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Gusci: teoria di Coates

Corso di Costruzione di macchine Corso di laurea magistrale in Ingegneria meccanica Antonio Gugliotta

Gusci: teoria di Coates Stato di tensione in corrispondenza della giunzione tra mantello cilindrico e testa (fondo piatto, sferico, ellittico, torosferico) Teoria di Coates (1930): “The state of stress in full heads of pressure vessels”, ASME Transactions, 1930, pp. 190-204

Costruzione di macchine – Gusci: teoria di Coates - v 2.0 - Antonio Gugliotta

2

Gusci: teoria di Coates Ipotesi iniziale: il guscio non offre resistenza alla flessione, si considera solo lo stato membranale. Calcolare tensioni e spostamenti (solo componente membranale) in ciascun punto del guscio, (considerati separati) soggetto a pressione interna p A causa della differenza di spostamenti in prossimità della giunzione tra mantello e fondo, si ha un comportamento flessionale. Si ha così un effetto “locale” flessionale (con forze di taglio e momento flettente uniformemente distribuiti sul bordo, sia del mantello sia del fondo) L’effetto totale si ha sovrapponendo i due stati di sollecitazione, membranale e flessionale.

3

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Coates: parte membranale Per un guscio generico soggetto a pressione interna costante si ha:

nM rM

dalla (2):



nr-

p

2S rnM sinM

nM

pr 2sinM

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(1)

S r2 p

pr2

(2)

r

r- sinM 

4

Coates: parte membranale e dalla (1):

nriassumendo:

pr- n 2rM r-

p

§ r pr- ¨ 1  ¨ 2rM ©

· ¸¸ ¹

pr2

nM

nr-

§ r p¨1  ¨ 2rM ©

pr- § r · ¨¨ 2  - ¸¸ 2 © rM ¹

n-

· ¸¸ ¹

§ r · nM ¨ 2  - ¸ ¨ rM ¸¹ ©

§ r- · nM ¨ 2  ¸ ¨ rM ¸¹ © 5

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Coates: parte membranale Casi particolari: Emisfera rM nM

VM

r-

a

pa 2 nM t

npa 2t

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a nM §¨ 2  ·¸ a¹ ©

V-

nt

nM

pa 2

pa 2t

6

Coates: parte membranale Casi particolari: Cilindro rM

f r-

nM

pa 2

VM

nM t

a npa 2t

nM  2  0

V-

nt

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2nM

pa

pa t

7

Coates: parte membranale Casi particolari: Ellissoide

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8

Coates: parte membranale Casi particolari: Ellissoide

rM

kav 3

r-

kav

nM

pka v 2

n-

1 nM §¨ 2  2 ·¸ v ¹ ©

k

a b

v

1 1   k 2  1  cos 2 E

9

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Coates: parte membranale Casi particolari: Ellissoide x2 y2  2 1 2 a b o, in forma parametrica: x y dy

acos D b sinD

ds

rM dM

r

r- sin-

dx tan M dx

dy tanM dx 1 dM d2 y 2 cos2 M dx dx

ds cos M

1 dM cos3 M ds

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1 1 cos3 M rM 10

Coates: parte membranale Casi particolari: Ellissoide 1 rM

d 2y cos M 2 dx

cos M 

3

2

32

d 2y dx 2

1

 1  tan2 M 

32

d 2y dx 2

32

 1  tan M  2

rM

32

d2 y dx 2

ª § d2 y ·2 º «1  ¨ 2 ¸ » «¬ © dx ¹ »¼ d2 y dx 2

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Coates: parte membranale Casi particolari: Ellissoide a2 1 32 b§ · a2  b2 ¨ 1  b2 cos E ¸ © ¹

rM

r-

a2 1 12 b § · a 2  b2 ¨ 1  b2 cos E ¸ © ¹

quindi:

rM

kav 3

r-

kav

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k

a b

v

1 1   k 2  1 cos2 E

12

Coates: parte membranale Casi particolari: Ellissoide, E = 0° k

a rb

rM

kav

3

1

a v

1   k2  1  1

1 ka 3 k

nM

pka v 2

n-

1· § nM ¨ 2  2 ¸ v ¹ ©

a k2

pa k 2 k

b2 a 2 a

1 k

b2 a

pa 2

pa 2  k2   2 13

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Coates: parte membranale Casi particolari: Ellissoide, E = 90° a b

k

rM

r-

kav

3

1

b v

ka

nM

pka v 2

n-

1· § nM ¨ 2  2 ¸ v ¹ ©

1  k  1   0 2

1

a2 b

pa a 2 b

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pa2 2b

pa2 2b 14

Coates: parte membranale, calcolo degli spostamenti u: componente meridiana, tangente al meridiano w: componente secondo la normale alla superficie

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Coates: parte membranale, calcolo degli spostamenti Spostamento u: origine nel piano di giunzione, positivo a partire da questo piano Spostamento w: origine in corrispondenza della superficie media indeformata, positivo verso l’esterno

