Hessiana orlada PDF

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Resumen sobre la matriz Hessiana orlada....

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M´aximos y m´ınimos de funciones de varias variables

1

Estudio de los puntos cr´ıticos

Se definen puntos cr´ıticos como los puntos en los que el gradiente de la funci´ on se anula. on 1. Sea A ⊆ Rn un conjunto abierto y f : A → R una funci´ Definici´ on con derivadas segundas continuas en A. El punto P o = (x10 , . . . , x0n ) es un punto cr´ıtico de f si:  ∂f (x10,...,x0n )  =0  ∂x1 (1) ···   ∂f (x10,...,x0n ) = 0 ∂xn

Todas las derivadas parciales de primer orden de f se anulan en P 0

1.1

aximos y m´ınimos M´

Se puede demostrar que los m´aximos y m´ınimos de una funci´ on son puntos cr´ıticos si se alcanzan en puntos interiores (tambin pueden ser m´ aximos y m´ınimos puntos en la on . . . frontera, pero entonces no son necesariamente cr´ ıticos). Recordemos la definici´ Definici´ on 2. Sea A ⊆ Rn un conjunto abierto y f : A → R una funci´ on con derivadas parciales de segundo orden continuas en A; se dice que un punto P 0 = (x10, . . . , x0n ) es, para la funci´on f : • maximo ´ absoluto si, para cada otro punto P = (x1 , . . . , xn ) ∈ A: f (x10, . . . , x0n ) ≥ f (x1 , . . . , xn )

(2)

• m´ınimo absoluto si, para cada otro punto P = (x1 , . . . , xn ) ∈ A: f (x10, . . . , x0n ) ≤ f (x1 , . . . , xn )

(3)

• maximo ´ relativo si existe un entorno B de P 0 tal que, para cada otro punto P = (x1 , . . . , xn ) ∈ B: f (x10, . . . , x0n ) ≥ f (x1 , . . . , xn )

(4)

• m´ınimo relativo si existe un entorno B de P 0 tal que, para cada otro punto P = (x1 , . . . , xn ) ∈ B: f (x10, . . . , x0n ) ≤ f (x1 , . . . , xn ) 1

(5)

• silla si es siempre posible encontrar dos puntos P 1 = (x11, . . . , x1n ) y P 2 = (x21 , . . . , x2n ) en un entorno B de P 0 tal que: f (x11 , . . . , x1n ) ≤ f (x10, . . . , x0n ) ≤ f (x12, . . . , x2n )

1.2

(6)

Matriz Hessiana y definici´on de m a´ ximos y m´ınimos

Una manera de decidir si los puntos cr´ıticos son m´aximos, m´ınimos o puntos silla para una funci´ on est´a basada en el estudio de las derivadas segundas y en particular de la matriz hessiana1 . on 3. Sea A ⊆ Rn un conjunto abierto y f : A → R una funci´ on con derivadas Definici´ segundas continuas en A. Se define la matriz hessiana de f , en cada punto, como la siguiente matriz n × n: 

 H(x1 , . . . , xn ) = 

1.3

∂ 2 f (x1 ,...,xn ) ∂x12

··· ∂ 2 f (x1 ,...,xn ) ∂x1 ∂xn

··· ··· ···

∂ 2 f (x1 ,...,xn ) ∂xn ∂x1

··· ∂ 2 f (x1 ,...,xn ) 2 ∂xn

  

(7)

Caso en dos variables

En el caso de funciones de dos variables, el signo de los valores propios de la matriz hessiana (que es simtrica) permite decidir si un punto es un m´ aximo relativo, un m´ınimo relativo o un punto silla. Tenemos: ! 2 2 H(x, y) =

∂ f (x,y) ∂x2 ∂ 2 f (x,y) ∂x∂y

∂ f (x,y) ∂y∂x ∂ 2 f (x,y) ∂y 2

(8)

on 4. Sea f una funci´ Definici´ on de dos variables definida en un conjunto abierto A ⊆ R2 y continua con sus derivadas hasta el tercer orden. Sea un punto P 0 = (x0 , y0 ) ∈ I : ∇f (P 0 ) = 0 (es decir que P 0 es un punto cr´ıtico para f ), entonces tenemos: 1. si los dos valores propios de HP0 son positivos, P 0 es un punto de m´ınimo relativo; 2. si los dos valores propios de HP0 son negativos, P 0 es un punto de maximo ´ relativo; 3. si uno de los valores propios de HP0 es positivo y el otro negativo, P 0 es un punto silla. (En realidad, lo que acabamos de enunciar es un teorema, no una definicin).

