Inestabilidades Hidrodinamicas PDF

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Los siguientes apuntes presentan una esquematización de las inestabilidades hidrodinamicas mas representativas....

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INESTABILIDADES ´ HIDRODINAMICAS FACULTAD DE CIENCIAS GRADO EN F´ISICA ´ DE FLUIDOS Y PLASMAS CINETICA ´ MARCOS AUTOR: ALEJANDRO ALVAREZ

´ Indice ´ 1. INTRODUCCION

2

2. INESTABILIDAD KELVIN-HELMHOLTZ ´ DE LOS MODOS NORMALES . . . . . . . . . . . 2.1. ANALISIS

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3. INESTABILIDAD RAYLEIGH-TAYLOR

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´ 4. INESTABILIDAD RAYLEIGH-BENARD

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5. INESTABILIDAD DE JEANS

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6. OTRAS INESTABILIDADES

19

7. BIBLIOGRAF´ IA

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1

1.

´ INTRODUCCION

En la f´ısica de sistemas din´amicos podemos encontrar sistemas en equilibrio estable o inestable. Y como sabemos en la naturaleza para que se pueda observar un estado estacionario, este debe de ser estable, es decir si alguna perturbaci´on incide en el sistema este tendr´a que recuperarse y volver a su estado original. Afortunadamente o desgraciadamente la naturaleza est´a dotada de una infinidad de fuentes de perturbaciones. Como sabemos la manera de caracterizar si un estado es inestable es si una peque˜ na perturbaci´on en el sistema empieza a crecer con el tiempo. En cuyo caso, tendr´ıa pocas posibilidades de ser observador en la naturaleza. Por el contra, si la perturbaci´ on no crece ni decrece con el tiempo se dice que el sistema es neutralmente estable. Y un sistema es estable cuando las perturbaciones disminuyen o existe la posibilidad de oscilaciones u ondas sobre el equilibrio de la configuraci´ on. El origen de las inestabilidades en un sistema f´ısico puede ser muy variado y suele entra˜ nar mucha complejidad su resoluci´on, sobre todo matem´aticamente. De todas formas a lo largo del trabajo abordaremos distintos tipos de inestabilidades. Estas inestabilidades se estudian debido a la gran importancia que tienen en determinados fen´omenos f´ısicos en todas las escalas de la materia. Por ejemplo para explicar la riqueza de la estructura en im´ agenes astron´omicas. Tambi´en algunas inestabilidades son responsables de procesos tan fundamentales como la convecci´ on en las estrellas y la creaci´ on del estado multif´ asico del medio interestelar e incluso responsables de la construcci´on de bloques como galaxias y estrellas.

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2.

INESTABILIDAD KELVIN-HELMHOLTZ

Una de las inestabilidades m´as conocidas en mec´anica de fluidos es la inestabilidad Kelvin-Helmholtz la cual puede ocurrir cuando hay una diferencia de velocidad en la interfaz de dos fluidos. Vamos a centrar nuestro estudio sobre la superficie que separa los dos fluidos, ubicada en y = 0 en el estado no perturbado. Se asume que la velocidad inicial dada en el plano X-Y es: 1 ( U, 0) si y < 0; 2

1 (− U, 0) si y > 0 2

(1)

Y ya sabemos que cuando nos enfrentamos a un sistema din´ amico muchas veces tenemos que linealizar. Por lo que suponemos que debido a la perturbaci´on la superficie de la discontinuidad est´ a deformada y descrita por: y = ξ(x, t) Y tanto arriba como deba jo de la superficie se supone que el flujo es irrotacional y que el potencial velocidad se expresa como: 1 Φ = − Ux + φ1 (x, y, t) si y > ξ 2

(2)

o´ 1 Φ = Ux + φ2 (x, y, t) si y < ξ 2

(3)

Donde los φ′ s son potenciales de perturbaci´ on que satisfacen las siguientes ecuaciones: ∇2 φ1 = 0; ∇2 φ2 = 0 La velocidad en el espacio medio superior se expresa: 1 (u, v) = ( U + ∂x φ1 , ∂y φ1 ) 2

3

(4)

La condici´ on frontera de la velocidad en la superficie ”y” es: 1 ξt + (− U + ∂x φ1 )ξx = ∂y φ1 2

(5)

Y linealizando esto respecto a la peque˜ na perturbaci´ on (ξ, φ1 ) tenemos: 1 ξt − Uξx = ∂y φ1 |y=0 2

(6)

Para la mitad inferior la condici´on queda: 1 ξt + Uξx = ∂y φ2 |y=0 2

(7)

