Gyro PDF

Preview

Summary

Description for gyro practikum...

Description

De Gyroscoop 1

Inleiding

Een gyroscoop is een lichaam dat rond een symmetrie-as kan draaien, terwijl ook de rotatieas vrij kan bewegen. Een tol is dus gyroscoop. Behoud van impulsmoment ~L zorgt ervoor dat lichamen die symmetrisch zijn ten opzichte van hun rotatie-as de richting van die rotatieas vast proberen houden in de ruimte. Wanneer een kracht(moment) de richting van de rotatie-as tracht te veranderen, zal de as een richtingsveranFiguur 1: De gyroscoop die Foucault in dering ondergaan loodrecht op de richting van de 1852 ontwierp. inwerkende kracht. Deze eigenschappen maken gyroscopen heel waardevol als navigatie- en stabilisatie-instrumenten. Een typisch vliegtuig bevat een aantal gyroscopen die gebruikt worden als kompas en voor de besturing met automatische piloot. De Hubble ruimtetelescoop heeft 6 gyroscopen die ervoor zorgen dat de telescoop stabiel blijft en secuur gericht wordt, en ook het International Space Station (ISS) heeft vier gyroscopen Figuur 2: Astronauten vervangen Hubbles gyroscopen aan boord om zijn baan te stabiliseren. tijdens service mission 3A (1999). De bijzondere eigenschappen van een symmetrisch roterend lichaam worden prima ge¨ıllustreerd door een tol die rond zijn symmetrie-as spint (figuur 4). Die lijkt natuurwetten te tarten, de zwaartekracht te negeren en valt niet om terwijl zijn rotatie-as een kegel beschrijft rond de verticale.

Figuur 3: Een gyroscoop van het International Space Station (ISS).

Figuur 4: Een tol in actie (links) ; ook de aardas precesseert (rechts).

Deze beweging van de rotatie-as rond de verticale wordt precessie genoemd. In dit practicum wordt de gyroscoop in detail bekeken, en de precessie- en nutatiebeweging van een gyroscoop bestudeerd.

2 2.1

Een beetje theorie Het vectorproduct van twee vectoren

Figuur 5: Vectorproduct van twee vectoren.

2.2

~ ×B ~ van twee vecHet vectorproduct A ~ ~ toren A en B is een derde vector ~C , waarvan de grootte gegeven wordt door ~ = |A|| ~ B| ~ sin θ, met θ de hoek tussen |C| ~ en B. ~ De richting de twee vectoren A ~ ~ van A × B staat loodrecht op het vlak ~ en B ~ en zijn zin wordt gevormd door A gegeven door de rechterhandregel (zie figuur 5). Wanneer men een rechtsdraai~ naar B ~ over de ende schroef draait van A hoek θ, dan zal de schoef vooruit bewegen ~ . in de zin van C

Krachtmoment van een kracht rond de oorsprong

~ die aanBeschouw een kracht F grijpt in een punt met plaatsvector ~r relatief ten opzichte van de oorsprong (zie figuur 6). Het krachtmoment ~τ van die kracht rond de oorsprong wordt gegeven door ~τ = ~r × F~ . Wanneer ~r en F~ in een horizontaal vlak liggen, en F~ een rotatie in tegenwijzerzin veroorzaakt, Figuur 6: Krachtmoment van een kracht rond de oorligt de zin van ~τ omhoog langs de sprong. verticale as.

