Induktion-aufgaben-loesungen PDF

Preview

Summary

Download Induktion-aufgaben-loesungen PDF

Description

° c 2007 by Rainer M¨ uller - http://www.eMath.de

1

Aufgaben zur vollst¨ andigen Induktion Wenn nichts anderes angegeben ist, dann gelten die Behauptungen f¨ur n ∈ IN= {1; 2; 3; ...}. A)

Teilbarkeit:

1) n2 + n ist gerade (d.h. durch 2 teilbar). 2) n3 + 2n ist durch 3 teilbar. 3) 4n3 − n

ist durch 3 teilbar.

4) n3 − n ist durch 6 teilbar. 5) 2n3 + 3n2 + n ist durch 6 teilbar. 6) n3 − 6n2 + 14n ist durch 3 teilbar. 7) 3n − 3 ist durch 6 teilbar. 8) n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3

ist durch 9 teilbar.

9) 72n − 2n ist durch 47 teilbar. 10) 5n + 7 ist durch 4 teilbar. 11) 52n − 32n ist durch 8 teilbar. 12) 23n + 13 ist durch 7 teilbar. 13) 1 < a ∈ IN:

an − 1 ist durch a − 1 teilbar.

14) n7 − n ist durch 7 teilbar. 15) 3n+1 + 23n+1 ist durch 5 teilbar. 16) 3n5 + 5n3 + 7n ist durch 15 teilbar. 17) 32n + 7 ist durch 8 teilbar. 18) n3 + 5n ist durch 6 teilbar. 19) n4 − 4n2 ist durch 3 teilbar. 20) 10n + 3 · 4n+2 + 5 ist durch 9 teilbar. 21) 4n + 15n − 1 ist durch 9 teilbar. 22) 52n + 24n − 1 ist durch 48 teilbar. 23) 11n+1 + 122n−1 ist durch 133 teilbar. 24) a ∈ IN:

(2a − 1)n − 1 ist gerade.

25) a ∈ IN:

an+1 + (a + 1)2n−1 ist durch a2 + a + 1 teilbar.

26) a ∈ IN:

a2n+1 − a ist durch 6 teilbar. http://www.eMath.de

° c 2007 by Rainer M¨ uller - http://www.eMath.de B)

2

Summenwerte: 1) 1 + 2 + 3 + . . . + n =

n·(n+1) 2

2) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =

n·(n+1)·(2n+1) 6

3) 13 + 23 + 33 + . . . + n3 =

n2 ·(n+1)2 4

3

3

3

bzw.

3

1 + 2 + 3 + . . . + n = (1 + 2 + ... + n)2 n·(n+1)·(2n+1)·(3n2 +3n−1) 30

4) 14 + 24 + 34 + . . . + n4 =

5) 1 + 3 + . . . + (2n − 1) = n2 (2n−1)·2n·(2n+1) 6

6) 12 + 32 + 52 + . . . + (2n − 1)2 = 7) 1 + 4 + 7 + . . . + (3n − 2) =

n·(3n−1) 2

8) 3 + 7 + 11 + . . . + (4n − 1) = 2n2 + n 9) 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n = 2n+1 − 1 1− q n+1 1− q

10) 1 + q + q 2 + . . . + q n = a + a·q + a·q 20 31

11) 1 +

+

22 32

2

+ ... + a · q

4

+ 323 + . . . +

22(n−1) 3n

bzw.

n−1

=

qn− 1 q− 1

= a·

¡ 4 ¢n 3

12) 12 − 22 + 32 − 42 + . . . + (−1)n−1 · n2 = (−1)n−1 · n·(n2+1) bzw. 12 − 22 + 32 − 42 + . . . − (2n)2 + (2n + 1)2 = (n + 1) · (2n + 1) bzw. −12 + 22 − 32 + 42 − . . . + (2n)2 = n · (2n + 1) n·(n+1)·(n+2) 3

13) 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n · (n + 1) =

£

14) 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ... + n · n! = (n + 1)! − 1

es gilt: n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n

15) 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + ... + n · (n + 1) · (n + 2) = −

1 2

+ 31 − . . . +

17) 1 +

1 2

+

16)

