a2 + b 2 +c 2 −ab − ac − bc ) = a 3 + b 3 + c 3 − 3abc 1 2 2 2 ( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + (c − a )  = a 3 + b 3 + c 3 − 3abc 2

XII. IDENTIDADES DE ARGAND:

(a (a

2 2n

+ ab + b2 )( a2 − ab + b2 ) = a4 + a2 b2 + b4 + an bm + b2m )( a2n − an bm + b2m ) = a4n + a2n b2m + b4m

❖ Caso Particular:

(x

2

+ x + 1)( x 2 − x + 1) = x 4 + x 2 + 1

❖ Otras Identidades:

( a + b + c )( ab + ac + bc ) = ( a + b )( a + c )( b + c) + abc ( a + b )4 − ( a − b )4 = 8ab( a2 + b2 ) ( ab + ac + bc )2 = a2 b2 + a2 c 2 +b2 c2 + 2abc( a + b + c)

2

2

ALGUNAS RELACIONES CONDICIONALES: A. Condición: a + b + c = 0

a 2 + b 2 + c 2 = −2 ( ab + ac + bc ) a 3 + b 3 + c 3 = 3abc a 4 + b 4 + c 4 = 2( a2 b2 + a2 c 2 + b2 c 2 ) 1 2 2 2 2 a + b + c = (a + b + c ) 2 a 5 + b 5 + c 5 = −5abc ( ab + ac + bc ) 4

4

4

( a2 + b2 + c2 ) = a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 2

a 2b 2 + a2 c 2 + b2 c2 = ( ab + ac + bc )  a2 + b2 + c2  a3 + b3 + c3   2 3  

2

 a5 + b5 + c5 = 5 

2 2 2 B. Condición: a + b + c = ab + ac + bc Donde: a; b y c  R Entonces se demuestra que:

a=b =c + b2n + c 2p = 0 + Donde: a; b y c  R  m; n y p  Z

C. Condición: a

2m

Entonces se demuestra que:

a = 0; b = 0; c = 0...