Graficas-Matlab - Resuemenes Matlab PDF

Preview

Summary

Resuemenes Matlab...

Description

3 3.1

Gráficos de funciones definidas por una fórmula

Introducción

Uno de los mayores atractivos de MATLAB es su facilidad para crear gráficas. Como primera aproximación, vemos aquí una serie de funciones «fáciles de usar» para crear: 1.5

1

30 1

0.5

25

0

20

0.5

−0.5

15 0

−1

10 −1.5

−0.5

5 −2

0 1

−2.5

−1 6

0.5

4

1

−3

6 2

0.5

0

4 2

0

0 −3.5 −2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

−0.5 −1

Figura 3.1: Gráficas de curvas planas

3.2 3.2.1

0

−2 −2

−4

−0.5

−4 −6

−1

v

Figura 3.2: Gráficas de curvas

−6 u

Figura 3.3: Gráficas de super-

ficies

en el espacio

Curvas planas Gráficas de funciones de una variable

La relación y = f (x),

x ∈ [a, b]

donde f : [a, b] 7→ R es una función continua de una variable real, se puede representar gráficamente mediante una curva plana. Cuando una curva viene definida por una relación de este tipo (con la variable dependiente «despejada») se dice que está definida de forma explícita. Por ejemplo y = cos(x). Para dibujar una curva definida por una relación de la forma y = f (x) donde f : [a, b] 7→ R es una función de una variable real dada por una expresión analítica, se puede usar la función ezplot de MATLAB, en alguna de estas versiones: ezplot(f) ezplot(f,[a,b])

1

3. Gráficos de funciones definidas por una fórmula

2

f es la función a representar y puede ser especificada como sigue: ’expresion’ mediante una cadena de caracteres, delimitada por apóstrofes, conteniendo la expresión de la función. Ejemplo: ezplot(’sin(x)’). nombre mediante un «handle» (manejador) de una función, que, a su vez, puede ser anónima o una M-función (véase Tema 2). [a, b] (opcional) es el intervalo que recorre la variable independiente. Ejemplo: ezplot(’sin(x)’,[pi,2*pi]). Si no se especifica el intervalo, la función se representa en el intervalo [−2π, 2π].

Práctica 1 Representar, usando ezplot, la gráfica de la función f (x) =

x sen(x2 ) 2

en [−2π, 2π]

Por defecto, la función ezplot hace variar la variable independiente en el intervalo [−2π, 2π]. Por lo tanto, basta escribir en la línea de comandos ezplot('sin(x^2)*x/2') 3

2

1

0

−1

−2

−3

−6

−4

−2

0 x

2

4

6

Práctica 2 Representar, usando ezplot, la gráfica de la función f (x) = ln(x)

La función f (x) = ln(x) no está definida para valores de x ≤ 0. La función ezplot se limitará a dibujar la función en la parte del intervalo [−2π, 2π] en el que sí está definida: x ∈ (0, 2π]. Escribe, en la línea de comandos ezplot('log(x)') 2

1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

−1.5

−2 0

1

2

3

4

5

6

x

Programación Científica - Grado en Física

Dpto. EDAN - Universidad de Sevilla

3. Gráficos de funciones definidas por una fórmula

3

Práctica 3 (Propuesta) Representar, usando ezplot, la gráfica de la función f (x) =

√

1 − x2

Práctica 4 Representar, usando ezplot, la gráfica de la función f (x) =

x sen(x2 ) 2

para x ∈ [0, π]

1. Como ejercicio, vamos a escribir un script para hacer esta práctica, y vamos a definir la función como una función anónima. Crea un fichero de nombre practica4.m que va a contener las órdenes para hacer el dibujo: edit practica4.m (o bien File –> New –> Script y luego File –> Save as –> practica4.m) 2. Dentro del script, define una función anónima f=@(x) x*sin(x^2)/2; 3. Como el intervalo para representar la función es [0, π], escribimos, también en el script, ezplot(f,[0,pi]) 4. Salva y cierra el fichero. En la línea de comandos de MATLAB, escribe practica4 1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

