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87 CAPITULO III INDUCCIÓN - DEDUCCIÓN En relación con el estudio de la matemática en nuestra sociedad, encontramos aún algunos prejuicios: unos dicen, por ejemplo, sólo personas de gran talento, pueden dedicarse a la matemática, mientras que otros afirman que para ello es preciso tener una "mem...

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CAPITULO III

INDUCCIÓN - DEDUCCIÓN

En relación con el estudio de la matemática en nuestra sociedad, encontramos aún algunos prejuicios: unos dicen, por ejemplo, sólo personas de gran talento, pueden dedicarse a la matemática, mientras que otros afirman que para ello es preciso tener una "memoria matemática" capaz de permitir recordar fórmulas y saber cómo y cuándo aplicarlas. Las expresiones: "soy incapaz para la matemática", "no he nacido para los números", "me falta memoria para aprender todas las fórmulas", etc., etc., son un producto amargo del tipo de enseñanza memorística y mecanizada que hemos recibido desde nuestra infancia, debido a la falta de un sistema educativo adecuado, objetivo y verdaderamente científico capaz de satisfacer las expectativas de la gran mayoría de estudiantes y no sólo de un sector, cuyo beneficio obedece claramente a intereses egoístas. En consecuencia, nos corresponde revertir esta situación, poniendo en práctica nuestra capacidad de raciocinio y análisis objetivo. Contribuiremos a ello, en esta parte del curso, desarrollando la parte inductivadeductiva de nuestro razonamiento para lograr, de esta manera, un mayor grado de abstracción. Quizá en algunas ocasiones, durante la búsqueda de la solución de alguna interrogante relacionada con nuestra vida diaria o al intentar resolver problemas netamente matemáticos, nos hayamos encontrado un tanto desorientados sobre cómo afrontarlos, entonces nos asaltó la duda y surgieron las eternas preguntas: ¿Por dónde empezar? ¿Qué estrategia plantear y seguir? Parte de culpa de estar en dicha situación la tiene el hecho de no tener en claro los conceptos de razonamiento, pensamiento creativo, lógica deductiva, lógica inductiva, etc. El objetivo entonces del presente capítulo será estudiar los diversos conceptos y aplicarlos manejando criterios adecuados, desarrollando, además, ejemplos necesarios para un mejor desenvolvimiento dentro del curso de razonamiento y actividades en general. Nunca olvides que el primer paso es comprender el problema, una vez logrado esto debes dar el siguiente paso: idear cómo afrontarlo; cada problema debe ser un reto, para ello debes leer atentamente la parte teórica y rescatar las mayores observaciones de cada ejemplo. Después de haber resuelto un problema, debes valorar más el proceso inductivo-deductivo y no tanto la respuesta, ello te permitirá salir airoso en cada problema siguiente.

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¿Qué es estrategia? Analiza atentamente las siguientes situaciones:

? Alejandro

Carlos

Calcular la suma de las cifras de A A = (33 .... 33)² 100 cifras

En la primera de ellas una pelota ha caído por un estrecho orificio, no tan profundo, pero no al alcance de los brazos de Alejandro; él no dispone de palos ni varas para extraerla; Juan, que estaba sacando agua, observa la escena y se pregunta: ¿qué hará él para poder sacar la pelota? En el siguiente caso Carlos está frente a un problema que se ve muy laborioso: ¿cómo resolverlo? En ambos casos será necesario pensar detenidamente sobre la situación y elaborar un plan que les permita conseguir sus objetivos; dicho plan recibe el nombre de estrategia. La palabra estrategia proviene del griego "strategia" (generalato, aptitudes de general), que en el contexto de nuestro interés se entiende como el plan o técnica para dirigir un asunto o para conseguir un objetivo. En la primera situación, una posibilidad sería buscar ayuda, traer herramientas y "ampliar el hueco lo cual no está mal, pero sería muy trabajoso y mostraría que no pensamos mucho sobre el asunto y estamos procediendo de manera mecánica. Otra posibilidad podría ser echar abundante agua por el orificio, la pelota flotará y podremos sacarla, lo cual sería una solución más razonada, ¿no crees? Para resolver la segunda situación, deberemos aplicar la inducción y para ello hay que tener una idea de lo que es razonamiento inductivo-deductivo, nociones que estudiaremos más adelante.

¿Qué es inducción? La palabra inducción proviene del latín "Inductio", ("in" : en y ducere : conducir); que es la acción y efecto de inducir. Es definido como un modo de razonar que consiste en sacar de los hechos particulares una conclusión general; así, la inducción desempeña una gran papel en las ciencias experimentales. Más adelante podremos apreciar la forma de aplicar este modo de razonar en la resolución de problemas matemáticos.

