Geomrtria Euclidiana PDF

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Teoria sobre geometria euclidiana...

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GEOMETRIA EUCLIDIANA CONCEPTOS PRELIMINARES DEFINICION DE GEOMETRIA:  

Rama de la matemática que estudia propiedades de las figuras en el plano o el espacio (cuadrado, triangulo y circunferencia). Para la arquitectura es un instrumento indispensable en el tratamiento de las formas que entran en la “composición” de los espacios.

ANTECEDENTES:  LOS EGIPCIOS: Algunos sabios dijeron que los egipcios inventaron la geometría y se la enseñaron a griegos (manejaban solo la recta) Con esto podían calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después las inundaciones anuales.

los

de

 BABILONIOS: Se rectifica que los egipcios no inventaron la geometría, sino fueron los babilonios. Hace más de seis mil años se inventó la rueda, el invento más importante, con esto pudieron conocer la circunferencia, y la relación entre longitud de circunferencia y sus diámetros, este valor fue 3

 HINDUES: No se conoce mucho de su geometría, pero se sabe que no tenían una geometría precisa, sino que surgieron de los conocimientos para construir altares.

 LA GEOMERTIA EGIPCIA SE SUPERA GRECIA Le dieron un carácter netamente científico reuniendo los conocimientos adquiridos en empíricamente a través del tiempo

TIPOS DE GEOMETRIA:

EN

 GEOMETRIA DESCRIPTIVA Conjunto de técnicas geométricas que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional

 GEOMETRIA FRACTAL Busca y estudia aspectos geométricos que nos invariantes en cambio de escala

 GEOMETRIA PROYECTAL Estudia propiedades de incidencia de las figuras geométricas

 GEOMETRIA SAGRADA Esta demuestra que detrás del desorden que se encuentra la naturaleza se encuentran ocultos patrones en proporciones perfectas. 

GEOMETRIA SAGRADA ARQUITECTURA

EN

LA

La geometría sagrada está asociado a la arquitectura religiosa ya que resulta fácil distinguir algunos patrones geométricos que se ven repitiendo en este tipo de estructuras desde el origen de todas las religiones y culturas.

 GEOMETRIA ABSOLUTA Es el sistema axiomático que depende de los primeros cuatro postulados de Euclides, engloba la geometría euclida e hiperbólica.

 GEOMETRIA NO EUCLIDIANA Cualquier geometría que sus postulados difieren de los de Euclides.

GEOMETRIA EUCLIDIANA ANTECEDENTES HISTORICOS  TALES:  PITAGORAS

Investigo los teoremas y descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las figuras cósmicas.

 PLATON  EUDOXO Amplio el número de los teoremas generales.

EUCLIDES DE ALEJANDRIA Es uno de los 3 mejores matemáticos de la antigüedad

 LOS ELEMENTOS es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, En él Euclides recopilo todos los conocimientos matemáticos de la época, pretendía presentar un modelo de actuación para demostrar resultados y construir una teoría matemática con axiomas y reglas de deducción,

IMPORTANCIA DEL LIBRO 10  NUMERO AUREO: Numero irracional irracional representado con la letra griega phi Φ. Euclides ( 300-265 a. C.), quién lo definió como:

Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es segmento mayor como el mayor es al menor.

La Puerta del Sol fue diseñada con

al

La proporció n entre la altura de una

EL RECTANGULO AUREO Este posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón áurea, es el rectángulo que cuando se sustrae la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es igual a un rectángulo dorado.

Ejemplos: 

Partenón griego

AB/CD=Φ, pero Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo,



Edificio de la ONU El edificio en New York, es un prisma rectangular de su cara mayor sigue las proporcione del numero aureo

A partir de este rectángulo se obtiene la espiral dorada, la cual es una espiral logarítmica.

RECTANGULO RAIZ DE DOS

La relación entre base y altura es igual a la raíz cuadrada de dos.

RECTANGULO DE PLATA

Se obtiene al añadir al Rectángulo áureo un cuadrado de lado 1 S

d l

(1+/2)

RECTANGULO DE CORDOBES Los monumentos musulmanes de córdoba, permitieron al arquitecto Rafael de la Hoz encontrar este rectángulo

l

IMPORTANCIA DEL LIBRO 12 METODO EXHAUSTIVO Método creado por Eudoxo de Cnido,, este es un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo.

