Impulso y Cantidad de Movimiento en Cuerpos Rigidos PDF

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La energía cinética inicial de la particular más el trabajo realizado por todas las
fuerzas que actúan sobre la partícula, al moverse esta desde su posición inicial hasta su
posición final, es igual a la energía cinética final de la partícula....

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ENERGIA CINETICA , IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN CUERPOS RIGIDOS

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INTRODUCCION

Como se sabe anteriormente se desarrollaron y aplicaron los principios referentes al impulso, la cantidad de movimiento y el momento cinético para la descripción del movimiento de un punto material. Se vio entonces que tales principios eran de importancia especial cuando las fuerzas aplicadas podían expresarse en función del tiempo y cuando las acciones recíprocas entre los puntos materiales tenían lugar durante períodos muy cortos, como en el caso de los choques. Cuando esos principios se aplican al movimiento de cuerpos rígidos, las ventajas son similares. Se ampliaron esos principios para cubrir cualquier sistema definido de puntos materiales carente de restricciones en lo que respecta a las conexiones entre los puntos del sistema. Estas relaciones ampliadas son aplicables todas al movimiento del cuerpo rígido, pues éste no es más que un caso particular de sistema material general. Esas relaciones vamos ahora a aplicarlas al movimiento bidimensional del cuerpo rígido.

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OBJETIVOS:

OBJETIVO GENERAL:

 Conocer las aplicaciones de de energia cinetica , impulso y cantidad de movimiento en cuerpos rígidos.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

 Detallar y conocer los conceptos de impulso y cantidad de movimiento en cuerpos rigidos .  Capacitarse para emprender los contenidos de la asignatura en función de nuestras futuras necesidades de nuestra profesión.  Desarrollar la capacidad de integración entre los nuevos conocimientos y las propias vivencias cotidianas.  Hacer una excelente exposición con la finalidad que nuestros compañeros junto con nuestro docente entiendan el tema requerido.

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CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN SOLIDO O CUERPO RIGIDO Consideraremos al cuerpo que aparece en la figura, el cual se somete a un movimiento plano general. En el sistema que se muestra, el punto arbitrario P tiene una velocidad conocida v P y el cuerpo tiene una velocidad angular

ω . Por consiguiente, la velocidad de la partícula

iésima del cuerpo es:

v i=v p +v i =v P + ω∗r P

La cantidad de movimiento angular de esta parte con respecto al punto P es igual al “momento” de su cantidad de movimiento lineal con respecto al punto P. Por tanto:

H (¿¿ P)i=r ∗mi v i ¿ Si expresamos v i

en función de

v P y utilizamos vectores cartesianos, tenemos:

H (¿¿ P)i k =m i ( x i+ y j )∗[( v P x ) i+ ( v P y ) j+ωk∗( x i+ y j ) ] ¿ H 2 (¿¿ P)i=−m i y ( v P x ) + mi x ( v P y )+m i ω r ¿ Si m i → dm

e integramos a lo largo de toda a masa m del cuerpo obtenemos:

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∫¿

¿ xdm ∫¿ ¿ H P =−¿ En este caso

HP

representa la cantidad de movimiento angular del cuerpo con respecto a

un eje (eje z) perpendicular al plano de movimiento que pasa por el punto P.

∫ ydm= ´y m∫ xdm =´x m Tenemos:

H P =− ´y m v P x+ x´ m v P y + I P ω Si P coincide con el centro de masa G del cuerpo ( ´y m=´x m=0 ), tenemos:

H G=I G ω

MOMENTUM LINEAL Y MOMENTUM ANGULAR SEGÚN EL MOVIMIENTO DEL CUERPO

Traslación Cuando un cuerpo se somete a traslación rectilínea o curvilínea, tiene

ω=0 y su centro de masa

v G =v . Por consiguiente:

L=m v G

H G=0

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Rotación con respecto a un Eje

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Cuando un cuerpo rígido rota alrededor de un eje la cantidad de movimiento Lineal y Angular son:

L=m v G

H G=I G ω En ocasiones es conveniente calcular la cantidad de movimiento angular con respecto al punto O. Si observamos que

L(o v G) siempre es perpendicular ha

r G , tenemos:

H O=I 0 ω+r G mv G 2

H O=I G ω+r G mωr G → H O=I O ω

Movimiento Plano General Cuando un cuerpo se somete a un movimiento plano general, la cantidad de movimiento lineal y angular con respecto a G es:

L=m v G

H G=I 0 ω Si la cantidad de movimiento se calcula con respecto a un punto A es necesario incluir el momento de L y H G con respecto a este punto.