3.2.2

Curvas definidas implícitamente

Una relación del tipo f (x, y) = 0 Programación Científica - Grado en Física

Dpto. EDAN - Universidad de Sevilla

3. Gráficos de funciones definidas por una fórmula

4

también puede definir una curva: la formada por los puntos (x, y) del plano sobre los cuales la función f toma el valor cero. Cuando una curva viene definida de esta manera se dice que viene definida de forma implícita. Por ejemplo, la ecuación x2 + y 2 = 4 define una circunferencia de centro el origen y radio 2. La misma función ezplot sirve para dibujar una curva así definida, usada en alguna de estas formas: ezplot(f) ezplot(f,[a,b]) ezplot(f,[a,b,c,d])

f es la función (de dos variables) que describe la ecuación, y puede ser especificada como sigue: ’expresion’ mediante una cadena de caracteres, delimitada por apóstrofes, conteniendo la expresión de la función de dos variables. Ejemplo: ezplot('x^2+y^2-4'). nombre mediante un «handle» (manejador) de una función de dos variables (de nuevo, anónima o M-función) (véase Tema 2). [a,b] (opcional) la curva se dibuja en el cuadrado del plano [a, b] × [a, b]. Si no se especifica, ezplot usa por defecto [a, b] = [−2π, 2π]. [a,b,c,d] (opcional) la curva se dibuja en el rectángulo del plano [a, b] × [c, d]. Práctica 5 Dibujar, usando ezplot, la circunferencia x2 + y 2 = 7

1. Se trata de una curva definida en forma implícita. Lo primero es escribir la ecuación en forma homogénea, es decir, con segundo miembro cero: x2 + y 2 − 7 = 0. De lo que se trata es de dibujar la curva formada por los puntos del plano sobre los cuales la función de dos variables f (x) = x2 + y 2 − 7 toma el valor 0. Para ello basta con escribir en la línea de comandos ezplot('x^2+y^2-7') 6

4

y

2

0

−2

−4

−6 −6

Programación Científica - Grado en Física

−4

−2

0 x

2

4

6

Dpto. EDAN - Universidad de Sevilla

3. Gráficos de funciones definidas por una fórmula

5

2. Utilizando una función anónima, hubiéramos tenido que definir la función de dos variables f (x, y) = x2 + y 2 − 7, y luego usar ezplot func = @(x,y) x^2+y^2-7 ezplot(f) Aunque también sería válido escribir: ezplot(@(x,y) x^2+y^2-7)

Práctica 6 (Propuesta) Escribir un script que dibuje la curva implícitamente definida por la ecuación x2 cosh(y) = 7y + 5 para x ∈ [−10, 10], y ∈ [−5, 15] utilizando para ello una función anónima.

3.2.3

Curvas definidas por ecuaciones paramétricas

Otra forma de definir una curva plana es mediante sus ecuaciones paramétricas: los puntos (x, y) que forman la curva vienen dados por dos funciones que dependen de una variable auxiliar, llamada parámetro: x = f (t),

y = g(t),

t ∈ [a, b],

t es el parámetro de la curva.

Para cada valor del parámetro t se obtiene un punto de la curva. Por ejemplo, las ecuaciones x = a + r cos(t),

y = b + r sen(t),

t ∈ [0, 2π]

describen una circunferencia de centro (a, b) y radio r: para cada valor de t se obtiene un punto de la circunferencia; cuando t recorre el intervalo [0, π] se obtiene la parte de arriba de la circunferencia, mientras que cuando recorre [π, 2π], se obtiene la parte de abajo. Mediante ecuaciones paramétricas es posible describir muchas más curvas y más complicadas que mediante una ecuación explícita. Algunas serían prácticamente imposibles de visualizar sin la ayuda de herramientas gráficas informáticas (véase Práctica 8). Las curvas definidas de esta forma se pueden dibujar también con la función ezplot, en la forma siguiente: ezplot(x,y) ezplot(x,y,[a,b])

x,y son las dos funciones que definen la curva. Pueden ser especificadas, como antes, mediante sus expresiones o mediantes manejadores. Programación Científica - Grado en Física

Dpto. EDAN - Universidad de Sevilla

3. Gráficos de funciones definidas por una fórmula

6

[a,b] (opcional) es el intervalo en el que varía el parámetro de la curva, t. Si no se especifica, ezplot usa por defecto [a, b] = [0, 2π].

Práctica 7 Dibujar, usando ezplot, la curva definida por las ecuaciones (paramétricas) x(t) = sen(3t),

y(t) = cos(t) para t ∈ [0, 2π]

1. Escribiendo directamente en la línea de comandos ezplot('sin(3*t)','cos(t)') Se obtendrá la figura de la izquierda. Si t recorriera sólo el intervalo [0, π] se obtendría la figura de la derecha. 1

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

y

y

1

0.8

0

−0.2

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

−1

−0.5

0 x

0.5

1

−1

−1

−0.5

0 x

0.5

1

2. Otra forma de hacerlo, usando funciones anónimas sería: funx = @(t) sin(3*t) funy = @(t) cos(t) ezplot(funx,funy)

Práctica 8 (Propuesta) Escribir un script que dibuje, usando ezplot y funciones anónimas, la curva definida por las ecuaciones:  x(t) = cos(t) + 1/2 cos(7t) + 1/3 sen(17t) , para t ∈ [0, 2π ] y(t) = sen(t) + 1/2 sen(7t) + 1/3 cos(17t)