DESPUES DE EUCLIDES Arquímedes estudió las secciones cónicas e introdujo en la geometría las primeras curvas que no eran ni rectas ni circunferencias, también realizo su calculo del volumen de la esfera

METODO DE LA GEOMETRIA EUCLIDINA  METODO INDUCTIVO Va de los casos particulares hacia la generalización,

 METODO DEDUCTIO consiste en extraer una conclusión con base en una premisa

AXIOMAS Y POSTULADOS DE LA GEOMETRIA AXIOMAS:

POSTULADOS

• Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si.

• Es posible trazar una línea recta entre dos puntos cualesquiera.

• Si cantidades iguales se suman a cantidades iguales, las sumas son iguales. • Si cantidades iguales se restan de cantidades iguales, las diferencias son iguales. • Dos figuras que coinciden

• Todo segmento puede extenderse indefinidamente en línea recta. • Un círculo puede tener cualquier centro y cualquier radio. • Todos los ángulos rectos

ELEMENTOS DE LA GEOEMTRIA EUCILIDANA 1. EL PUNTO Señala una posición en el espacio, conceptualmente carece de longitud, anchura, tamaño y profundidad, por ello es estático, central y no direccional El punto puede servir para marcar: • Los dos extremos de una línea • La intersección de dos líneas • El centro de un campo

2. LA RECTA prolongación de un punto se convierte en una línea, esta tiene longitud, pero carece de anchura y profundidad. Sirve para: • Unir, asociar, soportar, rodear o cortar otros elementos visuales. • Definir las aristas y dar forma a los planos • Articular la superficie de los planos

3. EL PLANO Una línea prolongada se convierte en un plano, tiene longitud y anchura, pero no profundidad. .

4. EL ESPACIO Puede considerarse como el conjunto de todos los puntos del universo físico., todo punto, recta y plano se encuentra en el espacio

TIPOS DE GEOMETRIA EUCLIDIANA GEOMETRIA PLANA  POLIGONOS REGULARES Son figuras elementales de la geometría formal., son las bases de prismas y solidos clásicos.

 TRIANGULO EQUILATERO existe una asociación con el triangulo equilátero con la raíz cuadrada de tres Ejemplos:

Templos griegos y

Edificio Flatiron, N.Y

 CUADRADO En arquitectura islámica, un cuadrado rodea las puertas

 PENTAGONO

LONGITUD DEL PERIMETRO Y CONTENCION DEL AREA Hay características en las figuras planas de gran importancia para la arquitectura, La relación entre el área contenida y el perímetro o circunferencia necesaria para contenerla

LA PROGRESION DE LOS CUARTOS mientras que el numero de la lados aumenta el polígono no se parece mas y mas a un circulo, hasta que en algún punto los lados son tan cortos que la figura de hecho se vuelve indiferenciable de la de un circulo.

Ejemplo: Banco Wells Fargo Crown Zellerbach Se aproxima a un circulo, pero esta construido de elementos rectilinios

GEOMETRIA DEL ESPACIO O ESTEROMETRIA Se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional., son figuras llamadas solidos: 

SOLIDOS PLATONICOS poliedros, cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras. Se dice que un sólido platónico es un poliedro regular.

DIFERENCIA ENTRE GEOMETRIA EUCLIDIANA Y OTRAS GEOMETRIAS  GEOEMTRIA EUCLIDIANA • Satisfacelos cinco postulados de Euclides y tiene curvatura

 GEOMETRIA HIPERBOLICA Satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa

 GEOEMTRIA ELIPTICA Satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva

APLICACIÓN DE LA GEOMETRIA EN OTRAS CIENCIAS

 EN LA FISICA Tanto la geometría como la física se desarrollaron observando la naturaleza, prestando atención a la forma de los objetos.

 EN EL ARTE Braccelli , realizó unos grabados del cuerpo humano usando figuras geométricas La Geometría de Euclides usada para recrear las emociones humanas.

 EN LA ASTRONIMIA Su relación con la geometría recae en el hecho de que en todo el universo gobiernan las formas geométricas

GEOMETRIA EUCLIDIANA Y LA ARQITECTURA La Geometría, es el estudio del espacio y la arquitectura, es la creación en el espacio por medio de la construcción. Ambos son inseparables, excepto que la geometría puede existir sin arquitectura pero no al revés. Ejemplos:

StonehengeI l t

QoriknchaC

IMPORTANCIA DE LA GEOMETRIA EUCLIDIANA EN LA ARQUITECTURA Es imprescindible comprender la geometría para el diseño arquitectónico, tanto en un sentido práctico como en lo estético.

