GC0401 2014-2015 Chap-04 Les-hypothèses-de-la-RDM PDF

Preview

Summary

Génie civile - GC0401
Chapitre 4 - Les hypothèses de la RDM
INTRODUCTION, GEOMETRIE DU SOLIDE, MATERIAU CONSTITUTIF, HYPOTHESES FONDAMENTALES DE LA RDM, CONDITIONS AUX LIMITES...

Description

GC0403

Chapitre 4 : Les hypothèses de la RDM

CHAPITRE 4 LES HYPOTHESES DE LA RDM A. INTRODUCTION La RDM est la science du dimensionnement issue de la mécanique des milieux continus. Objectif : Conception d’une pièce mécanique ou d’un ouvrage - Formes et géométrie remplissant les fonctions demandées - Choix des matériaux (propriétés mécaniques voir thermomécaniques) - Quantités nécessaires et suffisantes pour assurer une résistance sans endommagement de la pièce ou de l’ouvrage) ⟹ Compromis sécurité/économie + (esthétique, ergonomie, …). Ces compromis sont inscrits dans le cahier des charges La RDM est la théorie adaptée à des hypothèses bien précises. - Géométrie des solides étudiés - Matériau constitutif - Conditions aux limites

B. GEOMETRIE DU SOLIDE 1)

Définition d’une poutre – vocabulaire associé

Ici, on se limite à l’étude des poutres (1D) Rappel : La poutre est un solide généré par une surface S plane dont le barycentre géométrique 𝐺 décrit une courbe 𝐺0 𝐺1 . 𝐺1

𝐺0

Si 𝐺0 𝐺1 est une droite, on parle de poutre droite, sinon on parle de poutre courbée.

Définition : La courbe 𝐺0 𝐺1 est appelé axe moyen ou fibre moyenne d’une poutre. 2)

Propriétés géométriques

1) Le rayon de courbure de la ligne moyenne doit être grand par rapport à la plus grande dimension transversale de la section droite. En pratique, le rapport doit être supérieur à 5. 2) La longueur de la ligne moyenne doit être grande par rapport à la plus grande dimension transversale de la section droite. On introduit la notion d’élancement.

Semestre 4

2014-2015

GC0403

Chapitre 4 : Les hypothèses de la RDM diamètre

𝐿

𝑙

ℎ

𝐿

𝐿 >5 diamètre ou 𝑙⁄ > 5 { ℎ 𝐿⁄ > 5 𝑙 3) Petits déplacement → Point d’application des efforts extérieurs non modifié Petites déformations → Comportement élastique

On pourra utiliser les efforts calculés en statique (calculés en supposant le solide non déformable) pour étudier la déformation de la poutre. HPP : Hypothèse des Petites Perturbations  Petits déplacements  Petites déformations

3)

Représentation schématique d’une poutre

La poutre est définie par sa fibre moyenne 𝐺0 𝐺1 et sa section droite 𝑆. Poutre réelle : Y 𝐺0

(S)

x

𝐺0 𝐺1 : fibre moyenne 𝑆 : section droite

x

𝐺1

X

Z

Modèle équivalent :

Y

Y

X

Z

C. MATERIAU CONSTITUTIF I]

Semestre 4

Homogénéité

2014-2015

GC0403

Chapitre 4 : Les hypothèses de la RDM

Si les dimensions du solide sont largement supérieures à la taille caractéristique de la microstructure (diamètre du grain, taille des inclusions) alors il présentera macroscopiquement les mêmes compositions et propriétés dans toute son étendue. ATTENTION, macroscopiquement homogène ne veut pas dire macroscopiquement homogène !

grain

En pratique, pour l’étude des poutres, il faudra que la plus grande dimension transversale soit grande par rapport à la dimension de la plus grande hétérogénéité présente dans le matériau. 𝑏, ℎ ≫ 10 ∗ diamètre du grain 1)