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Coates: parte membranale, calcolo degli spostamenti Per un componente in campo membranale soggetto a pressione interna si ha: a) emisfera:

b) cilindro

u

0

w

pa 2 1 Q  2Et

u w

pas  1  2Q  2Et pa 2 2  Q  2Et 17

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Coates: parte membranale, calcolo degli spostamenti c) Guscio ellittico:

A

u

pa2 2Et

w

pa2 2Et

k2  1 A cos E 2k ° k 2  1 ½° 2 2 A sin E  k ¬ª 2  Q  v  1¼º ¾ ® 2 k °¿ ¯°

^ª¬2k  1  2Q º¼ log k  2

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

2 2 2 k  1 sin E v  ª 1  2Q  k k  1 º v sin E ¬ ¼

`

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Coates: parte membranale, calcolo degli spostamenti Le espressioni a), b), c) derivano dalla teoria dei gusci sottili, essendo:

u

HM rM  H- rdE 0 cos E u tan E  H- r-

cos E ³

w

E

1 VM  QV-  E 1 V-  QVM  E

HM H-

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Coates: parte membranale, calcolo degli spostamenti Sostituendo:

u

u

p cos E 2Et

³

E 0

1 cos E

pk 2a 2 k  1  2 Et

^v  v  ª¬v  v 3

3

1  2Q º¼ `

dE v2

E E cos E ª ³ v 2 cos E d E  1  2Q  ³ v 4 cos E d E º «¬ 0 »¼ 0

Nel caso del cilindro E = 0°, cosE = 1, tanE = 0

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Gusci: teoria di Coates Giunzione cilindro-sfera:

in s

0 uC wC

0 uSF

0

pa2 2  Q  wSF 2 Et

pa2 1  Q  2 Et

Il cilindro si dilata più della sfera, nel rapporto

wC wSF

2 Q 1 Q

2  0.3 # 2.4 1  0.3

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Gusci: teoria di Coates Nel caso di fondo ellittico la discontinuità è ancora più grande (sempre nell’ipotesi che i gusci si comportino come membrane); dalle:

A

u

pa2 2Et

w

pa 2 2Et

k2  1 Acos E 2k ° k 2  1 ½° 2 2 ª º sin 2 1 E Q    A k v   ® ¬ ¼¾ °¯ 2k °¿

^ª¬2k   1  2Q  º¼ log k  2

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

k2  1 sin E v  ª 1  2Q  k k2  1 º v 2 sin E ¬ ¼

` 22

Gusci: teoria di Coates Al bordo E

0, k

a b, v

1k

A

ª¬2k 2  1  2Q  º¼ log  1  0

u

0

w

pa2 ª¬ 2  Q   k2 º¼ 2Et

0

Casi particolari: emisfera (k = 1): u

0

w

pa 2 1 Q  2Et 23

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Gusci: teoria di Coates Per varie configurazioni di ellisse:

k

cost b p  k n

ab a

per ellissi più piatte k si incrementa se k 2 2 Q k # 1.3 se

u

0

w

0

u

0

k ! 1.3

w0

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Gusci: teoria di Coates

Nei casi di progetto si ha normalmente k ш 2 e allora si ha contrazione per E = 0.

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Gusci: teoria di Coates Nelle giunzioni reali le discontinuità illustrate sono impedite dal fatto che i gusci “resistono” a: Forze normali alle superficie medie Momenti flettenti agenti nel piano meridiano Localmente si comportano quindi come “piastre inflesse”

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Gusci: teoria di Coates Si è visto che c’è discontinuità in corrispondenza della giunzione mantello cilindrico – fondo. Questa discontinuità esisterebbe se non fosse prevenuta da un altro sistema di carichi, oltre la p interna, sistema che può essere identificato dalle reazioni illustrate.

Qo, Mo: carichi uniformemente

distribuiti sul bordo

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Gusci: teoria di Coates Analisi degli effetti locali causati da Qo e Mo. Il guscio è considerato come una superficie capace di sopportare tensioni di flessione. Le sollecitazioni totali sono ottenute come sovrapposizione degli effetti membranali (globali) e flessionali (locali). Nel caso membranale le tensioni possono essere calcolate a partire dalle equazioni di equilibrio, visto che il problema è staticamente determinato.

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Gusci: teoria di Coates Nel caso flessionale le equazioni di equilibrio non sono sufficienti, si hanno infatti: 3 equazioni di equilibrio 5 incognite:

NM, N-, Q, MM, M-.

