Informe 1 - Caracterizacion de un Motor DC LEGO NXT PDF

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Caracterizacion de un Motor DC LEGO NXT...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA (SEDE BOGOT ´A)

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MODELAMIENTO DE UN MOTOR DE IMANES PERMANENTES CON ESCOBILLAS Pr´actica 1 - Informe Juan David Pi˜neros L´opez, July Gisell G´omez Fajardo, Juan Diego Ocampo Maldonado [email protected], [email protected], [email protected] a) Universidad Nacional de Colombia (Sede Bogot´ Facultad de Ingenier´ıa Departamento de Ingenier´ıa El´ectrica y Electronica ´ Laboratorio de Control

Abstract—In this session we will build the “white box”model of an Electric DC Brushed Motor. Consequently, a mathematical model will be proposed both for the electrical part and for the mechanical part of the motor, which will be the first plant to be examined in the course. This characterization will allow us to know its operating parameters in order to achieve its correct implementation within the system.

Keywords—Permanent Magnet Motor, Electric Brushed Motor, Dynamic Model, Dynamic Equation, Transfer Function, Free Runing Current, Free Runing Speed, Stall Torque, Load Torque, Stall Current, Rotor, Brushes, Switch, Wound Armature, Inertia Moment, Arduino, Pulse Width Modulation, Encoder, Duty Cycle.

I.

Figura 1. Motor LEGO NXT

ectrico del motor, El primer paso es plantear un modelo el´ el cual se observa en la Figura 2.

´N INTRODUCCI O

ıa de Los motores son una pieza fundamental en la mayor´ Sistemas de Control en la actualidad. Por lo tanto, resulta indispensable conocer sus par´ametros de funcionamiento para on dentro del sistema. Para lograr su correcta implementaci´ ello, es necesario modelarlos de tal forma que se puedan no del resto del sistema y incluir matem´aticamente en el dise˜ as´ı poderlo analizar completamente. En esta pr´actica se pretende modelar un motor de imanes permanentes con escobillas de forma apropiada, pues ser´ a Figura 2. Circuito equivalente de un motor DC con imanes permanentes y utilizado en futuros sistemas de control mec´ anicos, por lo escobillas. Tomado de [1] tanto el modelado debe ser coherente y acertado tanto la parte ectrica. mec´anica como en en lo que respecta a la parte el´ II-B. Modelo din´ amico el´e ctrico de un motor DC con imanes permanentes con escobillas II.

´ MARCO T E ORICO

II-A. Circuito equivalente de un Motor DC de imanes permanentes con escobillas El motor que se va a trabajar corresponde a un Motor LEGO NXT de 7V, compuesto por tres servo motores internos y un juego de pi˜nones que aumentan el torque de salida. El modelo se puede observar en la Figura 1.

V (t) = Ra i(t) + La

di(t) + Ea dt

Ea = Ke ω(t) Donde: Vt : Tension ´ aplicada a la armadura [V] Ra : Resistencia de la armadura [Ω] La : Inductancia de la armadura [H] Ea : Tension ´ de la armadura [V]

(1) (2)

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Vs Ke : Constante de la fuerza contra-electromotriz [rad ] on del tiempo [ rad ] ω(t): Velocidad angular en funci´ s on del tiempo [A] i(t): Corriente de la armadura en funci´

II-C. Modelo din´amico mec´anico de un motor DC con imanes permanentes con escobillas El torque del motor se puede escribir como: T (t) = Tind + Troz + TL

(3)

Km i(t) = J α + fω(t) + TL

(4)

II-E. Plataforma arduino

“Es una plataforma de desarrollo basada en una placa onica de hardware libre que incorpora un microcontroelectr´ lador re-programable y una serie de pines hembra, los que permiten establecer conexiones entre el microcontrolador y los diferentes sensores y actuadores de una manera muy sencilla [5]”.