1 1

1 4

+ ... +

1 2n−1

1 2n−1

−

1 2n

=

1 n+1

1 + n+2 + ... +

1 1·2

+

1 2·3

+

1 3·4

+ . . . + n·(n1+1) =

19)

1 1·3

+

1 3·5

+

1 5·7

+ . . . + (2n−1)1·(2n+1) =

20)

1 1·4

+

1 4·7

+

1 7·10

+ . . . + (3n−2)1·(3n+1) =

n 3n+1

21)

1 1·5

+

1 5·9

+

1 9·13

+ . . . + (4n−3)1·(4n+1) =

n 4n+1

22)

1 (1+3)·(1+4)

23)

4 1·3

24)

4 1·2·3

+

4 2·4

+

1 (2+3)·(2+4)

+ ... +

1 2n

n n+1 n 2n+1

1 (n+3)·(n+4)

+

4 3·5

+ . . . + n·(n4+2) =

4 2·3·4

+

4 3·4·5

+ ... +

n·(n+1)·(n+2)·(n+3) 4

1 ) 2n

= 2 · (1 −

18)

+

¤

=

n 4·(n+4)

n·(3n+5) (n+1)·(n+2)

4 (n+1)·(n+2)·(n+3)

=

(n+1)·(n+4) (n+2)·(n+3)

http://www.eMath.de

 c 2007 by Rainer M¨ uller - http://www.eMath.de 25)

12 1·3

+

22 3·5

26)

(n )

+

(n)

27)

1 21

0

+

1

+

+ 222 +

32 5·7

2

2

3 23

n(n+1) 2(2n+1)

+ . . . + (2n+1)n·(2n−1) =

(n)

+ ... +

+ ... +

(n )

n 2n

[

= 2n

n

=2−

3

(n)

es gilt:

k

n! k!·(n−k)!

=

und

(n+1 ) k

=

(n) k

+

(

n ) k−1

]

n+2 2n

n ) = n · ln (n) − ln (n!) 28) 1 · ln ( 21 ) + 2 · ln ( 32 ) + 3 · ln ( 34 ) + . . . + (n − 1) · ln ( n−1

29)

1 2!

+

2 3!

+ 4!3 + ... +

n−1 n!

=

n!−1 n!

30) 1 · 21 + 2 · 22 + ... + n · 2n = (n − 1) · 2n+1 + 2 (n )

31) (a + b)n = bn +

1

·bn−1 ·a1 +

(n) 2

·bn−2 ·a2 + ... +

n n−1

(

)

·b1 ·an−1 + an =

n ( ) ∑ n k

k=0

·ak ·bn−k

[ binomischer Lehrsatz ] f¨ur a, b ∈ IR ; n ≥ 0 32)

n ∑

(k + 1) ·

(n ) k

k=1

C)

= 2n−1 · (n + 2) − 1

Produktwerte: 1) 41 · 42 · 43 · . . . · 4n = 2n·(n+1) 2) (1 − 12 ) · (1 − 31 ) · (1 − 14 ) · . . . · (1 − n1 ) = 3) (1 − 12 ) · (1 − 32 ) · (1 − 34 ) · . . . · (1 −

n−1 ) n

4) (1 −

1 ) 22

· (1 −

1 ) 32

· (1 −

1 ) 42

· . . . · (1 −

5) (1 +

1 ) 21

· (1 +

1 ) 22

· (1 +

1 ) 24

· (1 +

6) (1 +

1 ) n+1

· (1 +

1 ) n+2

· (1 +

1 ) n+3

1 ) 28

1 n

=

1 ) n2

ur n ≥ 2 f¨ 1 n!