¿Qué es deducción? La deducción es la acción de deducir, también es la conclusión que se obtiene de un proceso deductivo. La palabra deducir, proviene del latín "deducere" que significa sacar consecuencias. En el presente estudio veremos cómo partir de casos generales llegamos a establecer cuestiones particulares que nos interesan para la resolución de problemas.

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Podemos decir, figurativamente, que la inducción y la deducción son como las dos caras de una misma moneda, estableciéndose como herramientas poderosas que han permitido el avance de la ciencia en general. ¿Cómo hizo Arquímedes para determinar, según él, el valor aproximado del número p y el cálculo de áreas de regiones sumamente complicados para su época? ¿Cómo llegó Kepler a establecer sus tres famosas leyes? 1 ¿De qué manera Galileo procedió para establecer la relación: e = gt²? 2 ¿Sospechas, cómo llegó Newton a dar la ley de la gravitación universal a partir de hechos comunes contemplados por todos nosotros, pero que él supo observar atentamente para enunciar tan importante teoría? y ¿Lobatcheysky, para crear su geometría no euclideana? y ¿Einstein, con su Teoría de la relatividad?... En fin, gran parte de lo establecido hasta ahora por la ciencia se ha hecho en base a la experimentación, a la aplicación de la inducción, y deducción, y al proceso de ensayo-error con el estudio y el análisis de todas las consecuencias que se derivan de ellos, los cuales ha permitido el avance de la ciencia en todos los campos.

¿Cuántos palitos de fósforo conforman el siguiente castillo?

¿Cómo resuelvo este problema?

1

2

29 30

Al igual que Daniela, muchos estudiantes al empezar la resolución de un problema siempre se preguntan: "¿Cómo resuelvo este problema?, ¿por dónde empiezo la resolución del problema?, ¿será este el camino adecuado para su resolución?; indudablemente que para el ejemplo anterior, el contar uno por uno los palitos de fósforos del castillo no sería una resolución adecuada, ya que sería muy tedioso y agotador realizar dicha operación. Siempre que se busca la solución a un problema, debemos buscar los caminos más cortos para llegar a ella, debemos analizar nuestros datos e incógnitas y al relacionarlos debemos encontrar una "estrategia" de cómo afrontar el problema, "ser creativos y analistas" para buscar esa relación de datos con incógnitas. Justamente, a partir de estas ideas ("tener estrategia", "ser creativo y analista"), surgen dos herramientas importantes que nos permiten afrontar un problema: la lógica inductiva y la lógica deductiva. Las lógicas inductiva y deductiva representan la base del razonamiento matemático, pilares sobre los cuales se construye esta hermosa disciplina, en base a la observación y el análisis.

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Es un modo de razonar, en el que a partir de la observación de casos particulares, nos conducen al descubrimiento de leyes generales, con la particularidad de que la validez de las últimas se deduce de la validez de las primeras. Así:

Casos Particulares Razonamiento Inductivo El método del razonamiento inductivo es un método especial de demostración matemática que permite, en base a observaciones particulares, juzgar las regularidades generales correspondientes. Ejemplo: (15)²

= 225

(35)²

= 1225

(85)²

= 7225

Casos particulares

(125)² = 15625 Razonamiento Inductivo "Podemos concluir que todo número que termina en 5, al elevarlo al cuadrado, su resultado termina en 25" (....5)² = ......25

Conclusión general

Ejemplo 1 Calcular el número total de palitos de fósforo que conforman la torre de la derecha.

1 2

....

.... .

Como se observa, contar los palitos uno por uno va a resultar una tarea bastante tediosa. Nos damos cuenta que la distribución de palitos en la torre obedece a una cierta formación (va aumentando uniformemente por pisos), entonces aplicamos inducción, analizando los 3 casos más simples que se puedan encontrar.

...... ..........

. ....

Resolución:

3................28 29 30

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Nº de palitos Caso

:

Caso

:

Caso

:

2

3

1

2

8

1 2

2

15

-1

-1

-1 ........

........

En el problema :

........

........

1 2 3

....

.... .

......

. ....

2

.......... 1 2

3................28 29

\ Nº de palitos = 899

Ejemplo 2 Calcular el valor de "E" y dar como respuesta la suma de sus cifras.