Donde:

Donde: T (t): Torque [Nm] TL : Torque de la carga visto desde el eje del motor Tind : Torque inducido [Nm] Troz : Torque de rozamiento [Nm] J : Momento de inercia del rotor [kgm2 ] rad] α: Aceleraci´on angular [ m 2 Vs] Km : Constante de torque electromagn´ etico [ rad ] f : Coeficiente de rozamiento viscoso[ Nms rad

Figura 3. Placa Arduino UNO. Tomado de [5]

II-D. Relaci´on entre las ecuaciones mec´ anicas y el´ectricas Sabemos que la potencia de giro del eje es igual a la Esencialmente, es una placa de circuito impreso (conocida potencia el´ectrica que tiene la armadura, de esta manera como PCB por sus siglas en ingl´es) sobre la cual pueden on entre las ecuaciones podremos encontrar una relaci´ desarrollarse un gran n´ umero de aplicaciones electr´onicas mec´anicas y el´ ectricas del sistema, para as´ı saber finalmente haciendo uso de los circuitos internos de la placa sin que sea cu´al es la relaci´ on entre la constante el´ ectrica y mec´anica. necesario conocer las conexiones internas del microcontrolador que garantizan su funcionamiento. La potencia de la armadura es igual a: P a = Ea i(t)

(5)

La potencia del eje es igual a: P eje = Tind ω(t)

(6)

P a = P eje

(7)

Ea i(t) = Tind ω(t)

(8)

Por lo tanto:

Figura 4. PCB de una placa Arduino UNO

Ke ω (t)i(t) = Km ω (t)i(t)

(9)

Finalmente, encontramos que las constantes son iguales: Ke = Km = K

(10)

Tind = Ki(t)

(11)

Por lo tanto:

Existen diferentes modelos de placas Arduino en el mercado, diferenciadas entre s´ı seg´ un su tama˜no, n´umero de pines de entrada y salida, y modelo del microcontrolador (aunque todos sean tipo AVR fabricados por Atmel). Algunos de los modelos m´as conocidos son:

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haciendo que el motor gire en sentido contrario. Cabe mencionar que nunca puede suceder que los interruptores 1 y 2 o los interruptores 3 y 4 est´en cerrados al mismo tiempo, pues se cortocircuitar´ıa la fuente de tensi´on [10].

Figura 5. Algunos modelos de placas Arduino

II-E1. Modelo del microcontrolador: La referencia del microcontrolador incorporado en la placa Arduino UNO es el ATMega328P fabricado por Atmel, el cual pertenece a la Figura 6. Estructura de un Puente H. Tomado de [6] familia de microcontroladores “MegaAVR”. Otros familias son la “TinyAVR” (cuyos microcontroladores son algo m´ as Cuadro I limitados y se identifican con el nombre ATTiny) y la TABLA DE VERDAD DE UN PUEN TE H “XMega”(cuyos microcontroladores son mas capaces y se s1 s2 s3 s4 Resultado identifican con el nombre de ATXMega) [5]. II-E2. Perif´ericos: Algunos de los dispositivos de on o hardware que utiliza Arduino para comunicaci´ on externa son: almacenamiento de informaci´ Pantallas LCD Teclados Memorias Externas C´amaras Micr´ofonos Impresoras Pantallas T´actiles Pantallas de 7 Segmentos Buzzers Indicadores Luminosos II-F. Puente H

0 0 1 1 1 0 1

0 1 0 0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 1

0 0 1 0 0 1 1

Frena bajo su propia inercia Retrocede Avanza Frenado brusco Corto circuito Corto circuito Corto circuito

Adicionalmente, se deben conectar diodos polarizados en on ante inverso a los interruptores como medida de protecci´ los sobrepicos transitorios que generan las bobinas y otras cargas al desconectarse. Para este caso, esta medida de proa compuesto por tecci´on resulta fundamental pues el motor est´ bobinados. II-G. PWM: Pulse Width Modulation (Modulacion ´ por ancho de pulso) En Arduino, una se˜ nal PWM es un tipo de se˜nal de voltaje on de salida de la placa, con utilizada para modificar la tensi´ ogica. el objetivo de emular una senal ˜ anal´

onico que permite Un puente H es un circuito electr´ controlar un motor el´ectrico DC, permiti´endole girar en as, resulta muy Estas se˜nales suelen ser de tipo cuadrada o sinusoidales, en ambos sentidos (avance y retroceso). Adem´ ´util para detener el motor de manera abrupta o bajo su propia las cuales se puede modificar su ancho relativo utilizando el periodo de la se˜nal. inercia. anicos o Est´a construido a partir de 4 interruptores (mec´ transistores),en donde las diferentes combinaciones de abierto y cerrado de los 4 interruptores nos arroja diferentes tensiones de salida, a partir de las cuales realizamos el control del motor.[6]