=

n+1 2n

· . . . · (1 +

· . . . · (1 +

f¨ ur n ≥ 2 f¨ur n ≥ 2

1 n ) 22

1 ) n+n

n+1

=

=2−

−1 22 n+1 −1 22 1 n+1

)2 = 13 + 23 + 33 + . . . + n3 7) ( 31 )2 · ( 42 )2 · ( 53 )2 · ( 46 )2 · . . . · ( n+1 n−1 8) (1 + 21 ) · (1 + 22 ) · (1 + 23 ) · . . . · (1 + n2 ) = 1 + 2 + 3 + . . . + n + (n + 1) D)

Ungleichungen: 1) n2 − 2n − 1 > 0 f¨ ur n ≥ 3 2)

1 1+n

+

1 1+(n+1)

1 + . . . + 1+(2n−1) +

1 1+(2n)

>

3)

1 1+n

+

1 1+(n+1)

1 + . . . + 1+(3n−1) +

1 1+(3n)

>1

13 24

4) 2n > n + 1 f¨ ur n ≥ 2 5) 2n > n2 f¨ur n ≥ 5 6) 2n > n3 f¨ur n ≥ 10 7)

n 2

8)

√1 1

(a + b)n f¨ ur n ≥ 2; a = b; a + b > 0 http://www.eMath.de

° c 2007 by Rainer M¨ uller - http://www.eMath.de 10) n! > 2n 11)

4 n+1 n

<

4

f¨ur n ≥ 4

(2n)! (n!)2

f¨ur n ≥ 2

12) 1 · 20 + 2 · 21 + 3 · 22 + ... + n · 2n−1 > (n + 1) · n2 f¨ur n ≥ 5 13) 1 + 12 + 13 + 41 + 15 + . . . + 21n ≥ 1 + √ √ 14) n · n > n + n f¨ ur n ≥ 3 15) 11 · 22 · 33 · . . . · nn ≤ n 16) 1 +

1 √ 2· 2

+

1 √ 3· 3

n 2

n·(n+1) 2

+ ... +

1√ n· n

< 3 − √2n f¨ur n ≥ 2

17) (1 + x)n > 1 + n · x f¨ ur x > −1 ; x 6= 0 18) (1 + x)n ≤ 1 + (2n − 1) · x f¨ur 0 ≤ x ≤ 1 E)

(Rekursive) Folgen:

1) a1 = 2; an+1 = 2 −

1 an

; dann gilt: an =

n+1 n

2) a1 = 2; an = an−1 + n · 2n ; dann gilt: an = (n − 1) · 2n+1 + 2 3) a1 = 2; an+1 =

1 2

· (2 + a1n ) ; dann gilt:

1 2

≤ an ≤ 2

√ √ 4) a1 = 2; an+1 = 2 + an ; dann gilt: an ≤ 2

5) F¨ ur die Glieder der Fibonacci-Folge F1 = 1; F2 = 1; Fn+1 = Fn + Fn−1 gilt: a) 1 + F1 + F2 + . . . + Fn = Fn+2 b) F12 + F 22 + . . . + F n2 = Fn · Fn+1 c) Fm+n = Fm−1 · Fn + Fm · Fn+1 2 d) F2n+1 = Fn2 + F n+1 2 2 2 2 = Fn2 · Fn+3 + 4 · F n+1 · Fn+2 e) F2n+3 2 f) F n2 + Fn · Fn+1 − Fn+1 = (−1)n+1 g) Fn+1 · Fn−1 − Fn2 = (−1)n

F)

Ableitungen:

ur f (x) = eax+b gilt: f (n) (x) = an · eax+b 1) F¨ 2) F¨ ur f (x) = (ex − t)2 gilt: f (n) (x) = 2n · e2x − 2t · ex ur f (x) = −(x + 2) · e−x gilt: f (n) (x) = (−1)n−1 · (x + 2 − n) · e−x 3) F¨ ¡ ¢ ur f (x) = x2 · ex gilt: f (n) (x) = x2 + 2nx + n(n − 1) · ex 4) F¨ ur f (x) = ln 1+x gilt: f (n) (x) = (−1)n−1 · (n − 1)! · 5) F¨ 1−x

1 (1+x)n

+ (n − 1)! ·

1 (1−x)n

ur fn (x) = x−n gilt: fn′ (x) = −n · x−n−1 6) F¨ 7) F¨ ur f (x) =

1 ax+b

8) F¨ ur f (x) =

x 2−x

gilt: f (n) (x) = (−1)n ·

an ·n! (ax+b)n+1

gilt: f (n) (x) = (−1)n+1 · 2 · n! ·

1 (x−2)n+1

ur f (x) = sinh (a · x) gilt: f (2n) (x) = a2n · sinh (a · x) 9) F¨

£

sinh(z) =

ez −e−z 2

¤

ur f (x) = sin (a · x) gilt: f (2n) (x) = (−1)n · a2n · sin (a · x) 10) F¨ http://www.eMath.de

° c 2007 by Rainer M¨ uller - http://www.eMath.de G)

5

Sonstiges:

1) Zeige: n Elemente kann man auf 1 · 2 · 3 · . . . · n = n! verschiedene Arten anordnen. 2) Wieviele Diagonalen gibt es in einem ebenen, konvexen n-Eck? Zeige: es gibt

n·(n−3) 2

Diagonalen.