2.3

Impulsmoment van een deeltje rond de oorsprong Beschouw een deeltje met massa m en ogenblikkelijke positie ~r dat beweegt met een ogenblikkelijke snelheid ~v en dat dus impuls ~p = m~v heeft. Het ogenblikkelijk impulsmoment van dat deeltje rond de oorsprong wordt dan gegeven door ~L = ~r × p~ (zie figuur 7). Wanneer op het deeltje een kracht inwerkt, dan heeft die kracht een krachtmoment ~τ rond de oorsprong :

d~ p Figuur 7: Impulsmoment van een deeltje ~τ = ~r × F~ = ~r × . dt rond de oorsprong. Wanneer de uitdrukking voor het impulsmoment afgeleid wordt naar de tijd, komt er : ~ d~ p d~r dL × p~. = ~r × + dt dt dt

(1)

(2)

De laatste term van bovenstaande uitdrukking verdwijnt omdat ~v parallel is met p~, zodat sin θ nul wordt in het vectorproduct. Dat betekent ~ dL d~ p = ~r × . dt dt

(3)

Uit vergelijkingen (1) en (3) volgt dat ~τ =

~ dL , dt

(4)

p ~ = d~ voor rotaties. Deze uitdrukking wat het equivalent is van de tweede wet van Newton F dt is geldig voor een vaste oorsprong in een inertiaalstelsel. Voor de bepaling van τ~ en ~L moet uiteraard dezelfde oorsprong gebruikt worden. Voor een systeem van deeltjes geldt ~τnet =

X

~τuitw,i =

i

~ d X~ dL , Li = dt dt i

(5)

met ~τnet de netto som van uitwendige krachtmomenten op het systeem.

2.4

Rotatie van een star lichaam rond een vaste as

Figuur 8 stelt een star lichaam voor dat met hoeksnelheid ω draait rond een vaste as, bijvoorbeeld de verticale z-as. We kunnen aannemen dat het lichaam is opgebouwd uit verscheidene kleine puntmassa’s. Ieder deeltje i met massa mi en snelheid vi op een loodrechte afstand ri tot de rotatie-as heeft een impulsmoment rond de oorsprong waarvan de z-component gegeven wordt door Lz ,i = ri mi vi , of vermits vi = ri ω : Lz,i = mi ri2ω. De hoeksnelheid ω is dezelfde voor alle deeltjes van het lichaam. De totale z-component van het impulsmoment van het lichaam wordt gegeven door te sommeren over de Figuur 8: Impulsmoment van een star li- individuele puntmassa’s : chaam dat roteert om een vaste as. ! Lz =

X i

mi ri2ω =

X

mi ri2 ω.

(6)

i

De uitdrukking tussen haakjes wordt het traagheidmoment I van het lichaam voor rotaties rond de z-as genoemd : ! I=

X

mi ri2 ,

(7)

i

zodat Lz = Iω.

(8)

Het traagheidsmoment geeft een maat voor de rotationele inertie van een lichaam en speelt dezelfde rol bij rotaties als de massa bij translatiebeweging. Het traagheidsmoment hangt niet enkel af van de massa van een lichaam maar ook van de verdeling van de massa om de rotatie-as. Hoe verder de massa van de rotatie-as is verdeeld, hoe moeilijker het voorwerp aan het roteren (of tot stilstand) te brengen is.

Voor een symmetrisch lichaam dat roteert om een vaste symmetrie-as door zijn massamiddelpunt kan vergelijking (8) in vectorvorm geschreven worden : ~L = I~ ω,

(9)

~ het totale impulsmoment van het lichaam ten opzichte van de rotatie-as is en ~ω een waar L vector langs de rotatie-as waarvan de zin bepaald wordt door de rotatiezin van het lichaam met behulp van de rechterhandregel. De componenten van ~L in andere richtingen heffen elkaar op.

2.5

Behoud van impulsmoment van een systeem

Uit uitdrukking 5 volgt dat het totale impulsmoment van een systeem constant blijft wanneer er geen netto uitwendig krachtmoment op het systeem werkt. Deze behoudswet verklaart dus waarom de rotatie-as van een symmetrisch roterend lichaam waar geen krachtmoment op inwerkt een vaste richting aanhoudt.