El resultado de este cambio es llamado ciclo de trabajo erminos de porcentaje. y sus unidades est´an representadas en t´

Para emular este tipo de se˜nales se modifica el ciclo de nal sea el trabajo de modo que el valor promedio de la se˜ voltaje aproximado que se desea obtener. Por lo tanto, se aximo soportado por A partir de lo anterior tenemos que, cuando los interruptores podr´an enviar voltajes entre 0V y el m´ 1 y 4 est´an cerrados (por lo que 2 y 3 deber´ an estar abiertos) el dispositivo PWM utilizado, que en el caso de Arduino son se aplicar´a una tensi´ on positiva en el motor, haciendo que 5V. este gire en un sentido. Por el contrario, si los se abren los τ D = 100 % (12) a, interruptores 1 y 4 (y se cierran 2 y 3) el voltaje se invertir´ T

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Donde: D: Ciclo de trabajo τ : Tiempo en cual la magnitud de la senal ˜ es positiva T : Periodo de la se˜nal

gran desventaja, y es que despu´ es de un corte de energ´ıa, la posici´on absoluta es desconocida.

II-G1. Control de un Puente H por medio de PWM: Estas se˜nales se utilizan para controlar intensidad de un LED, mover servomotores y para controlar LED’s RGB y la velocidad de motores DC o motores el´ectricos de inducci´on (o asincr´onicos). Figura 9. Encoder incremental[8]

´ III. CALCULOS III-A. C´alculos con valores de la tabla Los motores cuentan con datos proporcionados por el fabricante, como lo podemos ver en la figura 10 , hallaremos las constantes que intervienen en las ecuaciones din´ amicas con los datos del Motor Lego NXT.

Figura 7. Conexi´on Puente H-Placa Arduino-Motor DC. Tomado de [7]

II-H. Encoders Son dispositivos que se conectan mec´anicamente a un eje e indican su posici´on angular. Estos dispositivos se especifican por la cantidad de pulsos por revolucion. ´ Existen dos tipos de encoders: incremental o absoluto. II-H1. Encoder absoluto: El encoder absoluto entrega la posici´on absoluta en varias salidas con un n´ umero binario.

Figura 10. Tabla de datos motor LEGO NXT

La resistencia Ra se halla con el dato de stall current1 : 7 = 4, 45Ω 1, 573 La constante K se halla con Free runing current: Ra =

(13)

7[V ] − (4, 45[Ω] ∗ 0, 1505[A]) = 10, 42x10−3 [V ∗ Seg] ] 607, 2[ rad seg (14) Para encontrar el momento de inercia del motor utilizaremos los datos de las figuras 11 y 12:

K=

Figura 8. Encoder absoluto

II-H2. Encoder incremental: El encoder incremental entrega 2 pulsos (A y B), los cuales indican 2 datos importantes: on (si el pulso A la posici´on (cantidad de pulsos) y direcci´ adelanta o retrasa al pulso B). Figura 11. F´ormulas de momento de inercia en cuerpos cil´ıındricos[2] Si se desea hacer control de velocidad de posici´ on y de 1 is the maximum current drawn, when the motor is applying its maximum velocidad este tipo de encoder es el indicado. Sin embargo, torque, either because it is being prevented from moving entirely or because hay que tener en cuenta que este tipo de encoder tiene una it can no longer accelerate given the load it is under. [4]

5

sW (s) =

KI (s) f W (s) − J J

V (t) = I(s)(Ra + sLa ) + KW (s)