3) Eine Gerade zerlegt die Ebene in zwei Gebiete. In wieviele Gebiete kann die Ebene durch n Geraden h¨ochstens zerlegt werden? Zeige: man kann die Ebene in h¨ochstens

n2 + n + 2 2

Gebiete zerlegen.

4) Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck? Zeige: die Winkelsumme in einem konvexen n-Eck ist (n − 2) · 180◦ . 5) Wieviele Elemente enth¨alt die Potenzmenge einer n-elementigen Menge? Zeige: die Potenzmenge enth¨alt 2n Elemente. 6) Zeige das ,,Schubfachprinzip”: Werden n Objekte in k F¨acher gegeben, wobei k < n ist, dann enth¨alt mindestens eines der F¨acher mehr als eines der Objekte. 7) p teilt np−1 − 1, wenn p prim ist und ggT(n, p) = 1 gilt (sogenannter ,,kleiner Fermat”). 8) Zeige 1010...1010(2) = 2·(4 3−1) Dabei steht die Zifferngruppe 10(2) genau n-mal hintereinander (im Zweiersystem). n

9) Zeige: mit der Matrix  1 1 0 A= 0 1 1  0 0 1 

gilt: 

1  0 An = A • A • . . . • A = | {z } 0 n St¨uck

n 1 0

n·(n−1) 2

n 1

 

10) Zeige: mit der Matrix  1 0 0 A= 0 0 1  0 1 0 

gilt: 

1  0 = A =A • A • . . . • A | {z } 0 n St¨uck n

0

0

1+(−1)n 2 1−(−1)n 2

1−(−1)n 2 1+(−1)n 2

 

http://www.eMath.de

° c 2007 by Rainer M¨ uller - http://www.eMath.de

6

11) Zeige: mit der Matrix 

1 −1 A =  −1 1 1 −1

 1 −1  1

gilt: 

1 n−1  − 1 = 3 · An = A • A • . . . • A | {z } 1 n St¨uck

 −1 1 1 −1  −1 1

12) Seien x1 , x2 , ... , xn−1 , xn > 0 positive reelle Zahlen mit x1 · x2 · · · · · xn−1 · xn = 1. Zeige: Dann gilt x1 + x2 + ... + xn−1 + xn ≥ n.

http://www.eMath.de

Aufgaben zur vollständigen Induktion – Beweise A. Teilbarkeit A 1:

n2 + n ist eine gerade (d. h. durch 2 teilbare) Zahl für alle n ≥ 0

Induktionsanfang: n = 0: 02 + 0 = 0 ist eine gerade Zahl Induktionsvoraussetzung: Es gelte die Induktionsvoraussetzung: n2 + n ist eine gerade Zahl Zu zeigen:

Die Behauptung gilt auch für (n+1), also zu zeigen: (n+1)2 + (n+1) ist eine gerade Zahl.

Beweis des Induktionsschlusses: (n+1)2 + (n+1) = n2 + 2n + 1 + n + 1 = n2 + 3n + 2 = (n2+n) + (2n+2) = (n2+n) + 2(n+1) ist eine gerade Zahl, weil der erste Summand gerade ist nach Induktionsvoraussetzung und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 2 ist.