Adem´ as necesitamos una condici´ on m´as para la presi´on. 1 p = C − ρ(∂t φ + (u2 + v 2 ) + gy); donde C es una constante. 2

(8)

Denotando p1 como la presi´on en la parte superior y p2 en la parte inferior. Por tanto, si p1 = p2 obtenemos la siguiente ecuaci´ on linealizada. 1 1 ∂t φ1 − U∂x φ1 = ∂t φ2 + U∂x φ2 ; 2 2

2.1.

en y = 0

(9)

´ ANALISIS DE LOS MODOS NORMALES

Se pueden resolver las tres ecuaciones lineales a las que hemos llegado, (6), (7) y (9). Y determinar las funciones ξ y las φ′ s a partir de las cuales se encuentra la estabilidad del sistema. Como todos los coeficientes de las

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ecuaciones son constantes podemos llevar a cabo el an´ a lisis de los modos normales y expresar las perturbaciones de las siguientes formas: ξ = A eσt eikx; φ1 = B1 eσt eikx−ky ; φ2 = B2 eσt eikx+ky

(10)

Donde A, B1 y B2 son constantes y vemos f´acilmente que si y → ∞ , φ1 → 0 y lo mismo para φ2 cuando y tiende a menos infinito. Pues sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones mencionadas anteriormente llegamos a la siguiente forma:    s− k 0 A 1  s+ 0 −k   B1  = 0; s± = σ ± ikU (11) 2 0 −s− s+ B2 Tenemos encima un problema de valores propios, pero no vamos a mostrar su resoluci´ on sino que presentaremos directamente la soluci´ on. Llegamos a que: σ = ± 12 kU ; k 6= 0 Destacar que este an´ alisis de modos normales es equivalente a realizar un an´ alisis de Fourier respecto a la coordenada “x” del espacio. La forma de la superficie viene dada por la parte real: ξ = A eσt cos(kx) A su vez la parte imaginaria tambi´en constituye una soluci´ on. Esta soluci´ on representa el crecimiento y decaimiento de los modos normales con el tiempo. Por tanto la conclusi´ on inmediata que se extrae es que la superficie que separa los dos fluidos es inestable y las olas sinusoidales crecen con el tiempo a lo largo de la hoja. Y finalmente se desarrolla una matriz secuencial de remolinos, esto se llama la inestabilidad Kelvin-Helmholtz. Este fen´ omeno f´ısico ha sido muy estudiado debido a su presencia visual puesto en casi todos los niveles de la atm´ osfera lo podemos encontrar. Genera nubes en forma de espiral en la vertical, que denotan la existencia de una gran cizalladura atmosf´erica. La cizalladura cuantifica la variaci´ on de velocidad en el fluido con la distancia.

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3.

INESTABILIDAD RAYLEIGH-TAYLOR

Esta inestabilidad aparece cuando el sistema se compone de una configuraci´ on estratificada inestable de capas de fluidos que vuelcan ba jo la influencia de la gravedad. Se puede ver como un caso particular de la inestabilidad anterior Este fen´ omeno se observar en muchos campos como astrof´ısica, meteorolog´ıa, la ciencia oce´anica y los procesos industriales. Consideramos dos fluidos uno encima del otro en reposo bajo la influencia de un campo gravitacional. El que est´ a por encima tiene una densidad superior al que est´ a deba jo. Prestaremos atenci´ on a las perturbaciones que tienen lugar en la interfaz de los dos fluidos y planteamos el problema, por tanto, en dos dimensiones. El fluido es incomprensible e irrotacional por simplicidad del problema. Y como consecuencia de esta hip´ otesis podemos describir el campo de velocidad por un potencial: u = −∇φ Quedando la ecuaci´on de impulso euleriano: −∇

1 p ∂φ + ∇( u2 ) = −∇( ) − ∇Ψ ∂t 2 ρ

(12)

Donde Ψ es el potencial gravitacional. Esto puede ser integrado para dar: −

∂φ 1 2 p + u + + Ψ = F (t) ρ ∂t 2

(13)

Asumimos que hay velocidades U y U’ en la direcci´on ”x”. Donde ξ(x, t) y nuestro objetivo ser´ a ver si la perturbaci´ on crece, decae u oscila con el tiempo. El potencial de velocidad podemos escribirlo como: φ = −Ux + ψ ∇2 ψ = 0. Como resultado de aplicar:∇.u = 0 Igualmente para el fluido superior:φ′ = −U ′ x + ψ′ ∇2 ψ′ = 0. Estas per-

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turbaciones de velocidad son causadas por deslizamientos de la intercara. Si tomamos un elemento de fluido su velocidad vendr´ a dada por: −

