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Institut für Kristallographie Jägerstraße 17-19, D-52066 Aachen +49 241 80 96900 www.ifk.rwth-aachen.de

GRUNDZÜGE DER KRISTALLOGRAPHIE 1. Übung: Translation und Gitter Aufgabe 1:

Gegeben sind die Übungsblätter A und B mit zweidimensionalen periodischen Mustern aus einfachen Motiven. Führen Sie für jedes Muster die folgenden Teilaufgaben durch (vgl. Beispiel auf der folgenden Seite): a) Markieren Sie Gitterpunkte des zugehörigen Gitters. Bemerkung: Man wählt Gitterpunkte am besten an markanten Stellen der Motive. Unterschiedliche Wahl der Stellen für die Gitterpunkte führt zum gleichen Gitter, nur sind diese Gitter gegeneinander verschoben.

b) Zeichnen Sie einige Translationsvektoren (auch Gittervektoren genannt) ˛t1 , ˛t2 , . . . , ˛tn ein. c) Kennzeichnen Sie verschiedenartige Elementarmaschen durch Wahl eines Ursprungs O, verschiedener Paare von Basisvektoren ˛a und ˛b sowie den von ihnen eingeschlossenen Winkel “ . Bemerkung: Eine Elementarmasche ist ein Parallelogramm (Viereck mit paarweise parallelen Seiten), aufgespannt durch zwei Basisvektoren ˛a und ˛b. Ein Parallelogramm kann auch in der Form einer Raute, eines Rechtecks oder eines Quadrats vorliegen. Die Wahl der Basisvektoren ˛a und ˛b erfolgt so, dass der von ihnen eingeschlossene Winkel “ stumpf ist. Der Ursprung O der Elementarmasche liegt in Zeichnungen üblicherweise oben links, dabei zeigt die positive Richtung des Basisvektors ˛a etwa auf den unteren Seitenrand, die positive Richtung von ˛ b etwa horizontal nach rechts. Die Beträge a und b der Basisvektoren ˛a und ˛ b sowie der von ihnen eingeschlossene, stumpfe Winkel “ werden Gitterparameter genannt.

d) Welche Elementarmasche ist die günstigste? Bemerkung: Man wählt in der Regel eine kleinste Masche mit möglichst kurzen und, falls dies möglich ist, zueinander senkrecht stehenden Basisvektoren ˛a und ˛ b. Dann befinden sich nur an den Ecken der Elementarmasche Gitterpunkte, d. h. es existiert genau ein Gitterpunkt pro Elementarmasche. Dies wird primitives Gitter genannt und mit dem Symbol p beschrieben. In speziellen Fällen lässt man eine doppelt so große, nicht primitive Masche zu, wenn sie orthogonale Basisvektoren ˛a und ˛b aufweist. In diesem Fall befindet sich ein zweiter Gitterpunkt im Zentrum der Elementarmasche (zentrierte Elementarmasche, Symbol c).

1

e) Überzeugen Sie sich am Muster B, dass der Flächeninhalt aller primitiven Elementarmaschen gleich ist und dass zentrierte Maschen doppelt so groß sind wie primitive. Zeigen Sie darüber hinaus, dass primitive Elementarmaschen jeweils einen einzelnen Gitterpunkt enthalten und zentrierte Maschen zwei Gitterpunkte.

Beispiel

2

Muster A

Muster B

3

Aufgabe 2:

a) Identifizieren Sie in den beigefügten ebenen Mustern charakteristische Symmetrieelemente und leiten Sie darüber das jeweils zugehörige Kristallsystem ab. b) Markieren Sie in jedem Muster eine symmetrieangepasste Elementarmasche mit Ursprung 0 und Basisvektoren ˛a und ˛b. Zeichnen Sie alle Symmetrieelemente des Musters in dieser Elementarmasche ein. Benutzen Sie die folgenden Symbole: 2-zähliger 3-zähliger 4-zähliger 6-zähliger

Drehpunkt: Drehpunkt: Drehpunkt: Drehpunkt:

Spiegelgerade m: Gleitspiegelgerade g:

1

2

4

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