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1 Inhalt 2

Was ist ein Modell?..........................................................................................................1

3

Mathematisches Modell...................................................................................................1 3.1

Lösungsverfahren in Schritten..................................................................................1

3.1.1

Konstruieren / Verstehen................................................................................................1

3.1.2

Vereinfachen / Strukturieren..........................................................................................2

3.1.3

Mathematisieren............................................................................................................2

3.1.4

Mathematisch arbeiten..................................................................................................2

3.1.5

Interpretieren.................................................................................................................2

3.1.6

Validieren........................................................................................................................2

3.1.7

Darlegen / Erklären.........................................................................................................3

4

Allgemeines Beispiel zur Einführung................................................................................3

5

Arten mathematischer Modelle und Beispiele..................................................................5 5.1.1

Dynamische Modelle......................................................................................................5

5.1.2

Statische Modelle...........................................................................................................6

5.1.3

Stochastische Modelle....................................................................................................6

6

Selbst entworfene Modellierungsaufgabe........................................................................7

7

Lösungsvorschläge.......................................................................................................... 8

8

Literaturverzeichnis........................................................................................................ 10 8.1

Informationsquellen.................................................................................................10

8.2

Direktquellen:.......................................................................................................... 10

2 Was ist ein Modell?1 Das Wort Modell stammt aus dem lateinischen („modulus“) und bedeutet übersetzt: Maßstab oder auch Maß. Es steht für die Nachbildung, also sowohl die Darstellung, die Wiedergabe und Reproduktion eines bestimmten Sachverhalts oder Gegenstandes. Ein Modell zielt immer auf bestimmte Aspekte eines Sachverhaltes oder Gegenstandes ab und stellt somit meist nur bestimmte, (vom Modellierendem) als wichtig empfundenen Aspekte dar. Somit könnte man auch sagen, dass es ein vereinfachtes Abbild der Realität ist. Des Weiteren ist ein Modell immer auf einen bestimmten Zweck oder auch ein bestimmtes Ziel ausgerichtet. Wie das Modell später aussieht ist also auch immer davon abhängig, was mit dem Modell erreicht werden soll oder wem es zur Erklärung gezeigt werden soll. (z.B. ein 5-jähriger wird das Bohrsche Modell eines Atoms in seiner Ausführlichkeit noch nicht verstehen) Modelle gewannen vor allem seit der Zeit der Entdeckung von Atomen an Wert, da sie das beste Beispiel dafür sind, dass manchmal nicht die komplette Realität abgebildet und erklärt werden kann, sondern Modelle diesen Part übernehmen müssen. Es werden also Modelle gebildet, um verstehen zu können was in der Realität wirklich passiert. Sie helfen beim Erklären und Vereinfachen von Problemstellungen, Erkenntnisständen und Sachverhalten. Ohne sie wären wir vielleicht heute niemals soweit wir es heute tatsächlich sind. "Nachbildungen sind leichter zur Hand als die Erfahrung selbst und können dieselbe in mancher Beziehung vertreten."2– Mach, Naturwissenschaftler

3 Mathematisches Modell Ein Mathematisches Modell dient dazu eine Realsituation mit der Hilfe von Mathematik zu verstehen, zu strukturieren, zu deuten und zu lösen.

3.1 Lösungsverfahren in Schritten3 3.1.1 Konstruieren / Verstehen Die Realsituation wird analysiert, verstanden und auf ein Situationsmodell übertragen. versch. Schritte: 1 Informationsquellen: vgl.: http://www.math.uni-hamburg.de/home/struckmeier/modsim10/Kap1.pdf, 5.01.2017, 18:02; vgl.: http://www.matha.rwth-aachen.de/de/modellierung/projekt/gotzen.pdf ,5.01.2017, 18:09 2 http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/chemie/medik/modell/mod1.html, 5.01.2017, 18:50 3 vgl.: https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Modell, 6.01.2017, 12:11 vgl.: http://fb04267.mathematik.tudarmstadt.de/amu_stud_website/blackjack/Projekt/Hilfesystem/Modellieren.html, 6.01.2017, 13:06

1

-

Text lesen und wichtigste Informationen herausfiltern , die Aufgabe verstehen

-

Situation vorstellen, das Problem erkennen

3.1.2 Vereinfachen / Strukturieren Das Situationsmodell wird vereinfacht, strukturiert und auf das Wichtigste reduziert. Dadurch entsteht ein sogenanntes Reales Modell oder auch reales Problem versch. Schritte: -

wichtige Informationen von unwichtigen trennen, genau auf das Problem hinarbeiten

-

eigenes Wissen sammeln: was kann ich? wie kann das Problem gelöst werden? Welche Zusammenhänge sehe ich? Habe ich so etwas schon einmal gemacht? Wie viel Zeit habe ich?

3.1.3 Mathematisieren Nun folgt die Umwandlung eines realen Modells zu einem Mathematischen Modell, dadurch dass man sich für die mathematische Lösungsmethode entscheidet. versch. Schritte: -

Realmodell mathematisieren, sich für einen mathematischen Lösungsansatz entscheiden. Was brauche ich um zur Lösung zu kommen?