3.2.4

Curvas en coordenadas polares

Recordemos que en el sistema de coordenadas polares la posición de un punto P queda definida por dos cantidades: r, que es la distancia de P a un punto fijo, O, llamado polo (o también origen de coordenadas) y Programación Científica - Grado en Física

Dpto. EDAN - Universidad de Sevilla

3. Gráficos de funciones definidas por una fórmula

7

θ, que es el ángulo que forma el segmento OP con una semirrecta fija de origen O denominada eje polar. Esta semirrecta coincide, normalmente, con la parte positiva del eje OX. En tal sistema de coordenadas, al par (r, θ) se le denomina coordenadas polares del punto P (ver Figura 3.4).

Figura 3.4: Sistema de coordenadas polares.

Figura 3.5: Coordenadas cartesianas y polares.

Una relación del tipo r = f (θ),

θ ∈ [a, b]

define de forma explícita una curva en coordenadas polares: θ es la variable independiente y r es la variable dependiente. Por ejemplo r = 3 (constante) es la ecuación de una circunferencia de centro el origen y radio 3. MATLAB dispone de la función ezpolar para dibujar curvas en coordenadas polares. Su uso es análogo a la función ezplot: ezpolar(f) ezpolar(f,[a,b])

f es la función a representar f = f (θ). Se especifica en las formas habituales. [a, b] (opcional) son los límites del intervalo en el que varía θ, es decir donde varía el ángulo. Si no se especifica, ezpolar toma por defecto [a, b] = [0, 2π].

Práctica 9 Representar, usando ezpolar, la gráfica de la siguiente función definida en coordenadas polares r = sen(2θ ) cos(3θ ), para θ ∈ [0, π]

Programación Científica - Grado en Física

Dpto. EDAN - Universidad de Sevilla

3. Gráficos de funciones definidas por una fórmula

8

ezpolar('sin(2*t)*cos(3*t)',[0,pi]) 90 1 60

120 0.8 0.6 150

30 0.4 0.2

180

0

210

330

240

300 270 r = sin(2 t) cos(3 t)

Práctica 10 (Propuesta) Representar usando ezpolar la gráfica de la siguiente función definida en coordenadas polares r = 2 sen(6θ),

3.2.5

para θ ∈ [0, 2π]

Sobre los nombres de las variables independientes

Se observa que las variables de la expresión de las funciones no tienen que llamarse necesariamente t, x, y o θ. Se puede utilizar cualquier nombre válido de variable. Por ejemplo, el comando ezpolar('nombre*sin(nombre)') dibujará la función r = θ sen(θ) en coordenadas polares. El mismo resultado se obtendría con func = @(nombre) nombre*sin(nombre); ezpolar(func) Por otra parte, cuando se trata de una función de dos variables, y si no se especifica el orden, MATLAB tomará como primer argumento la primera en orden alfabético y como segundo, la segunda. Como ejemplo, compruébese cómo las dos órdenes siguientes producen resultados distintos: ezplot('1+v/(sin(a)+2)') ezplot('1+v/(sin(w)+2)') Esto no sucede si se utilizan funciones anónimas, ya que se indica expresamente el orden de las variables. Programación Científica - Grado en Física

Dpto. EDAN - Universidad de Sevilla

3. Gráficos de funciones definidas por una fórmula

3.3

9

Curvas en tres dimensiones

La forma más sencilla de describir matemáticamente una curva tridimensional es mediante sus ecuaciones paramétricas. Estas ecuaciones describen los valores de las coordenadas (x, y, z) de cada punto de la curva en función de un parámetro:   x = f (t) y = g(t)  z = h(t)

para t ∈ [a, b]

En MATLAB se puede usar la función ezplot3 para dibujar tales curvas ezplot3(x,y,z) ezplot3(x,y,z,[a,b])

x,y,z son las expresiones de las tres funciones dependientes de t. Se proporcionan en cualquiera de las formas habituales [a, b] es el intervalo donde varía el parámetro t. Si no se especifican, ezplot3 toma por defecto [a, b] = [0, 2π].