H A =I G ω +dm v G

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PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA EL MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO El principio del impulso en la cantidad de movimiento se aplicará ahora al análisis del movimiento plano de cuerpos rígidos y de sistemas de cuerpos rígidos . El método del impulso y la cantidad de movimiento se adapta particularmente bien a la solución de problemas que incluyen el tiempo y las velocidades. Además, el principio del impulso y la cantidad de movimiento proporciona el único método práctico para la solución de problemas en los que intervienen el movimiento o impacto impulsivo . Considerando de nuevo un cuerpo rígido conformado por un gran número de partículas Pi, hay que recordar de la sección que el sistema formado por las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo t1 y el sistema de los impulsos de las fuerzas externas aplicadas desde t1 hasta t2 son en conjunto equipolentes al sistema formado por las cantidades demovimiento

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ENERGIA CINETICA , IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN CUERPOS RIGIDOSen el tiempo t2. Puesto que los vectores asociados con un cuerpo rígido de las partículas

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pueden considerarse como vectores deslizantes, se concluye que el sistema de vectores que se muestra en la figura (1) no sólo son equipolentes, sino verdaderamente equivalentes en el sentido de que los vectores en el lado izquierdo del signo de igualdad pueden transformarse en los vectores del lado derecho mediante el uso de las operaciones fundamentales .

FIGURA (1)

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL PARA EL MOVIMIENTO PLANO DE CUERPO RIGIDO

Establece que la suma de todos los impulsos creados por el sistema de fuerzas externas que actúa en el cuerpo durante el intervalo

t 1 y t2

es igual al cambio de la cantidad lineal del

cuerpo durante este intervalo. La ecuación de traslación de un cuerpo rígido puede escribirse como:

∑ F=m aG Como la masa del cuerpo es constante:

d

∑ F= dt ( m v G) t2

∑∫ F dt=m vG 2−m v G 1 t1

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PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR La suma del impulso angular que actúa en el cuerpo durante el intervalo

t 1 y t2

es igual al

cambio de la cantidad de movimiento angular del cuerpo durante este intervalo” La ecuación de traslación de un cuerpo rígido puede escribirse como:

∑ M G =α I G Como el momento de inercia es constante:

d

∑ M G = dt ( ω IG) t2

∑∫ M G dt= I G ω2− I G ω1 t1

Del mismo modo para la rotación con respecto a un eje fijo que pasa por el punto O. La ecuación se escribe: t2

∑∫ M O dt =I O ω2−I O ω1 t1

Para un movimiento plano del cuerpo se usa las siguientes ecuaciones: t2

m(v Gx )1 + ∑∫ F X dt=m(v Gx )2 t1

t2

m(v Gy )1 + ∑∫ F y dt=m(v Gy )2 t1

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I G ω 1+ ∑∫ M G dt=I G ω 2 t1

Conservación

de

la

Cantidad

de

Movimiento Lineal Si la suma de todos los impulsos lineales que están en un sistema de cuerpos rígidos conectado es cero en una dirección específica, entonces la cantidad de movimiento lineal del sistema es constante, o se conserva en esta dirección, es decir:

∑cantidad de movimiento lineal del sistema ¿ ¿ ¿ Esta ecuación se conoce como la cantidad de movimiento lineal. Sin inducir errores apreciables en los cálculos, la ecuación puede ser apreciable en una dirección específica a lo largo de la cual los impulsos lineales son mínimos o no impulsadores. De manera específica, las fuerzas no impulsoras ocurren cuando fuerzas mínimas actúan durante lapsos muy cortos. Algunos ejemplos son la fuerza de un resorte levemente deformado, la fuerza de contacto inicial con suelo blando, en algunos casos el peso del cuerpo.