(22) (23)

on Para hallar la funci´ on de transferencia velocidad/tensi´ despejamos: W (s) =

KI (s) sJ + f

(24)

Remplazando 24 en 23: Figura 12. Dimensiones del rotor[3]

V (t) = I(s)(Ra + sLa ) + Hallaremos ahora el momento de inercia del rotor, teniendo ıa que se asemeja en cuenta que el motor tiene una geometr´ mucho a la figura 11 (a), donde el radio (R1 ) corresponde a 1cm y (R2 ) a 1,5mm como podemos ver en la figura 11. Para encontrar la masa de la figura supondremos que tanto el rotor como la armadura est´an hechos del mismo h imaterial (acero al silicio) que tiene una densidad de 7650 mkg3 Por lo que: 2

2

Mrotor = πr h∗ρ = π∗0, 0015 ∗0, 03∗7650 = 1, 62[g] (15) Marmadura = πH (R2 − r2 ) ∗ ρ

K 2 I(s) sJ + f

(25)

Finalmente obtenemos: K W (s) = 2 V (s) s J La + s(JRa + f La ) + K 2 + f Ra K W (s) = (sLa + Ra )(sJ + f ) + K 2 V (s) W (s) = V (s) 1+

1/K (sLa +R a )(sJ +f ) K2

(26) (27)

(28)

La funci´on de transferencia cuando s = 0:

(16)

K (29) G(0) = Marmadura = π ∗ 0, 02(0, 012 − 0, 00152 ) ∗ 7650 = 46, 98[g] f Ra ∗ K 2 (17) Para obtener el valor de la velocidad angular sin carga Por lo tanto la inercia de cada una de las secciones se puede aplicamos el Teorema del Valor Final cuando aplicamos una calcular como: tensi´on nominal UN : 1 UN KUN (18) Jr = Mrotor ∗ 0, 00152 = 1, 8225x10−9 [kgm2 ] = UN G(0) = 2 ω = l´ım sG(s) (30) s→0 s f Ra + K 2 1 Ja = MT (0, 012 − 0, 00152 ) = 2, 375x10−6 [kgm2 ] (19) En la ecuaci´ on 28 tenemos una funci´on de transferencia 2 evidente de un sistema realimentado, por lo que podemos El coeficiente de rozamiento viscoso f utilizando la ecua- obtener el siguiente diagrama de bloques: ci´on de la corriente del motor sin carga se halla con los valores de free runing speed y free runing current: IV. S IMULACIONES   nado A continuaci´ o n se muestra el diagrama de bloques dise˜ N ms KI 10, 42x10−3 ∗ 0, 1505 = 2, 6x10−6 e implementado en Simulink para el sistema: = f= 607, 2 rad ω (20) III-B. Funciones de transferencia Con las ecuaciones el´ectricas y mec´anicas y relaciones halladas se pueden obtenerse diversas funciones de transferencia del motor sin carga. Para ello, consideraremos on viscosa. las ecuaciones que solo incorporen la fricci´ Para encontrar nuestras funciones de transferencia vamos Figura 13. Diagrama de bloques comenzar por hallar la Transformada de Laplace de la ecuaciones 1 y 21. El sistema tiene como entrada un escal´ on de valor 7, asumiendo que el motor se tiene un encendido inicial con dω Ki(t) = J + f ω(t) (21) su valor nominal de tensi´ on. Como se puede observar en la dt

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figura 14, la salida del Scope da como resultado la respuesta al escal´on del sistema.

V.

