GAS ELEKTRON PDF

Preview

Summary

THE ELECTRON GAS YOHANES KURNIAWAN, S.Pd YOHANES KURNIAWAN, S.Pd Contoh yang paling penting dari sebuah pemasangan statistik Fermi Dirac adalah bahwa dari elektron bebas dalam konduktor logam. Kami berasumsi bahwa setiap atom di bagian kisi kristal dengan beberapa (integral) jumlah elektron valensi ...

Description

THE ELECTRON GAS YOHANES KURNIAWAN, S.Pd YOHANES KURNIAWAN, S.Pd

Contoh yang paling penting dari sebuah pemasangan statistik Fermi Dirac adalah bahwa dari elektron bebas dalam konduktor logam. Kami berasumsi bahwa setiap atom di bagian kisi kristal dengan beberapa (integral) jumlah elektron valensi terluar dan elektron tersebut dapat bergerak bebas di seluruh logam.

Prinsip larangan Pauli, menyatakan bahwa tidak ada lebih dari satu partikel tiap keadan, sekarang memungkinkan dua elektron per keadaan asalkan mereka memiliki arah putaran yang berlawanan.

Gas elektron

FERMION

Elekton gas yang tersebar tersebar dalam atom-atom logam ini menjelaskan kepada kita mengapa konduktor yang baik itu biasanya berasal dari unsur logam.

DISTRIBUSI FERMI-DIRAC

1 𝑓 ɛ = ɛ − ɛ𝑓 𝑒𝑘𝑝 +1 𝑘𝑏 𝑇

Oleh karena itu degenerasi ∆𝑔𝑣 sebagai fungsi kecepatan (lihat distribusi MAXWELL-BOLTZMAN untuk

kecepatan molekul) :

dengan menyatakan kembali degenerasi g sebagai fungsi energy didapatkan:

Maka rata-rata jumlah ∆𝒩 dari elektron di tingkat makro adalah (berdasarkan distribusi fermi-Dirac)

8𝜋𝑚3 𝑉 2 ∆𝑔𝑣 = 𝜐 ∆𝜐 ℎ3

2𝑚 ∆𝑔𝑣 = 4𝜋𝑉 ℎ2

∆𝒩 =

exp

𝐴 ≡ 4𝜋𝑉

3 2 1 𝜖 2 ∆∈

∆𝑔𝜖 𝜖− 𝜇 𝑘𝑇

3

2𝑚 2 ℎ2

∆𝑔𝑣 = 𝐴

+1

=𝐴

exp

1 𝜖2

𝜖− 𝜇 𝑘𝑇

+1

1 ∈2

Δ𝜖

∆∈

Potensial kimia 𝜇 dapat dievaluasi dari persyaratan Σ∆𝒩 = 𝑁, di mana N adalah jumlah total elektron. Mengganti jumlah tersebut dengan integral, kita mendapatkan

∞

𝑁=A න 0

𝜋2 12

𝑘𝑇 2 𝜖𝐹

exp 𝜋4 80

1 𝜖2

𝜖− 𝜇 𝑘𝑇 𝑘𝑇 4 𝜖𝐹

+1

𝑑𝜖

Hasilnya, diperoleh deret Sommerfeld

𝜇 = 𝜖𝐹 1 −

𝜖𝐹 adalah konstan untuk logam tertentu dan disebut energy fermi. Ketika T = 0, 𝜇o = 𝜖𝐹 Fungsi distribusi di T = 0 kemudian

𝑔𝜖 𝜀 ൗ2 ∆𝜖 0 =𝐴 ∆𝑁 = ϵ − 𝜖𝐹 ϵ − 𝜖𝐹 +1 +1 𝑒𝑥𝑝 𝑒𝑥𝑝 𝑘𝑇 𝑘𝑇

+

+ ⋯.

1

Kasus ∈ – ∈𝑓 < 0

0

∆𝑁 = 𝑔∈ = 𝐴

1ൗ ∈ 2

∆𝜀

Pada T = 0 K, jumlah elektron sama dengan jumlah keadaan energi dan

semua tingkat energy di bawah εF terisi penuh elektron.

Kasus ∈ – ∈𝑓 > 0

∆𝑁 0 = 0

Pada T = 0 K tidak ada elektron pada tingkat ini sehingga energi εF adalah energy maksimum yang dimiliki oleh elektron pada T = 0 K.

Besar Energi Fermi εF Σ ∆𝒩 𝑜 = 𝑁 .