∂ψ ∂ξ ∂ξ = +U ∂x ∂z ∂t

(14)

En z=0, a primer orden de perturbaciones y exactamente tenemos la misma forma para el fluido superior: −

∂ψ ′ ∂ξ ∂ξ = + U′ ∂x ∂z ∂t

(15)

Como estamos linealizando las perturbaciones, cualquier perturbaci´ on arbitraria se puede escribir de esta manera: ξ = A ei(kx−wt) Las ψ′ s tienen la misma dependencia en el tiempo y espacio que ξ, pero ambas deben satisfacer la ecuaci´on de Laplace y establece la dependencia en la coordenada ”z”. ψ = C ei(kx−wt)+kz ; ψ′ = C ei(kx−wt)−kz

(16)

Los signos de kz se han elegido para que las perturbaciones no crezcan exponencialmente, a medida que nos alejamos de la intercara. Y sustituyendo estas tres expresiones en las ecuaciones (14) y (15), donde llegamos a dos ecuaciones con tres variables desconocidas: i(kU − w)A = −kC ; i(kU ′ − w)A = −kC ′

(17)

Por lo que debemos recurrir a la ecuaci´on de la presi´ on. Y la presi´ on para el fluido inferior. p = −ρ(−

∂ψ u2 + + gξ) + ρF (t) 2 ∂t

(18)

Donde el potencial gravitacional se ha escrito como gξ. Tras eso se utiliza una expresi´ on similar para el fluido superior llegamos a: ρ(−

∂ψ u2 ∂ψ ′ u′2 + + + gξ) = ρ′ (− + gξ) + K 2 2 ∂t ∂t 7

(19)

En z = 0, donde K = ρF (t)–ρ′ F ′ (t). Y combinando las ecuaciones, salt´andonos la parte algebraica del desarrollo, llegamos a un resultado general: w ρU + ρ′ U ′ g ρ − ρ′ ρρ′ (U − U ′ )2 1/2 − = ] ± [ k (ρ + ρ′ )2 k ρ + ρ′ ρ + ρ′

(20)

Aplicando este resultado a casos particulares obtendremos:

ONDAS DE GRAVEDAD

Tomamos dos fluidos en reposo con ρ′ < ρ. Entonces la perturbaci´ on se mueve como una ola, ondas de gravedad superficial. La velocidad depender´ıa del n´ umero k y para distintas longitudes de onda tendr´a diferentes velocidades. s w g ρ − ρ′ =± (21) k k ρ + ρ′ La velocidad, v = wk . Si ρ′ Fvisc Tomamos el radio como R=1/2. Y obtenemos el siguiente criterio: Ra =

α∆T ga3 72 = Rac > A νκ

(28)

Donde el radio Ra es conocido como el n´ umero de Raileigh. Para que la inestabilidad se active este radio, Ra, debe exceder al valor cr´ıtico Rac. Experimentalmente se obtuvo para Rac un valor de 1708.

Soluci´ on del problema Rayleigh-B´ enard en dos dimensiones

Experimentalmente, justo por encima del umbral de inestabilidad, se observan rollos cil´ındricos que est´an distribuidos uniformemente y cada uno de secci´ on transversal aproximadamente circular. Cada rodillo rota en direcci´ on opuesta de sus adyacentes vecinos. Haciendo uso de este resultado y asumiendo una superficie de l´ıquido de extensi´ on infinita en ambas direcciones. Podemos representar la velocidad vertical de convecci´ on mediante una funci´ on peri´ odica. vy (x, t) = vy0 (t)cos(kx) 12

(29)

Seleccionamos k = π/a, como vector de onda. Siendo “a” el di´ametro circular de los cilindros. Esta formulaci´ on simplificada corresponde un an´alisis en t´erminos de modos normales, buscando una soluci´ on para diferentes componentes de Fourier del vector de ondas k. Y mediante este an´ alisis vamos a estimar te´ oricamente el n´ umero cr´ıtico de Rayleigh. Las ecuaciones que describen el transporte vertical de velocidad y de calor son: 1 ∂p ∂vy ∂vy = ν∇2 vy − + vy −g ρ ∂y ∂t f ∂y

(30)

∂T ∂T = κ∇2 T + vy ∂y ∂t

(31)

En orden cero de perturbaciones, vy = 0, y la temperatura var´ıa linealmente con y. Esto representa el estado del sistema en ausencia de convecci´on, por debajo del valor cr´ıtico de Rayleigh. En tal caso, donde la transferencia de calor ocurre simplemente por conducci´ on, la velocidad, la presi´ on y la temperatura obedecen a: vy = 0; p0 = constante − ρf 0 gy; T0 = T2 −