3 3.1

De beweging van een tol en de gyroscoop De tol

De boeiende beweging van de tol kan nu kwalitatief verklaard worden. Figuur 9 toont dat de rotatie van de tol rond zijn as aanleiding geeft tot een ~ impulsmoment L. De zwaartekracht grijpt aan in het massacentrum van de tol en veroorzaakt zo een krachtmoment ~τ rond het raakpunt met de grond O. De grootte van het krachtmoment wordt gegeven wordt M gr sin φ. De normaalkracht grijpt aan in het raakpunt met de grond en draagt dus niet

Figuur 9: Rotatie en precessie bij een tol.

d ~L , zodat de verandering dt ~ dezelfde van het impulsmoment ten gevolge van het krachtmoment van de zwaartekracht d L ~ ~ richting heeft als ~τ . Omdat ~τ loodrecht staat op L zal de verandering van L dus loodrecht staan ~. L ~ houdt dezelfde grootte, en verandert enkel van richting : de tol blijft even snel draaien, op L maar de rotatie-as precesseert rond de verticale. bij tot het netto krachtmoment. Volgens vergelijking (5) is ~τ =

3.2

De gyroscoop en de precessiebeweging in detail

Figuur 10 toont het type gyroscoop dat gebruikt wordt bij deze proef. Een schijf kan vrij draaien rond een horizontale as. De horizontale as is aangebracht op een verticale steun met een scharniersysteem dat toelaat de richting van de as horizontaal en verticaal te veranderen. Op de horizontale as is een tegengewicht aangebracht zodat het systeem perfect in evenwicht is wanneer

Figuur 10: Schematische voorstelling van de gebruikte gyroscoop. geen bijkomende massa m werd aangebracht. Zonder extra massa’s heffen de krachtmomenten rond het scharnierpunt op schijf, tegengewicht en horizontale as elkaar dus perfect op. Het krachtmoment rond het scharnierpunt van de normaalkracht -die aangrijpt in het scharnierpuntis nul. Wanneer de schijf draait rond de horizontale as, krijgt hij een impulsmoment met grootte L = Iω,

(10)

met I het traagheidsmoment van de schijf rond de horizontale as en ω zijn hoeksnelheid. De bijkomende massa m geeft aanleiding tot een krachtmoment rond het scharnierpunt waarvan de grootte gegeven wordt door τ = mgd sin φ = mgd, (11) met φ de hoek die de rotatie-as maakt met de verticale (φ = 90◦ in de situatie van figuur 10), en d de afstand tussen het aangrijpingspunt van de kracht op de horizontale as en het scharnierpunt. In figuur 10 wijst ~τ uit het blad en staat net zoals bij de tol loodrecht op ~L. De grootte van ~ L verandert dus niet, maar de richtingsverandering veroorzaakt een rotatie van de horizontale rotatie-as in het horizontale vlak. Voor de situatie die in figuur 10 wordt voorgesteld zal de as in wijzerzin roteren wanneer de opstelling van bovenaf wordt bekeken. ~ L beschijft dus een rotatiebeweging in het horizontale vlak. Wanneer ~L roteert over een hoek dθ, is dL = L sin φdθdL = L sin 90◦ dθ (zie figuren 9 en 10), dus dθ =

dL . L

(12)

Nu is dL = τ dt met de grootte van τ gegeven door vergelijking (11) en L = Iω zodat uitdrukking (12) wordt : (mgd )dt dθ = . (13) Iω dθ De hoeksnelheid waarmee de horizontale as ronddraait is precies de precessiehoeksnelheid Ω dt en wordt dus gegeven door mgd mgd = Ω= . (14) Iω L De precessiesnelheid is dus omgekeerd evenredig met het impulsmoment : hoe sneller de gyroscoop rondtolt, hoe langzamer de precessiebeweging. De precessiesnelheid hangt niet af van de hoek φ die het impulsmoment maakt met de verticale.

In deze redenering werd de bijdrage tot het impulsmoment van het systeem te wijten aan de horizontale rotatie van het systeem volledig verwaarloosd ten opzichte van het impulsmoment van de schijf. Deze benadering is gerechtvaardigd wanneer Ω...