Práctica 11 Dibujar, usando ezplot3, la siguiente curva tridimensional: √ x = 3 cos(t), y = t sen(t2 ), z = t, t ∈ [0, 2π]

ezplot3('3*cos(t)','t*sin(t^2)','sqrt(t)')

3 2.5

z

2

1.5 1 0.5 0 10 3

5 1

0

−10

2

0

−1

−5 y

−2 −3

x

Práctica 12 (Propuesta) Dibujar, usando ezplot3, la siguiente curva: x = cos(t),

Programación Científica - Grado en Física

y = sen(t),

z = t,

t ∈ [0, 8π]

Dpto. EDAN - Universidad de Sevilla

3. Gráficos de funciones definidas por una fórmula

3.4

10

Varias curvas en un mismo cuadro: hold on

En MATLAB cada vez que se dibuja una nueva gráfica se «borra» la anterior. Si se quieren superponer, se usa el comando hold on del modo siguiente: comando-de-dibujo-1 hold on comando(s)-de-dibujo . . . hold off hold on hace que no se borre la gráfica ya existente, de forma que se puede seguir dibujando encima hold off anula el efecto de hold on

Práctica 13 Escribir un script para dibujar, en la misma ventana, la gráfica de la función x sen(x2 ) en el intervalo [−4, 4], junto con los ejes de coordenadas. y= 2 1. Crea un fichero de nombre practica13.m. 2. Dibuja la gráfica de la función y a continuación usa la orden hold on para poder seguir dibujando encima ezplot('sin(x^2)*x/2',[-4,4]) hold on 3. El eje de abscisas es fácil de dibujar: es la recta de ecuación y = 0. Dibújalo en el mismo intervalo que la curva: ezplot('0',[-4,4]) 4. El eje de ordenadas no es la gráfica de ninguna función f : [a, b] → R. Se puede dibujar, por ejemplo, como la curva implícitamente definida por f (x, y) ≡ x = 0: ezplot(@(x,y) x,[-4,4]) Piensa en formas alternativas de dibujar el eje OY . 5. No olvides usar al final la orden hold off 2

1.5

1

y

0.5

0

−0.5

−1

−1.5

−2 −4

Programación Científica - Grado en Física

−3

−2

−1

0 x

1

2

3

4

Dpto. EDAN - Universidad de Sevilla

3. Gráficos de funciones definidas por una fórmula

11

Práctica 14 (Propuesta) Escribir un script para dibujar, en la misma ventana, las gráficas de las funciones y = f (x) e y = g(x) junto con los ejes de coordenadas, siendo f (x) = cos(x),

3.5

g(x) = x sen(x),

x ∈ [−10, 10]

Varios cuadros en la misma ventana: subplot

La función subplot permite dividir la ventana gráfica en varias subventanas o cuadros y dibujar por separado en cada una de ellas. La orden subplot(m,n,k) crea una «matriz» de m x n cuadros y se dispone a dibujar en el k- ésimo: m número de filas n número de columnas k la ventana activa Los cuadros se numeran de izquierda a derecha comenzando por la fila de más arriba.

Práctica 15 Representar, usando subplot, las siguientes funciones: x f (x) = , 2

g(x) = sen(3x),

h(x) = x2 ,

p(x) = cos(x/2)

1. Vamos a escribir las órdenes para esta práctica en un script. Crea un fichero de nombre practica15.m. 2. Divide la ventana gráfica en 4 cuadros (creando una «matriz» 2 × 2), activa el primero y dibuja en él la función f : subplot(2,2,1) ezplot('x/2',[0,4]) 3. Activa la segunda ventana gráfica y dibuja en ella la gráfica de la función y = g(x) subplot(2,2,2) ezplot('sin(3*x)') 4. Procede de forma análoga para dibujar las gráfica restantes

Programación Científica - Grado en Física

Dpto. EDAN - Universidad de Sevilla

3. Gráficos de funciones definidas por una fórmula

12

subplot(2,2,3) ezplot('x^2',[0,4]) subplot(2,2,4) ezplot('cos(x/2)',[-1,4]) x/2

sin(3 x)

2

1

1.5

0.5

1

0

0.5

−0.5

0 0

−1 1

2 x

3

4

−5

0 x

x2 1

15

10

0.5

5

0

0 0

5

cos(x/2)

1

2 x

3

4

−0.5 −1

0

1

2

3

4

x

Práctica 16 (Propuesta) Representar, usando subplot, las siguientes funciones, en dos cuadros distintos: f (x) =

3.6 dos

1 , x ∈ [−10, 10], x

g(x) = x2 , x ∈ [−5, 5]

Modificación del aspecto de una gráfica con coman-

• Una vez hecha la gráfica se pueden modificar los ejes con el comando axis axis([xmin, xmax, ymin, ymax])

xmin,xmax establece los límites inferior y superior para las abscisas ymin,ymax establece los límites inferior y superior para las ordenadas La gráfica se muestra en el rectángulo [xmin,xmax]×[ymin,ymax]. • Los siguientes comandos activan y desactivan los ejes de coordenadas: axis on axis off • Los mismos factores de escala se consiguen con Programación Científica - Grado en Física

Dpto. EDAN - Universidad de Sevilla

3. Gráficos de funciones definidas por una fórmula

13

axis equal

• La escala por defecto se establece con axis auto
<...