Conservación

de

la

Cantidad

de

Movimiento Angular

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ENERGIA CINETICA , IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN CUERPOS CuandoRIGIDOS no actúa fuerza externa sobre un cuerpo rígido, o un sistema de cuerpos rígidos, los

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impulsos de las fuerzas externas son cero y el sistema de las cantidades de movimiento en el tiempo

t 1 es equipolente al sistema de las cantidades de movimiento en el tiempo

Sumando e igualando de manera sucesiva las componentes x , las componentes momentos de las cantidades de movimiento en los tiempos

t1 y

t2

t2 .

y y los

se concluye que la

cantidad de movimiento lineal total del sistema se conserva en cualquier dirección, y que su cantidad de movimiento angular total se conserva alrededor de cualquier punto. Sin embargo hay muchas aplicaciones de ingeniería en las que no se conserva la cantidad de movimiento lineal aunque se conserve la cantidad de movimiento angular

H O del sistema

alrededor de un punto dando O, esto es, en el que:

(H O )1=( H O )2 Tales casos ocurren cuando la línea de acción de todas las fuerzas externas pasa por O, o de manera más general, cuando la suma de los impulsos angulares de las fuerzas externas alrededor de O es cero.

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CHOQUE EN SOLIDO RÍGIDO

Choque Central y Choque Excéntrico Los sucesos de impacto se clasifican según la posición relativa de los centros de masa de los cuerpos, la velocidad relativa de los centros de masa u la línea de impacto: recta normal a las superficies en el punto de impacto. Cuando los centros de masa de ambos cuerpos se hallen sobra la línea de impacto, diremos que se trata de un choque central. Cuando el centro de masa de uno o ambos cuerpos no se halle sobra la línea de impacto diremos que se trata de un choque excéntrico, este tipo de impacto suele suceder cuando uno o dos cuerpos están limitados a girar con respecto a un eje fijo. Evidentemente, entre dos puntos materiales solo existirá choque central, ya que el tamaño y forma de los puntos supone que no afectan al cálculo de su movimiento

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Choque Excéntrico

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El análisis de los problemas de choque de puntos materiales se ha realizado en IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO – PARTICULA, ilustraba el caso del choque central para el que la línea de impacto coincidía con la recta que une los centros de masa. Por lo tanto, las fuerzas de contacto en el choque pasaban por los centros de masa de los cuerpos (fig. 1) Fig. 1

Estos problemas se resolvían hechando mano de la conservación de la cantidad de movimiento junto con el coeficiente restitución (e), que comprar la velocidad relativa de separación de los puntos de contacto (después del choque) con su velocidad relativa de aproximación (antes del choque) El problema e choque en cuerpos rígidos es muy parecido al de choque de puntos materiales, pero se complica ligeramente por el hecho de que la línea de impacto no suele pasar por los centros de masa de los cuerpos (fig. 2)

Fig. 2

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ENERGIA CINETICA , IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN CUERPOS RIGIDOS Surge una nueva complicación si definimos el coeficiente de restitución diciendo que es el

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cociente entre el impulso de restitución y el impulso de deformación como se hizo con partícula. Un análisis semejante al realizado en el choque de partículas nos daría de nuevo el coeficiente de restitución como razón de la velocidad relativa de separación de los puntos de contacto (después del choque), a la velocidad relativa de separación de los puntos de contacto (antes del choque). Ahora bien, la velocidad el cuerpo en el punto de impacto suele ser diferente a la velocidad de su centro de masa. Por lo tanto, cuando se trate de un choque excéntrico, las ecuaciones de velocidad relativa se deberán utilizar para relacionar las velocidades de los puntos de contracto en la ecuación del coeficiente de restitución y las velocidades de los centros de masa en las ecuaciones de los teoremas de la cantidad e movimiento y momento cinético.

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Análisis del proceso de impacto

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Considere, por ejemplo la colisión en C entre los cuerpo A y B que se muestra en la figura.