∆T y a

(32)

En primer orden de perturbaciones las ecuaciones se expresan as´ı: T (x, y, t) = T0 (y) + θ(x, t)

(33)

p(x, y, t) = p0 (y) + δp(x, t)

(34)

ρf (x, y, t) = ρf 0 (y) + ρf 0(x, t)

(35)

Trabajando con estas expresiones y las dos ecuaciones anteriores llegamos a las siguientes relaciones. δρf ∂p0 = −αgθ ρf20 ∂y

(36)

∂vy = ν∇2 vy − αgθ ∂t

(37)

13

∂θ ∆T + κ∇2 θ = vy a ∂t

(38)

La segunda y tercera ecuaci´on representa el l´ımite de la perturbaci´ on en el problema Rayleigh-Benard. Buscamos una soluci´on que tenga la siguiente forma dependiente con el tiempo: vy0 = v0 eσt Analizando este t´ ermino, eσt vemos que una perturbaci´ on infinitesimal en la velocidad crece o se aten´ ua exponencialmente (σ > 0 si ∆T > ∆Tc y σ < 0si ∆T < ∆Tc). Por tanto el valor σ = 0 corresponde a la inestabilidad umbral y ocurre cuando ∆T = ∆Tc. Corresponde con alguna fluctuaci´ on en el campo de velocidad. Ocurre de manera similar en la variaci´on de la temperatura. T (x, y, t) = T0 (y) + θ(x, t) = T0 (y) + θ0 cos(kx) eσt

(39)

Con esta expresi´ on y la de vy , expuesta al principio de este apartado, trabaj´andolas podemos llegar al siguiente resultado. σθ0 = −κk 2 θ0 +

∆T vy a

(40)

El t´ermino αgθ0 representa la modulaci´on de la fuerza de flotaci´on en el l´ıquido por la variaci´on peri´odica de temperatura en el plano horizontal. De las ecuaciones anteriores son homog´eneas en v0 y θ0 si: (σ + νk 2 )(σ + κk 2 ) = αg

∆T v0 a

(41)

Espec´ıficamente al comienzo de la convecci´ on (σ = 0), la ecuaci´ on para el l´ımite es: ∆Tc νκk 4 = (∇Tc) = a αg

14

(42)

Eso es, Rac =

α∆Tc ga3 νκ

= π 4 ≈ 97

Este valor ya vimos anteriormente que era el valor l´ımite del n´ umero de Rayleigh. Y hemos mencionado que el valor experimental es 1708. La diferencia entre los dos valores no es una sorpresa, debido a las aproximaciones que hemos recurrido. La caracter´ıstica m´as importante que hemos obtenido es la adimensionalidad del n´ umero como hemos anticipado anteriormente. Finalmente, se deber´ıa notar que para peque˜ nos valores de σ, puede ser 2 calculada de (41) despreciando σ . Por lo que conduce a: σ=

Ra − Rac νκ 2 k Rac ν + κ

(43)

En la vecindad del umbral, la tasa de crecimiento de las perturbaciones (velocidad, temperatura,. . . ) son infinitesimalmente peque˜ nas. Las continuas transici´ on de valores negativos a positivos en σ, es conocido como principio de intercambio de estabilidad. Esto caracteriza el continuo cambio del estado termodin´amico de intercambio de difusi´on de calor por debajo del umbral a un orden de convecci´on din´ amica por encima.

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5.

INESTABILIDAD DE JEANS

En esta inestabilidad la gravedad jugar´ a un papel fundamental. Como primera aproximaci´ on se puede utilizar para explicar la formaci´ on de estrellas a causa del colapso de nubes de gas interestelar. Usaremos las siguientes ecuaciones: ∂ρ + ∇(u.ρ) = 0 ∂t

(44)

1 ∂u + u ∇.u = − ∇p − ∇Ψ ∂t ρ

(45)

∇2 Ψ = 4πGρ

(46)

Como anteriormente, p = p0 + ∆p; ρ = ρ0 + ∆ρ; u = ∆u. Y ahora Ψ = Ψ0 + ∆Ψ. Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones de arriba obtenemos, qued´ andonos a primer orden en los t´erminos de ∆: ∂∆ρ + ρ0 ∇(∆u) = 0 ∂t

(47)

dp ∇∆ρ ∂∆u ∇∆ρ − ∇∆Ψ = −cs2 − ∇∆Ψ =− dρ ρ0 ρ0 ∂t

(48)

∇2 ∆Ψ = 4πG ∆ρ

(49)

Adem´ as tambi´en necesitamos unas ecuaciones adicionales de las cantidades no perturbadas. ∇p0 = −ρ0 ∇Ψ0