1.4

M´ aximos y m´ınimos vinculados: multiplicadores de Lagrange

etodo de los multipliPara el estudio de m´aximos y m´ınimos vinculados, se aplica el m´ cadores de Lagrange y se estudia el signo del determinante de la matriz hessiana del lagrangiano. 1 El

nombre viene de Otto Hess, matem´atico alem´an (1811–1874).

on 5. Sea |HP0 | el determinante de la matriz hessiana del lagrangiano L(x, y, λ) Definici´ calculado en un punto cr´ıtico P 0 : 1. si |HP0 | < 0, P 0 es un m´ınimo; 2. si |HP0 | > 0, P 0 es un maximo. ´ Ejemplo 1. Identificar los puntos cr´ıticos de la funci´on f (x, y) y determinar sus tipos: f (x, y) = x + y 2 bajo el v´ınculo non lineal representado por la funci´ on: ϕ(x, y) = x2 + y 2 − 25 = 0 Sea el lagrangiano asociado: L(x, y, λ) = f (x, y) − λϕ(x, y) = x + y 2 − λ(x2 + y 2 − 25) Las derivadas primeras son: ∂L(x, y, λ) = 1 − 2λx; ∂x

∂L(x, y, λ) = −x2 − y 2 + 25 ∂λ

∂L(x, y, λ) = 2y − 2λy; ∂y

Los puntos cr´ıticos de L(x, y, λ) son las soluciones del sistema siguiente:  ∂L(x,y,λ)   =0 =0   1 − 2λx ∂x ∂L(x,y,λ) 2y − 2λy =0 =0 ⇒ ∂y   2 2  ∂L(x,y,λ) x + y − 25 =0 =0 ∂λ  =0  1 − 2λx 2y(1 − λ) =0  2 x + y 2 − 25 = 0

 =1  2λx y=0 o λ=1 ⇒  2 x + y 2 − 25 = 0

Tenemos dos casos que analizar: 1. y = 0    2λx = 1  2λx y =0 y ⇒  2  x x = 25 − y 2

=1 =0 = ±5

(9)

(10)

(11)

1 ). El que nos lleva los puntos P 1 = (5, 0, 101 ) y P 2 = (−5, 0, − 10 2. λ = 1

  x λ  2 y

 = 2λ1  x ⇒ =1 λ  2 = 25 − x2 y

= 1/2 =1 = 100−1 = 4

99 4

  x = 1/2 λ =1 √ ⇒  y = ± 3 2 11 √

Las soluciones de este segundo grupo de equaciones son P 3 = ( 12 , 3 2 11, 1) y √ P 4 = ( 21 , − 3 211 , 1).

(12)

Las segundas derivadas del lagrangiano son: ∂ 2 f (x, y) = −2λ ∂x2 ∂ 2 f (x, y) = 2(1 − λ) ∂y 2 ∂ 2 f (x, y) =0 ∂λ2

∂ 2 f (x, y) =0 ∂x∂y ∂ 2 f (x, y) =0 ∂y∂x ∂ 2 f (x, y) = −2x ∂λ∂x

∂ 2 f (x, y) = −2x ∂x∂λ ∂ 2 f (x, y) = −2y ∂y∂λ ∂ 2 f (x, y) = −2y ∂λ∂y

el determinante hessiano vale:    0 −2x −2λ    2(1 − λ) −2y = 8 (λ − 1)x2 + λy 2  0 −2x −2y 0 

Entonces, para cada punto cr´ ıtico, se logra que: 1 |H(5, 0, 10 )| = −180 < 0 ⇒ m´ınimo, 1 |H(−5, 0, − 10 )| = −220 < 0 ⇒ m´ınimo, √ 11 , 1)| = 198 > 0 ⇒ m´ aximo, 2√ 1 3 11 |H( 2 , − 2 , 1)| = 198 > 0 ⇒ m´aximo.

|H( 21 , 3

(13)...