GEOMETRIA FRACTAL El término fractal es un vocablo derivado del latín, fractus (participio pasado de frangere), que significa quebrado o fracturado y se lo utiliza para designar a objetos “semigeométricos” cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. 1.Son invariantes por traslación, al desplazar los objetos en cualquier dirección estos siguen presentando las mismas características. 2. No varían por cambios de escala, la figura no se deforma LOS FRACTALES TIENEN DOS CARACTERISTICAS IMPORTANTES: 1. Se puede decir que est´a formada por partes m´as peque˜nas que se parecen. Esta similitud puede ser geom´etricamente estricta o bien puede ser solamente aproximada o estadística. 2. Todos los fractales no tienen por qué ser autosimilares. A estos fractales que no lo son los denominamos fractales plasmáticos

1. Son aquellos que se construyen con un simple cambio de escala, como lo son los conjuntos fractales creados por el hombre con figuras sencillas (rectas, tri ´angulos, etc.) Existen varios tipos de fractales lineaales como el Conjunto de Cantor, Curva de Von Koch, Triángulo de Sierpinski, o en este caso la curva de Hilbert 2. Son aquellos que est´an formados por los n´umeros complejos, Los fractales no lineales se generan a partir de distorsiones complejas o justamente como lo dice su nombre, y usando un término proveniente de la matemática caótica, distorsiones no lineales Ejemplos de ellos son: *Conjunto de Mandelbrot *El Conjunto de Julia. 3. Los fractales interacionales se obtienen mediante un proceso interativo que coonsiste en la aplicacion repetitiva de una o varias transformaciones geometricas o aplicando algounos algoritmos interativos. 4. Los fractales plasmaticos o de plasma son un tipo de fractal que se diferencia de los demas en que tienen un componente aleatorio, este fractal lo podemos observar cuando vemos las nubes.

TRIANGULO DE SPIVINSKI

Construimos un triangulo equilátero de lado 1 (no necesariamente debe ser equilátero). Ahora, a cada lado se debe encontrar sus puntos medios y se deben unir formando 4 triángulos internos(equiláteros) de lado 1/2 cada uno, pero el triangulo del medio se elimina, luego con los 3 triángulos restantes se tiene que hacer lo mismo, luego con los 9 y así sucesivamente ALFOMBRA DE SPIVINSKI Es un fractal descrito por Sierpinski en 1916.

Para construirlo se sigue el siguiente proceso. * Se parte de un cuadrado de lado 1. *Se divide en nueve cuadrados iguales y se elimina el cuadrado central. *Se hace lo mismo que hemos hecho en el primer. *paso sobre cada uno de los ocho cuadrados obtenidos en el paso anterior. *Seguimos indefinidamente este proceso.

COPO DE NIEVE: Construyamos el Triangulo de Koch: esta figura parte con un triangulo equilátero de 1 unidad; luego se divide cada segmento en tres partes iguales de 1/3 y el segmento del medio se elimina teniendo que agregar un triangulo equilátero en el segmento eliminado (1/3) en cada lado del triangulo; finalmente este proceso se tiene que repetir infinitas veces en cada uno de los segmentos que tiene la nueva figura.

APLICACIONES: FISICA La musica y la matematica siempre tuvieron una cercana relacion. Desde pitagoras se sabe que la armonia de tono esta intimamente vinculada a la frecuencia neuronal. Ciertas musicas incluyendo Bach, Beethoven y Mozart cumplen con las propiedades fractales. La línea del espacio tiempo fue diseñada en base a la teria de fractales NATURALEZA Fronteras entre paises, riberas de los rios, nubes, etc. . Arboles: son casos en los que se produce una similitud en las ramificaciones. BIOLOGIA

En el cuerpo humano se pueden encontrar muchos ejemplos de fractales como la red vascular o la red neuronal. Del cuerpo sanguineo salen vasos menores, de estos, otros mas pequeños hasta llegar a los capilares Ademas el cerebro es un ejemplode fractal Mientras investigaba encontré lo que se le denomina como Vrius fractal Seria principales aplicaciones de los fractales en la medicina se obtiene con los llamados virus fractales; hoy día se realizan estudios sobre algunos tumores que crecen y se ramifican con una forma fractal. MUSICA La musica y la matematica siempre tuvieron una cercana relacion. Desde pitagoras se sabe que la armonia de tono esta intimamente vinculada a la frecuencia neuronal. Ciertas musicas incluyendo Bach, Beethoven y Mozart cumplen con las propiedades fractales. Ademas actualmente existen varios softwares que tratan de crear música en base a esta teoría de fractales.

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