-

Formeln aufstellen

3.1.4 Mathematisch arbeiten Nun wird das Mathematische Problem ausgerechnet, berechnet und es folgt daraus ein mathematisches Resultat versch. Schritte: -

Mathematische Werkzeuge benutzen (Taschenrechner, Computer)

-

Je nach dem unterschiedliche Möglichkeiten der Auswertung anwenden

3.1.5 Interpretieren Im nächsten Schritt wird das mathematische Resultat interpretiert und auf ein reales Resultat übersetzt versch. Schritte: -

Einheiten mit berücksichtigen

-

Fehler erkennen und beheben

3.1.6 Validieren Nun wird dieses reale Resultat validiert, dass bedeutet auf Richtigkeit überprüft, dadurch dass es auf das vorige Situationsmodell übertragen wird. Gelingt dies, kommt der Modellierungskreislauf zu seinem letzten Schritt: versch. Schritte: 2

-

Überprüfen der Ergebnisse, habe ich das Problem gelöst?

-

Reflexion: Was hätte ich besser machen können? Wie hätte ich schneller zur Lösung gelangen können?

3.1.7 Darlegen / Erklären Das reale Resultat, also die Lösung für die Realsituation wird übertragen und angewendet auf diese. versch. Schritte -

Antwortsatz formulieren

-

Ergebnis klar hervorheben

Der Modellierungskreislauf nach Blum:4

Reale Welt

Mathematik

4 Allgemeines Beispiel zur Einführung Die Vorderseite dieses Hauses soll Gelb gestrichen werden. Wenn 12 Liter Farbe 24,95 € kosten, mit wie viel Farbkosten ist dann zu rechnen? (pro 60 Quadratmeter werden ca. 10 L Farbe benötigt) Wichtige Zusatzinformationen: Die Fensterbreite beträgt ¼ der Flächenbreite (12 m), die Fensterhöhe beträgt 2,50m und macht 5/16 von der Haushöhe aus 1. Schritt: Verstehen Was muss ich alles dazu berechnen? - Wandgröße, Fenstergröße, Literpreis, Fenstergröße von der Wandgröße abziehen 4 5

3

Wichtige Informationen: - 24,95 €/12 L, 10 L pro 60 Quadratmeter, Fensterbreite: ¼ x 12m, Fensterhöhe: 2,50 m, Haushöhe: 2,50m x 16/5, Hausbreite: 12m Was muss ich nicht streichen? - die 4 Fenster

Situationsmodell

2. Schritt: Vereinfachen/ Strukturieren Literfarbe:

24,95€ / 12l

= 2,08 € /1L

Liter pro Quadratmeter:

10L / 60m²

= 0,17 l/m²

Haushöhe:

2,50m x 16/5 = 8m

Fensterbreite:

12m x ¼

= 3m

Realmodell

3. Schritt: Mathematisieren Was brauche ich für besondere Formeln? – Flächeninhalt eines Quadrats: A = a · b 4. Schritt: Mathematisch arbeiten 1. Ber. Flächeninhalt Fenster 4

A=2,50m×3m A=7,5m ² 2. Ber. Flächeninhalt Wand

A=8m×12m A=96m² 3. Ber. Fläche die gestrichen wird

A ( gestrichen)=96 m ²- (7,5m² ×4 ) A ( gestrichen)=66 m ² 4. Ber. benötigte Liter an Farbe

66 m ²×0,17L/m²=11,22 L 5. Ber. Farbpreis

11,22 L×2,08 €=23 ,34 € 5. Schritt: Interpretieren Der Preis für die benötigte Farbe müsste bei ca. 23,34 € liegen 6. Schritt: Validieren Kontrollmöglichkeiten wie z.B. das„zurückrechnen“: z.B. Ber. Liter: Ber. L/m²:

23 , 34 €/ 2 , 08 €/ L=11 , 22 L

11,22 L/ 66 m ² = 0,17 L/m²

oder auch usw.

 Das Problem wurde gelöst und die Antwort ist korrekt 7. Schritt: Darlegen/Erklären A: Die Hausbesitzer sollten mit den Farbkosten von ca. 23,34€ rechnen. Je nachdem gibt es aber nicht immer die passende Farbeimergröße, womit auch höhere Kosten auf sie zukommen könnten, da sie evtl. mehr Farbe kaufen müssen, als sie benötigen.