Isotropie

Propriétés mécaniques identiques dans toutes les directions de l’espace. Ex : Acier laminé long

travers cours

travers

2)

Comportement élastique linéaire

Le matériau est dit élastique s’il retrouve entièrement sa forme et ses dimensions après un cycle de charge décharge. Déformation totalement réversible. F

F

U

Elastique non linéaire

F

F

U

Elastique linéaire

U

U

Non élastique

D. HYPOTHESES FONDAMENTALES DE LA RDM I]

Principe de Saint-Venan, conséquences

Etant donné un solide déformable, si sur une partie ∑ de sa frontière on remplace une distribution de forces appliquées par une autre distribution de force équivalente (même résultante 𝑅󰇍 et même Semestre 4

2014-2015

GC0403

Chapitre 4 : Les hypothèses de la RDM

󰇍󰇍 ), les sollicitations restent inchangées dans toute région du solide suffisamment éloignées moment ℳ de ∑. Conséquences : sur une poutre, les résultats obtenus par un calcul RDM ne sont valables qu’à une distance suffisamment éloignées de la zone d’application des charges extérieures concentrée et des liaisons. En pratique, les résultats sont valables à partir d’une distance égale à 2 fois la plus grande dimension transversale.

1)

Hypothèses de Navier-Bernoulli

Toute section droite (plane et ⊥ à la fibre moyenne) avant déformation reste droite après déformation. Y

S

X

Translation selon X : u Translation selon Y : v Rotation selon Z : 𝜃𝑧

u

O

Petites rotations tg(𝜃𝑧 ) ≈ 𝜃𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑣 Or tg(𝜃) ≈ ≈ ≈ 𝑣′

v

𝑑𝑥

θz

𝑑𝑥

E. CONDITIONS AUX LIMITES On désigne par condition aux limites les 2 ensembles suivants : chargement extérieurs s’appliquant sur les poutres et liaisons de la poutre avec l’extérieur).

I]

Efforts extérieurs

Torseurs des efforts extérieurs {𝒯𝑒𝑥𝑡→𝐺 }𝐺 = {

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑅󰇍 = ∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 𝐺

󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍𝐺 (∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ) = ∑ ℳ󰇍󰇍𝐺󰇍󰇍󰇍 (𝐹󰇍󰇍󰇍󰇍𝑒𝑥𝑡 󰇍󰇍󰇍 ) ℳ

La résultante 𝑅󰇍 est invariante du torseur.

𝐺

𝐺

}

𝐺

𝑅𝑥 ℳ𝑥 {𝒯𝑒𝑥𝑡→𝐺 }𝐺 = { 𝑅𝑦 ℳ𝑦 } 𝑅𝑧 ℳ𝑧 𝐺

Il peut s’écrire également de cette manière

Cas des forces planes contenues par exemple dans le plan xy 𝑅𝑥 0 {𝒯𝑒𝑥𝑡→𝐺 }𝐺 = { 𝑅𝑦 0 } 0 ℳ𝑧 𝐺

Semestre 4

2014-2015

Chapitre 4 : Les hypothèses de la RDM 1)

GC0403

Liaisons

0 00 𝑌 𝐴 } 0 0𝐴 𝑋𝐴 0 {𝒯𝑒𝑥𝑡→𝐺 }𝐴 = { 0 0} 0 0𝐴 {𝒯𝑒𝑥𝑡→𝐺 }𝐴 = {

𝑋𝐵 0 {𝒯𝑒𝑥𝑡→𝐺 }𝐴 = { 𝑌𝐵 0} 0 0𝐵 Appui fixe

𝑋𝐶 0 {𝒯𝑒𝑥𝑡→𝐺 }𝐶 = { 𝑌𝐶 0} 0 0𝐶 Articulation

𝑋𝐷 0 {𝒯𝑒𝑥𝑡→𝐺 }𝐷 = { 𝑌𝐷 0 } 0 ℳ𝐷𝑧 𝐷 Encastrement

Semestre 4

2014-2015...