Se supone que justo antes de la colisión B gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a una velocidad angular (ω B)1. Los diagramas cinemáticos de ambos cuerpos justo antes de la colisión se muestra en la figura. Siempre que los cuerpos sean uniformes, las fuerzas impulsoras que ejercen entre ellos están dirimidas a los largo de la línea de impacto. Por consiguiente, el componente de la velocidad del punto C en el cuerpo B, el cual está dirigido a lo largo de la línea de imparto es

v (¿¿ B)1 =(ω B )1 r ¿

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ENERGIA CINETICA , IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN CUERPOS RIGIDOS u Asimismo, en el cuerpo A el componente de la velocidad (¿¿ A)1 a los largo de línea de

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¿

impacto es

v (¿¿ A)1 . Para que la colisión ocurra ¿

v v (¿¿ B)1 (¿¿ A)1>¿ ¿

Durante el impacto se ejerce una fuerza impulsora igual pero opuesta P entre los cuerpos, la cual los deforma en el punto de contacto. El impulso resultante se muestra en los diagramas de impulso de ambos cuerpos.

Observe que la fuerza impulsora en el punto C del cuerpo que gira crea reacciones impulsoras en el pasador en O. En estos diagramas se supone que el impacto crea fuerzas que son mucho más grades que los pesos no impulsores en los cuerpos, los cuales no se muestran. Cuando la deformación en el punto C es máxima, C en ambos cuerpos e mueve con uan velocidad común “v” a lo largo de línea de impacto

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Ocurre entonces un periodo de restitución durante el cual los cuerpos tienden a recuperar sus formas originales. La fase de restitución crea una fuerza impulsora igual pero opuesta R que actúa entre los cuerpos poco se muestra en el diagrama de impulso.

Después de la restitución los cuerpos se apartan de modo que el punto C en el cuerpo

B tiene un velocidad

v (¿¿ B)2 ¿

y el punto C en el cuerpo A tiene una velocidad

u (¿¿ A)2 , donde ¿

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u (¿¿ A)2 (¿¿ B)2 >¿ ¿

En general, un problema que implica impacto de dos cuerpos requiere determinar las dos

incógnitas

v (¿¿ B)2 ¿

y

v (¿¿ A)2 ; supondremos que ¿

v v (¿¿ B)1 (¿¿ A)1 y ¿ ¿

son conocidas

(o se pueden determinar mediante cinematica , metodos de energia , etc .) . Para resolver problemas como estos deben escribirse dos ecuaciones.



Por lo general, la primera ecuación implica la conservación de la cantidad de movimiento angular a los dos cuerpos. En el caso de que los cuerpos A y B, podemos formular que la cantidad e movimiento angular se conserva con respecto al punto “O” puesto que los impulso en O crean un momento cero con respecto a O.



La segunda ecuación se obtiene por la definición del coeficiente de restitución “e”, el cual es la relación del impulso de restitución y el impulso de deformación.

Sin embargo es importante tener en cuenta que este análisis tiene una aplicación muy limitada en ingeniería, porque se encontró que los valores de “e” en este caso son muy sensibles al material, la geometría y la velocidad de los cuerpos que chocan.

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ENERGIA CINETICA , IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN CUERPOS RIGIDOS Aplicando la conservación de la cantidad e movimiento para encontrar el impulso de

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deformación y restitución de tal manera que al dividirlos y remplazando la velocidad común de en el momento máximo obtenemos :

v v v v (¿¿ A )1 −( ¿¿ B )1 ¿ (¿¿ A)2 (¿¿ B)2 − ¿ ¿ e=¿ Esta ecuación es similar a la obtenida cuando se tenía choques en partículas (impactocentral)

Con el par de ecuaciones mencionadas obtuvimos

v v (¿¿ A )2 pero para encontrar la (¿¿ B)2 y ¿ ¿

velocidad en el centro de masa utilizaremos las ecuaciones de velocidad relativa v v (¿¿ A)2+ω A x r G

A

/A

(¿¿ G)A =¿ ¿ v v (¿¿ B)2 +ω A x r G (¿¿ G )B =¿ ¿

B

/A

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ENERGIA CINETICA , IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN CUERPOS RIGIDOS EJERCICIO Nº01 - Problema20-6. LIBRO: ING. MECÁNICA: DINÁMICA. AUTOR:

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WILLIAM F. RILEY Un peso de 50 N pende de una cuerda que esta arrollado sobre la parte externa de un tambor hueco. El tambor de 20 Kg tiene un radio de giro de 175 mm y el rozamiento en su eje es despreciable. Si se suelta el tambor a partir del reposo, determinar la velocidad hacia abajo del punto A de la cuerda al cabo de 10 segundos.

Soluc...