E = (333...334)² 101 cifras

- 1 = 899

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Resolución: Elevar el número al cuadrado resulta muy operativo y tedioso, pero nos damos cuenta también que la base tiene cierta formación (la cifra 3 se repite constantemente); entonces recurrimos a la inducción, analizando los casos simples, análogos al de la expresión "E".

(34)²

=

1156

Suma de cifras = 13 Þ 6(2) + 1

=

111556

Suma de cifras = 19 Þ 6(3) + 1

=

11115556

Suma de cifras = 25 Þ 6(4) + 1

2 cifras

(334)² 3 cifras

(3334)² 4 cifras

E = (333 … 3334)² = 111 … 1155 … 556 101 cifras

101 cifras

. . .

. . .

. . .

. . .

Suma de cifras

=

6(101) + 1 = 607

101 cifras

\ Suma de cifras = 607 Ejemplo 3 Calcular el valor de

E=

97 • 98 • 99 • 100 + 1

Resolución: Multiplicar, sumar y extraer la raíz cuadrada va a ser demasiado operativo. Observando detenidamente el problema nos damos cuenta que tiene una particularidad (producto de cuatro números consecutivos); entonces aplicamos inducción, analizando los casos más simples sin que se pierda la forma original del problema.

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Ejemplo 4 ¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse las 40 personas asistentes a una reunión? Resolución: Dado que la cantidad de apretones depende del número de personas, vamos a realizar un análisis inductivo de casos particulares, así: # Personas

2 3 4 5 .. . n

# de Apretones

1 x 2 2 x 3= 2 6= 3 x 2 4 x 10 = 2. .. .. . 1=

2 3 4 5

2 6 12 20 .

.. ..

=1x2 =2x3 =3x4 = 4 x. 5

(n - 1)n 2

Caso general para "n" personas

\ para 40 personas Þ Respuesta:

39 x 40 2

= 780 apretones.

Ejemplo 5 Calcular: E = (1111 … 111 + 222 … 222 + 333 … 333)²

50 cifras Resolución: Por inducción: (1 + 2 + 3)² = 6² = 36 (11 + 22 + 33)² = 66² = 4356 (111 + 222 + 333)² = 666² = 443556 E = 444 … 4443555 … 5556 49 cifras

49 cifras

50 cifras

50 cifras

.. ..

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CURIOSIDADES SOBRE INDUCCIÓN

1²

=

1

11²

=

121

111²

=

12321

1111²

=

1234321

11111²

=

123454321

111111²

=

12345654321

1111111²

=

1234567654321

11111111²

=

123456787654321

111111111²

=

12345678987654321

Observando el resultado en el desarrollo de cada potencia vemos que, iniciando en la cifra1, se ordenan de manera ascendente los números naturales consecutivos, hasta llegar a una cifra que coincida con la cantidad de cifras 1 de la expresión exponencial, para luego descender.

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LÓGICA DEDUCTIVA (deducción) Es un modo de razonar mediante el cual, a partir de informaciones, casos o criterios generales, se obtiene una conclusión particular. Así : CASO 1

C A S O

G E N E R A L

CASO 2

CASO 3

Casos Particulares

CASO 4 .. .. .. Razonamiento Deductivo

Ejemplo: - Todos los hijos de la señora Ana son valientes - Pedro es hijo de la señora Ana Por lo tanto: Pedro es valiente

Información general

Razonamiento deductivo

Conclusión particular

Ejemplo 1 La suma de los "n" primeros números impares es 900, por lo tanto, ¿cuál es el valor de "n"? Resolución: Para resolver este problema, primero hay que conocer a qué es igual la suma de los "n" primeros números impares (caso general), para luego verificar el valor de "n" cuando la suma sea 900 (caso particular).

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1 + 3 = 4 = (2)² 2 términos

# de términos

1 + 3 + 5 = 9 = (3)² 3 términos

# de términos

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = (4)² # de términos

4 términos

. . . .

Conclusión general :

Caso particular : n² = 900 ................ (Dato) \

n = 30

Ejemplo 2 Completar las cifras que faltan en la siguiente multiplicación, sabiendo que cada (asterisco (*) representa un dígito. Resolución:

* 3 * 3 * 2 * 2 * 5 1 * 8 *

1 * * 2 3 * * 3 0

Tengamos presente los criterios generales en la multiplicación para aplicarlo en este caso en particular. 4 x 3 = 12

_ 3 _ 3_2 1 2_5 1_ 8_

1 _ _ 2 3 0 0 3 0

4 3 _ 3_2 1 2_5 1_ 8_

1 5 _ 2 3 0 0

5 x 3 = ..5

3 0

Finalmente, resolviendo las operaciones:

4 3 8 332 1 245 15 85

1 5 x 8 2 3 0 0 3 0

4 3 _ 33 _2 1 2_5 1_ 8_

1 5 8 _ 2 3 0 0 3 0

415 x 8 3320

(x)

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Ejemplo 3 Calcular m, n y p; sabiendo que: m ¹ n ¹ p y además: mmm + nnn + ppp = 2664 Resolución: Ordenando los números en columna: 1ra. Columna : m + n + p = ........ 4 3ra. Columna : m + n + p + 2 = 26

Llevamos de la 1ª columna Llevamos de la 2ª columna

De la 1ra. y la 3ra. Columna, se deduce que: m + n + p = 2 4

2 2

mmm + n n n p p p 2664

Buscando tres dígitos diferentes cuya suma sea igual a 24, encontramos: m = 7 ; n = 8 ; p = 9 \ Respuesta : 7 x 8 x 9 = 504

Ejemplo 4 Hallar : E = abcd + mnpp + xyzw, sabiendo que:

bd + np + yw = 160 ac + mp + xz = 127 ab + mn + xy = 124

Resolución: Considerando los criterios generales de la adición, ordenamos cada uno de los datos, así: i)

bd + np yw 160

De i) y iii) se deduce:

ii)

1ro.

iii)

ac + mp xz 127

ab + mn xy 124

d + p + w = 20

2do. b + n + y = 14 En iii): como : b + n + y = 14, entonces :

a + m + x = 11

En ii): como : a + m + x = 11, entonces :

c + p + z = 17

Luego, hallando E: E = abcd + mnpp + xyzw

\ E = 12590

112 . abcd + mnpp x yzw 12590

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EJERCICIO 1 Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas paralelas a MN, ¿cuántos triángulos se contarán en total?

M

N

Resolución: Sería muy laborioso el conteo si trazamos las 50 rectas de golpe, entonces aplicando lógica inductiva, iremos trazando dichas rectas uno por uno y analizando cada caso:

1 N

M

Nº de triángulos

=

6

=

3(2) Nº de rectas trazadas + 1

2

1 N

M

2

M

1

N

. . . . . .

Nº de triángulos

=

12

=

3(4) Nº de rectas trazadas + 1

Luego :

M

9 3(3) Nº de rectas trazadas + 1

3

.. ..

Nº de = triángulos =

..

.. ..

..

50 2

1

N

Nº total de triángulos

=

3(51) = 153

\ Respuesta : 153 triángulos

Nº de rectas trazadas + 1

99

EJERCICIO 2 Calcular la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular.

1 2 3

98 99 100

Resolución: Debido a que la distribución de las esferas responden a una formación triangular, entonces analizaremos, recurriendo a la inducción, los casos iniciales a dicha formación:

Números triangulares # de esferas 1 1 + 2

1 + 2 + 3

1 + 2 + 3 + 4

=

1 3

=

6

=

=

10 . . .

=

1x2 2

=

2x3 2

=

3x4 2

=

4x5 2

Nº esferas en la base Nº esferas en la base

Nº esferas en la base

Nº esferas en la base

Luego

1 + 2 + 3 + .... + 100 1 2

99 100

=

100 x 101 2

= 5050

100

101

EJERCICIO 3

EJERCICIO 4

Hallar la suma de todos los elementos de la siguiente matriz:

Calcular "n" y dar como respuesta la suma de sus cifras:

1

2

3

4

… 9 10

2

3

4

5

… 10 11

3

4

5

6

… 11 12

4

5

6

7

… 12 13

9

10 11 12

17 18

10 11 12 13

18 19

S=1+3+5+7+9+… "n" términos

Resolución: Aplicando inducción tendremos: S = 1

=

1

=

1²

=

4

=

2²

=

9

=

3²

S = 1+3+5+7

=

16

=

1 término

Resolución: Sumar los 100 elementos que conforman la matriz va a ser demasiado operativo, aplicando inducción tendremos: [ 1 ] ó suma = 1 = (1)³

S = 1+3

2 términos S = 1+3+5

# filas

3 términos 1

2

2

3

ó suma = 8 = (2)³ # filas

1 2

3

2 3

4

3 4

5

.. .

# filas

…

10

2

3

…

11

3

4

…

12

.. .

…

10 11 …

.. .

.. .

.. .

S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... =

.. .

2

.. .

4 términos

ó suma = 27 = (3)³

1

4²

n²

n términos \ La respuesta es n²

\ suma = (10)³ = 1000...