5 Arten mathematischer Modelle und Beispiele6 5.1.1 Dynamische Modelle Dynamische Modelle beziehen sich darauf wie ein „System“ darauf reagiert, wenn sich sogenannte „äußere“ Beziehungen verändern. Sie werden nicht nur in vielen Bereichen der Mathematik(z.B. Zahlentheorie), sondern auch in weiten Teilen der Physik(z.B. Klimamodelle) angewendet. Man unterscheidet hier zwischen zeitlich kontinuierlichen Modellen, zeitlich diskreten Modellen, räumlich kontinuierlichen Modellen und die Methodik der Stochastik. 6

5

5.1.1.1 zeitlich kontinuierliche Modelle Sie versuchen die Reaktionen des „Systems“ auf die Veränderungen äußerer Beziehungen und Zusammenhänge über einen kontinuierlichen Zeitraum zu erklären. Die wichtigsten Bestandteile einer solchen Modellierung sind die Differentialgleichungen und die Integration. Ein Beispiel dafür wäre die Temperatur. Zu jedem beliebigen Zeitpunkt ist es durch diese Art des Modells möglich eine Änderungstendenz zu berechnen. 5.1.1.2 zeitlich diskrete Modelle Diese Art von Modell versucht Prozesse zu erklären, die sich nicht kontinuierlich beschreiben lassen können. Dieses Modell beschäftigt sich damit was zwischen den gemessenen Abständen oder auch Intervallen geschieht, also zwischen den zeitlich nicht diskreten Abständen. Die wichtigsten Bestandteile dieser Methode sind die Zeitreihenanalysen und auch die Differenzengleichung. Ein Beispiel dafür wären Messungen die nicht kontinuierlich gemacht wurden. Mit dieser Art der Modellierung wäre es möglich die fehlenden Messungen nachzubilden. 5.1.1.3 räumlich kontinuierliche Modelle Diese Art von Modellierung wird dann angewandt, wenn nicht nur zu beachten ist wie das zeitliche Ausmaß eines Prozesses ist, sondern auch das räumliche Ausmaß. Der wichtigste Bestandteil dieser Methode ist die sogenannte partielle Differentialgleichung Ein Beispiel dafür wäre wenn man während einer chemischen Reaktion im Gefäßglas ausrechnen möchte zu welchem Zeitpunkt die gewünschte Temperatur erreicht wird.

5.1.2 Statische Modelle Diese Modelle befassen sich zusätzlich damit, das System vor und nach einem Prozess oder einer Veränderung zu betrachten, jedoch aber nicht währenddessen. Ein Beispiel dafür wäre die Berechnung der Mischtemperatur von zwei verschieden kalten Flüssigkeiten.

5.1.3 Stochastische Modelle Da sich nicht alle Reaktionen eines Systems vorhersagen lassen wurde diese Methode entwickelt. Der wichtigste Bestandteil eines solchen Modells ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ein klassisches Beispiel dafür ist der Isotopenzerfall, da man zwar vorhersagen kann, dass über einen gewissen Zeitraum Isotope zerfallen werden, man aber nicht die genaue Anzahl kennt. Mit der stochastischen Modellierung kann man diese Anzahl zwar nicht punktgenau, aber realitätsnah berechnen. 6

6 Selbst entworfene Modellierungsaufgabe 7

Aufgabenstellung: Aufgabenstellung: 1) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung 2) Berechnen Sie die Höhe des Bogens bei x=5 3) Berechnen Sie die Höhe des Bogens bei f(20) 4) Die Brücke war einst 900 m lang. Wie viele Bögen hatte sie demnach?

7

7

7 Lösungsvorschläge 1) Bestimmen sie die Funktionsgleichung

8

2) Berechnen sie die Höhe des Bogens bei x=5 1. Schritt: einsetzen des x= 5 2. Schritt: ausrechnen 3. Schritt: runden 4. Schritt: Antwortsatz formulieren

8 x ²+14 f (x )=− 175 f ( x )=−

8 ⋅5² + 14 175

8 f (x )=− +14 7 90 f (x )= ≈12 , 86m 7 A: Bei x=5 ist der Brückenbogen ca. 12,86 m hoch. 3) Berechnen sie die Höhe des Bogens bei f(20) 1. Schritt: einsetzen des f(20) -> x=20 2. Schritt: ausrechnen 3. Schritt: runden 4. Schritt: Antwortsatz formulieren

f (x )=−

8 ⋅20 ²+14 175

128 f (x )=− +14 7 f (x )=−

30 ≈−4 , 29 m→ 4 , 29 m 7

A: An der Stelle f(20) ist der Brückenbogen 4,29 m hoch. 4) Die Brücke war einst 900 m lange. Wie viele Bögen hatte sie demnach? 1. Schritt: ein Brückenabschnitt (35m) mit der Breite der Stützen (8m) addieren (Abschnittlänge) 2. Schritt: die Gesamtlänge mit der Abschnittlänge dividieren 3. Schritt: runden 4. Schritt: Antwortsatz formulieren 9

Abschnittlänge :8 + 35= 43 900 :43=20 , 93≈ 21 A: Die Pont d’Avignon hatte einst mit einer Gesamtlänge von 900m 21 Bögen.  in Wirklichkeit sind es 22, wenn man aber in der Rechnung davon ausgeht, dass alle Bögen gleich symmetrisch sind, ergibt es diese Zahl.

10...