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) Gli effetti flessionali sono locali, quindi lo stato di tensione è determinato da Qo e Mo e non dagli effetti di bordo dell’altra estremità.

elementi della striscia cilindrica

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) Un elemento della striscia cilindrica è in equilibrio sotto l’azione di:

N-: carico circonferenziale Q:

forza di taglio nel meridiano

MM: momento flettente nel meridiano M-: momento flettente circonferenziale

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello)

Il carico che deriva dallo spostamento radiale è proporzionale allo stesso, l’elemento “striscia” si comporta cioè come una trave su “appoggio elastico”, dove l’appoggio elastico è costituito dalla parte restante del guscio. Ipotesi: la tensione è uniformemente distribuita lungo lo spessore t

V-

H-

1 NE t

Nt w a

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VM

0 N-

Etw a

w: spostamento radiale 32

Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello)

La componente radiale del carico N- ds è:

N- ds sin

d2

N- ds

d2

N- ds

ds2a 33

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) e per le due componenti: 2N- ds

ds2a

Etw dsds a a

Etw dsds2 a

proporzionale allo spostamento radiale w; la striscia si comporta come una trave inflessa su fondazione elastica (di rigidezza Et/a2)

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) Dal momento che si ha uno stato di tensione bidimensionale e che le deformazioni laterali sono impedite, E è sostituito da: Eo

E 1  X2

e l’equazione delle travi su appoggio elastico diventa: d2w ds 2



MM

D

D

Et 3 12 1  X 2  35

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) derivando:

d 3w ds3



1 dMM D ds

1  Q D

l’equazione di equilibrio normale è data da: componente di n- ds componente di Q Etw dQ · § dsds Qds Q ds ¸ ds   ¨ 2 a ds ¹ © Costruzione di macchine – Gusci: teoria di Coates - v 2.0 - Antonio Gugliotta

0

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) Etw dQ  a2 ds

0

dQ Etw ds a2 e derivando ancora una volta l’equazione differenziale in w

d4 w ds 4

1 dQ  D ds

Etw  2 Da



12 1  X 2  a 2t 2

w

37

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) ovvero d 4w  4 Oo4w 4 ds

Oo

4

0

3 1  X 2  a2t 2

l’ equazione risolutiva è: w

Ae Ds

AD 4 eDs  4 AO o4 e Ds Costruzione di macchine – Gusci: teoria di Coates - v 2.0 - Antonio Gugliotta

0 38

Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello)

D e allora:

w

D4

4Oo4

D2

r2Oo2i

rO o 2 ri

Oo  1 i  s

ae

rO o 2

1 1 r i  2

 be Oo     ceOo     de Oo    1 i s

1 i s

1 i s

e Oos aei Oo s  ce i Oos   e Oo s be i Oo s  dei Oos 

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) w

eO o s  a1 cos Oo s  a2 sin Oo s  eOo s  a3 cos Oo s  a4 sin Oo s

ai : costanti di integrazione Dal momento che w o 0 per s o L i termini con il fattore e Oos sono fisicamente impossibili e quindi rimane:

a3

w

a4

0

e Oo s  a1 cos O os  a2 sinO os 

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) Condizioni al contorno:

0  Q

s d 3w ds 3

1  Qo D

d 2w ds 2

1  Mo D

Qo M

Mo

D

Et 3 12 1  X 2 

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) allora:

da cui:

Qo

2D Oo3  a 1  a 2 

Mo

2DOo2a2

Mo 2DOo2

a2

w



1 2O D 3 o

a1

1  Qo  OoMo  2DOo3

e Oo s ª¬Q o cos Oos  OoM o  cosOos  sinOos º¼

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) Soluzione oscillatoria, con ampiezza decrescente rapidamente data dal fattore e-Oos. Gli zeri della funzioni

e Oo s cos Oo s e Oo s sin Oos e Oo s  cos Oos r sinOos  sono ad intervalli di S nei valori di Oos. Lo stesso intervallo separa le derivate di ciascuna funzione. I valori nulli e le ordinate critiche di ciascuna funzione sono sfasati di S/4. Ad esempio e- Ooscos( Oos) è nulla per Oos = S/2, valore minimo per Oos = S/2 + S/4, valore nullo per Oos = S/2 + S, valore massimo per Oos = S/2 + S+ S/4. 43

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) Due ordinate critiche di ciascuna funzione (ad es. e- Oos cos Oos) sono quindi sfasate di S:

e

 Oo s  S 

cos  Oo s  S  e  Oos cos Oo s

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e S

1  5% 23.1 44

Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) La distanza alla quale avviene è

Oo s s

S Oo

S

S at

S at

2.44 at

3 1  X  Anche distanza tra due zeri successivi. Questa è assunta come zona di influenza di Qo e Mo 4

2

1.285

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Gusci: teoria di Coates Guscio cilindrico (mantello) Noto lo spostamento w è possibile calcolare:

NQ MM M-

Et w  2aOoe Oo s ª¬Qo cos Oos  OoMo  cos Oo s  sinOo s º¼ a d 3w D 3 e  Oo s ¬ªQo  cos Oo s  sin Oo s   2OoMo sin Oo s ¼º ds 1  Oos d2 w D 2 e ª¬Qo sin Oo s  OoMo  cos Oo s  sinOo s º¼ ds Oo X MM

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