Mengganti jumlah dengan integral, memperkenalkan fungsi distribusi T = 0, dan mengintegrasikan seluruh tingkatan dari nol sampai 𝜖𝐹 kita mendapatkan

𝜖𝐹 =

ℎ2 3𝑁 8𝑚 𝜋𝑉

2Τ 3

Atau, setelah memasukkan nilai A,

∞

𝑁=A න 0

1 𝜖2

Berdasarkan persamaan diatas, energi Fermi εF bergantung jumlah elektron persatuan volume (N/V) dan tidak bergantung temperatur.

2 32 𝑑𝜖 = 𝐴𝜖𝐹 3

Total energi U dari elektron

Atau mengganti jumlah dengan integral 

 3/2 U  A d . 0 exp       / kT   1 Karena, integral tidak bisa dievaluasi dalam bentuk yang mendekati dan harus di ekspresikan sebagai deret tak hingga. Hasilnya adalah

Ketika T = 0,

jika kita memasukkan pada persamaan 𝑈 = σ 𝜀∆𝑁 nilai untuk fungsi distribusi pada T=0 dan integrasi dari ε = 0 dan ε = εp Energi rata-rata per elektron pada nol absolute adalah

Misalnya untuk perak

Kapasitas Kalor Gas Elektron pada Volume Konstan

Karena Kapasitas kalor pada volume konstan diberikan

maka

𝜋 2 𝑘𝑇 3𝜋 2 𝑘𝑇 𝐶𝑉 = 𝑁𝑘 1 − 2 𝜀𝐹 10 𝜀𝐹

2

𝐶𝑉 =

𝜕𝑈 𝜕𝑇

𝑉

+⋯

Jika temperatur tidak terlalu besar, maka kira-kira:

Dengan mengganti Nk dengan nR, dimana n adalah jumlah mol dan membagi kedua sisi dengan n, kita mendapatkan kapaistas kalor mol spesifik dari elektron bebas pada logam

Yang bernilai 0 pada T=0 dan naik secara linear terhadap suhu T

Besar Entropi Gas Elektron Untuk menghitung entropi dari elektron gas, kita dapat menggunakan fakta bahwa pada proses reversibel dengan volume konstan, aliran kalor menuju gas saat suhunya nai sebesar dT adalah

Dan temperatur T, entropinya adalah

𝑇

𝑑𝑄𝑟 𝑆= න 𝑇 0

𝑇

𝐶𝑣 = න 𝑑𝑇 𝑇 0

Sehingga kita mendapatkan

Dimana pada T = 0 K nilai S = 0.

Besar Tekanan Pada Gas Elektron

Fungsi Helmholtz F

dari nilai yang di dapat diatas untuk U dan S,

𝑃=−

Jika tekanan elektron dinyatakan dalam:

Maka

2 𝑁 ∈𝐹 5𝜋 2 𝑘𝑇 𝑃= 1+ 5 𝑉 12 𝜖𝐹

2

+⋯

𝜕𝐹 𝜕𝑉

𝑇

KESIMPULAN Berdasarkan paparan diatas, maka dapat disimpulkan beberapa hal yaitu: 1. Elektron dalam logam termasuk tidak terbedakan dan memenuhi larangan Pauli. Apabila distribusi Fermi-Dirac dinyatakan dalam

∆𝑁𝑗 =

2. Energi total system 𝑈 = 𝐴

3.

𝑒−

𝛼 +𝛽 𝜀 𝑗

3

∞ 𝜀 ൗ2 0 𝑒𝑥𝑝 𝜀 −𝜇

elektron pada T = 0 K adalah 𝜀 0

=

𝑔𝑗

𝑘𝑇

𝑈0 𝑁

3 5

Kapasitor kalor spesifik permol yaitu:

𝜋 2 𝑘𝑇 𝑅 𝑐𝑉 = 2 𝜀𝐹

4. Besar entropi gas elektron 𝑆 = 𝑁𝑘

2

pada T = 0 K nilai S = 0.

𝑘𝑇 𝜀𝐹

dengan Energi rata-rata tiap

+1

=

𝜋2

+1

𝜀𝐹

1−

𝜋2 10

𝑘𝑇 2 𝜀𝐹

5. Persamaan keadaan gas elektron menjadi:

2 𝑁𝜀𝐹 5𝜋 2 𝑘𝑇 𝑃= 1+ 5 𝑉 12 𝜀𝐹

2

+⋯

+⋯

dimana

DAFTAR PUSTAKA

1. Sears W. Francis, Thermodynamics, Kinetic Theory, and Statistical Thermodinamics

2. Supahar, Dr, Msi, Thermodinamika Statistik...