(50)

∇2 Ψ0 = 4πGρ0

(51)

16

Si p0 es una constante implica que Ψ0 tambi´en sea una constante, por tanto ρ0 = 0. Esta afirmaci´ on es equivalente a un universo est´ atico vac´ıo. Para hacer el trabajo correctamente, uno primero debe encontrar un autodistribuci´ on constante de potencial y densidad para la hidrost´atica inicial configuraci´ on y luego considerar las perturbaciones sobre esa soluci´on. Los entusiastas podr´ıan, por ejemplo, considerar una auto-gravitaci´ on isot´ ermica losa como el estado inicial de equilibrio hidrost´ atico, pero aqu´ı adoptaremos el enfoque adoptado por Jeans en 1902 y pretendemos una nube de potencial gravitacional constante de densidad uniforme satisface la ecuaciones de equilibrio. Este enfoque a veces se conoce como la ¡Jeans estafa! Tiene el m´erito de que es simple y da resultados que son cualitativamente similares a las verdaderas configuraciones de inter´es. Escribimos las perturbaciones de la siguiente manera. ∆ρ = ρ1 ekx−wt

(52)

∆Ψ = Ψ1 ekx−wt

(53)

∆u = u1 ekx−wt

(54)

Por tanto si sustituimos en las ecuaciones de las perturbaciones de encima. −ρ1 w + ρ0 ku1 = 0

(55)

−ρ0 wu1 = −cs2ρ1 k − ρ0 Ψ1 k

(56)

−k 2 Ψ1 = 4πGρ1

(57)

Tratando estas tres relaciones llegamos al siguiente resultado. w2 = cs2(k 2 −

4πGρ0 ) c2s

(58)

Seg´ un este resultado el sistema es inestable cuando 4πGρo > k 2 cs2 puesto que w es imaginario. La presi´on tiende a amortiguar las fluctuaciones de 17

densidad, pero la gravedad comprime m´ as la materia, y lo que tenemos aqu´ı es un criterio para cuando la gravedad domine. Por tanto existe una longitud de onda m´ axima estable, denominada longitud de Jeans. λms = (

πcs2 1/2 ) Gρ0

(59)

La masa contenida en esta longitud de onda, se llama masa de Jeans. 3

π 2 cs3

MJ ∼

(60)

3

G2 ρ1/2 0

En general, la ola ser´ a isot´ermica (longitud de onda larga perturbaci´ on que evoluciona lentamente generalmente), por lo que la velocidad del sonido se escribe. cs2 =

Por tanto la masa queda: MJ ∼ (

R∗ T µ

(61)

π R∗ T 3/2 1 µ ) 1/2 G ρ 0

La inestabilidad de Jeans es fundamental en el campo de la astrof´ısica, de hecho es la raz´ on b´ asica por la cual el universo no es uniforme. El colapso provoca la mayor´ıa de las estructuras del universo, desde las estrellas hasta galaxias. Es probable que hayan surgido a partir de densidades locales excesivas de masa que exceden la masa local de Jeans. Cuando tales regiones empezaron a colapsar las ondas de sonido no tendr´ıan tiempo de funcionar antes del colapso y configurar los gradientes de presi´ on necesarios para establecer un mayor colapso. Consecuentemente, la inestabilidad se vuelve no lineal, las cantidades perturbadas ya no son peque˜ nas comparadas con las cantidades no perturbadas, y el tratamiento anterior se descompone. Mediante este tratamiento no es posible identificar las regiones del universo que est´ an destinadas a convertirse en galaxias, en cambio para las estrellas si es posible. En cuanto para planetas la opini´ on est´ a actualmente dividida 18

en cuanto si la inestabilidad de Jeans jug´o un papel clave en la creaci´on de estos. Un modelo popular para la creaci´on de planetas gigantes gaseosos (como J´ upiter) es que su crecimiento inicial fue habilitado por colisiones adhesivas entre los granos de hielo en el solar primordial nebulosa, aunque otros modelos invocan una inestabilidad tipo Jeans en nebulosa para lograr el colapso inicial del proto-planeta.

6.

OTRAS INESTABILIDADES

Esta secci´ on del trabajo servir´a como menci´ on breve a algunas de las inestabilidades que no se han podido tratar puesto que este campo tiene una extensi´ on abrumadora.

INESTABILIDAD PLATEAU-RAYLEIGH Esta inestabilidad explica por qu´e y c´ omo una corriente de fluido que cae se divide en paquetes m´as peque˜ nos con el mismo volumen pero menos ´area de superficie. Est´a relacionado con la inestabilidad ...