Bei allen folgenden Aufgaben werden lediglich noch der Induktionsanfang und der Induktionsschluss aufgeschrieben. Auf das nochmalige Aufschreiben der Induktionsvoraussetzung wird verzichtet, da das Prinzip immer das gleiche ist. A 2:

n3 + 2n ist durch 3 teilbar für alle n ≥ 0

Induktionsanfang: n = 0: 03 + 2·0 = 0 ist durch 3 ohne Rest teilbar. Induktionsschluss: (n+1)3 + 2(n+1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 + 2n + 2 = n3 + 3n2 + 5n + 3 = (n3 + 2n) + (3n2 + 3n + 3) = (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1) ist durch 3 teilbar, da der erste Summand durch 3 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 3 ist.

http://www.eMath.de

A 3:

4n3 – n ist durch 3 teilbar für alle n ≥ 0

Induktionsanfang: n = 0: 4·03 – 0 = 0 ist durch 3 ohne Rest teilbar. Induktionsschluss: 4(n+1)3 – (n+1) = 4(n3 + 3n2 + 3n + 1) – n – 1 = 4n3 + 12n2 + 12n + 4 – n – 1 = 4n3 + 12n2 + 11n + 3 = 4n3 – n + 12n2 + 12n + 3 = (4n3 – n) + 3(4n2 + 4n + 1) ist durch 3 teilbar, da der erste Summand durch 3 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 3 ist.

A 4:

n3 – n ist durch 6 teilbar für alle n ≥ 0

Induktionsanfang: n = 0: 03 – 0 = 0 ist durch 6 ohne Rest teilbar. Induktionsschluss: (n+1)3 – (n+1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 – n – 1 = n3 + 3n2 + 2n = n3 – n + 3n2 + 3n = (n3 – n) + 3n(n+1) Der erste Summand (n3 – n) ist durch 6 teilbar nach Induktionsvoraussetzung. Der zweite Summand 3n(n+1) ist durch 3 teilbar und durch 2 teilbar, da entweder n oder die darauf folgende natürliche Zahl (n+1) eine gerade Zahl ist. Ist aber eine Zahl durch 2 und durch 3 teilbar, dann ist sie auch durch 6 teilbar. Da beide Summanden durch 6 teilbar sind, muss auch die Summe durch 6 teilbar sein.

A 5:

2n3 + 3n2 + n ist durch 6 teilbar für alle n ≥ 0

Induktionsanfang: 2·03 + 3·02 + 0 = 0 ist durch 6 ohne Rest teilbar. Induktionsschluss: 2(n+1)3 + 3(n+1)2 + (n+1) = 2(n3 + 3n2 + 3n + 1) + 3(n2 + 2n + 1)+ (n + 1) = 2n3 + 6n2 + 6n + 2 + 3n2 + 6n + 3 + n + 1 = 2n3 + 9n2 + 13n + 6 = 2n3 + 3n2 + n + 6n2 + 12n + 6 = (2n3 + 3n2 + n) + 6(n2 + 2n + 1) ist durch 6 teilbar, da der erste Summand durch 6 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 6 ist.

http://www.eMath.de

A 6:

n3 – 6n2+ 14n ist durch 3 teilbar für alle n ≥ 0

Induktionsanfang: n = 0: 03 - 6·02 + 14·0 = 0 ist durch 6 ohne Rest teilbar. Induktionsschluss: (n+1)3 - 6(n+1)2 + 14(n+1) = (n3 + 3n2 + 3n + 1) - 6(n2 + 2n + 1) + 14(n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 - 6n2 - 12n - 6 + 14n + 14 = n3 - 3n2 + 5n + 9 = n3 – 6n2 + 14n + 3n2 – 9n + 9 = (n3 - 6n2 + 14n) + 3(n2 - 3n + 3) ist durch 3 teilbar, da der erste Summand durch 3 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 3 ist.

A 7:

3n – 3 ist durch 6 teilbar für alle n ≥ 1

Induktionsanfang: 31 – 3 = 0 ist durch 6 ohne Rest teilbar. Induktionsschluss: 3n+1 – 3 = 3·3n – 3 = 2·3n + 3n – 3 = (2·3n) + (3n–3) = (2·3·3n-1) + (3n–3) = (6·3n-1) + (3n–3) ist durch 6 teilbar, da der zweite Summand durch 6 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung und der erste Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 6 ist (wegen n ≥ 1 ist 3n-1 eine ganze Zahl).

