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Guía de Matemática Racionalización de Denominadores

INTRUDUCCIÓN

3 1 a 5 , , , 3 …, tienen en común que sus denominadores son irracionales 2 2 3 2x 2 o al menos aparecen en ellos alguna raíz. La operatoria con tales expresiones no es sencilla y resulta muy práctico transformar los denominadores en expresiones racionales. En otras palabras, se trata de ‘’hacer que desaparezcan’’ las raíces que hayan en el denominador. El procedimiento a emplear consiste en amplificar por un factor adecuado. Es decir, se multiplica el numerador y el denominador por una misma cantidad, con lo cual la expresión original no cambia. Expresiones como

A

I. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA:

a 2 ¿Cómo racionalizar la fracción ? En los casos como éste, el factor adecuado para amplificar es la raíz 3 que aparece en el denominador, o sea 3 .

Ejemplo:

2 3



2 3 2 3 2 3   3 3 3 3²

Se puede observar que el denominador original 3 (irracional) se ha transformado en 3 (racional). Además si bien la expresión inicial ha cambiado su ‘’forma’’, sigue siendo la misma, ya que al amplificar una fracción su valor no se altera.

 

( se amplifica por

3)

2 2 3  3 3

Por lo tanto Denominador Irracional

Denominador Racional

En general, cuando el denominador es una raíz cuadrada, ella misma es el factor de amplificación. I. Ejercicios: Racionaliza los denominadores. (Desarrolla en tu cuaderno) 5 2 3 2. 5 1 3. 2 1 4. 3

1.

5. 

 

 

3  7

3  2 3 5  7. 2 3 12  8.  6 21x  9. 7 2ab  10. 6a

6.

11. 12. 13. 14. 15.

II. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA: Para racionalizar, por ejemplo, la fracción que el radicando sea 2³

16.

18. 19.

3

2



2

2 3 2  5

A n

a

3 es necesario amplificar por 2

3

a b  ab 1 2  17. 3

15mx  2 5m 20 a² b  10 a 2a  2 ax 5ax  5x 1  3mx

3

2² , por lo cual se consigue

3 3 3 2² 33 4 33 4    3 3 2 3 2 3 2² 3 2 2² 2³

Ejemplo:

En general, si en el denominador aparece

n

a k es

necesario amplificar por n a n  k con el objeto de igualar el índice de la raíz con el exponente del radicando.

33 4  2

II. Ejercicios: Racionaliza los denominadores. (En tu cuaderno)

3  5 4  2. 3 5 3 1.

3.

3

3  m² 4ab  3 ab 5m  4 2 2m 3a ²  4 2a 3x  5 x²

5.

3

6.

m  a

7.

2x  4. 3 2a

2a  a³ 3a  11. 5 2a ² 10  12. 6 3 2 10.

3

8. 9.

14.

5

2 3a  3 3a

18.

1 2  15. 25 2

16.

3 a  13. 3 a

17.

a2  4 a³ 2 x 5

y



a b b a  4 a ³b³

19.

m 5  m3 5

20.

x  a  ax 5 x ³

21.

a b  b 4 ab

xy

A

III. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA:

 a b Si el denominador es un binomio, se amplifica la fracción por su conjugado. Si se trata, por ejemplo, de 3  2 se amplifica por 3  2 . La idea es formar el producto de la suma por la diferencia que es igual a la diferencia de los cuadrados, con lo cual se consigue eliminar las raíces. 3

Ejemplo

3 2



 2 

3



3

  3 3  3 2 3 2  3 ²   2 ²

3

2

3

33 2 3 33 2 3 3  3 2  3 2 1

III. Ejercicios: Racionaliza los denominadores 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

2  5 2 7  5 3 10  7 2 12  7 5 3  3 2 2  6 2 3 2

7

12.

14. 15. 16.

7 10

3 2 3 2

3

3 2  5 2 3 2 3 2



7 3 2 2 3

3

1

5



2

5

 3

18.

3 1  3 6 2 3

19. 



3 2 2 3

6  2  2 3 2



10  3

20.

17. 

2



5 2 2

13.



11  2 5 2

9

11.

3 2 5 2 1



2 3 3 3 1

...