A 8:

n3 + (n+1)3 + (n+2)3 ist durch 9 teilbar für n ≥ 0

Induktionsanfang: n = 0: 03 + 13 + 23 = 9 ist durch 9 ohne Rest teilbar. Induktionsschluss: (n+1)3 + (n+2)3 + (n+3)3 = (n+1)3 + (n+2)3 + n3 + 9n2 + 27n + 27 = n3 + (n+1)3 + (n+2)3 + 9n2 + 27n + 27 = [n3 + (n+1)3 + (n+2)3] + 9(n2 + 3n + 3) ist durch 9 teilbar, da der erste Summand durch 9 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 9 ist.

http://www.eMath.de

A 9:

72n – 2n ist durch 47 teilbar für n ≥ 0

Induktionsanfang: n = 0: 70 – 20 = 0 ist durch 47 ohne Rest teilbar. Induktionsschluss: 72(n+1) – 2n+1 = 72n+2 – 2n+1 = 72n·72 – 2n·21 = 49·72n – 2·2n = 49·72n – 49·2n + 47·2n = 49(72n – 2n) + 47·2n ist durch 47 teilbar, da der erste Summand ein ganzzahliges Vielfaches der Induktionsvoraussetzung ist (das 49-fache) und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 47 ist. A 10: 5n + 7 ist durch 4 teilbar für n ≥ 0 Induktionsanfang: n = 0: 50 + 7 = 8 ist durch 4 ohne Rest teilbar. Induktionsschluss: 5n+1 + 7 = 5·5n + 7 = 4·5n + 5n + 7 = 4·5n + (5n + 7) ist durch 4 teilbar, da der erste Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 4 ist und der zweite Summand durch 4 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung. A 11: 52n – 32n ist durch 8 teilbar für alle n ≥ 0 Induktionsanfang: n = 0: 50 – 30 = 1 – 1 = 0 ist durch 8 ohne Rest teilbar. Induktionsschluss: 52(n+1) – 32(n+1) = 52n+2 – 32n+2 = 25·52n – 9·32n = 24·52n + 1·52n – 8·32n – 1·32n = (52n – 32n) + 8(3·52n – 32n) ist durch 8 teilbar, da der erste Summand durch 8 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 8 ist.

http://www.eMath.de

A 12: 23n + 13 ist durch 7 teilbar für alle n

0

Induktionsanfang: n = 0: 20 + 13 = 14 ist durch 7 ohne Rest teilbar. Induktionsschluss: 23(n+1) + 13 = 23n+3 + 13 = 8∙23n + 13 = 7∙23n + (23n + 13) ist durch 7 teilbar, da der erste Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 7 ist und der Klammerausdruck durch 7 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung. A 13: Für alle a N (a

2) ist (an–1) durch (a-1) teilbar für alle n N mit n

1

Untersuche zunächst die Behauptung A 13*: Für jedes a

n 2 ist a 1 = 1 + a + a2 + a3 + … + an-1 = a 1

n 1

ak

für alle n N mit n 1

k 0

1 Induktionsanfang: n = 1: a 1 = 1 (ganze Zahl), d. h. (a1 – 1) ist durch (a -1) teilbar. a 1

Induktionsschluss: 1 + a + a2 + a3 + … + an-1 + an = (1 + a + a2 + a3 + … + an-1) + an an 1 + an a 1 an 1 an 1 = a 1

=

=

an 1 1 a 1

Wegen Behauptung A 13* ist der Quotient

an qed,

a n 1 immer eine ganze Zahl, für alle n a 1

1, so

dass die Behauptung A 13 richtig ist. A 14: n7 – n ist durch 7 teilbar für alle n

0

Induktionsanfang: n = 0: 07 – 0 = 0 ist ohne Rest durch 7 teilbar. Induktionsschluss: (n+1)7 – (n+1) = n7 + 7n6 + 21n5 + 35n4 + 35n3 + 21n2 + 7n + 1 – n – 1 = (n7 – n) + 7(n6 + 3n5 + 5n4 + 5n3 + 3n2 + n) ist durch 7 teilbar, da der erste Summand durch 7 teilbar ist nach Induktionsvoraussetzung und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 7 ist. http://www.eMath.de

A 15: 3n+1 + 23n+1 ist durch 5 teilbar für alle n ≥ 0 Induktionsanfang: n = 0: 30+1 + 23·0+1 = 3 + 2 = 5 ist te...