´ LISIS Y R ESULTADOS AN A

on simulada en Simulik Figura 14. Respuesta al escal´

on de De igual manera haciendo el an´ alisis de la funci´ Figura 17. Sen˜ ales de los canales A y B del encoder vistas por separado transferencia obtenida en el an´ alisis matem´atico de la Secci´on III-A, se obtiene la respuesta al escal´on en MATLAB que se Una vez energizado el motor, procedemos a analizar en el observa en la figura 15, junto con el diagrama de bode de la osciloscopio las dos salidas de los canales A y B del encoder funci´on (Figura 16). del motor (ver Figura 17). Dichas se˜ nales son ondas cuadradas con frecuencia de 365Hz aproximadamente y un desfase de 90o entre ellas. Debido a que el encoder utiliza dos se˜ nales desfasadas se llega a la conclusi´ on de que estas corresponden a un encoder de tipo incremental. Y que como el desfase entre estas es de 90o concluimos tambi´en que se trata de un encoder de cuadratura. RESPUEST A AL ESCALÓN

90

80

70

velocidad (rpm)

60

50

40

30

20

10

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

tiempo (s)

on simulada en Matlab Figura 15. Respuesta al escal´

Bode Diagram

Magnitude (dB)

50

0

-50

de los canales A y B del encoder Figura 18. Desfase entre las senales ˜

Phase (deg)

-100 0 -45 -90 -135 -180 10-1

100

101

10 2

103

104

Frequency (rad/s)

on de transferencia Figura 16. Diagrama de Bode de la funci´

105

nales Posteriormente, determinamos la relaci´ on entre las se˜ de salida del encoder y las vueltas enteras que dio el motor nal de (14) durante 10 segundos junto con la frecuencia de la se˜ salida (250 Hz) observada en el osciloscopio para establecer el n´umero de ciclos por vuelta del motor como:   Ciclos 250 Relaci´ on = 14 = 178,57 (31) V uelta 10

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on De la figura 18, tambi´en se puede deducir la direcci´ de giro del motor de acuerdo a qu´ e se˜nal est´a en adelanto on de giro las o atraso, cuando el motor cambia su direcci´ se˜nales de desfasan +90◦ o −90◦ . Adem´as la velocidad nales emitidas depende directamente de la frecuencia de las se˜ por el encoder. La posici´on del de giro depender´ a de la cantidad de pulsos que se cuenten en el tiempo t en que se desee saber la posici´ on, en este caso como tenemos un giro de 360 grados para conocer la posici´on se debe plantear una regla de 3 de acuerdo a la on de ciclos sobre vuelta de la siguiente manera: relaci´ Figura 21. Duty-Cicle configurado al 50 % en Arduino

onobtenida ciclos relaci´ = 360◦ x◦

(32)

Ahora para variar la velocidad del motor se hace uso del nal de ciclo util ´ de la se˜nal, para lo cual observamos la se˜ salida PWM del arduino con ciclo util ´ de 0 %, 25 %, 50 %, 75 % y 100 % como vemos en las Figuras 19, 20, 21, 22 y 23 respectivamente.

Figura 22. Duty-Cicle configurado al 75 % en Arduino

Figura 19. Duty-Cicle configurado al 0 % en Arduino

Figura 23. Duty-Cicle configurado al 100 % en Arduino

aximo valor Como podemos apreciar en la Figura 23, el m´ que puede tomar el ciclo util ´ de la se˜nal PWM corresponde a nal que se mantiene en estado alto 255, que representa una se˜ nal constante con y el m´ınimo a 0 que corresponde a una se˜ estado bajo. Esto debido a que el ciclo util ´ hace referencia al nal que se mantiene en estado alto. porcentaje de la se˜

Figura 20. Duty-Cicle configurado al 25 % en Arduino

En el programa que se realiz´ o en Arduino se asignaba un valor entre 0 y 255 para el ciclo util ´ de la se˜nal PWM. Debido on es de 1/255. a que la placa es de 8 bits, la resoluci´

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Aplicamos una se˜nal PWM al motor con y sin el driver (puente H). Las se˜nales en que no se utiliza el driver pueden observarse en la Figuras 19, 20, 21, 22 y 23 mientras que la se˜nal PWM despu´es del driver se muestra en las Figuras 24 y 25. Estas dos se˜nales contrastan en que cuando se aplica el nal correspondientes puente H se observan sobrepicos en la se˜ a perturbaciones causadas por el driver. Esto sucede porque el puente H funciona con transistores, los cuales cambian de estado muy r´apidamente y no permiten que la se˜ nal refleje estos cambios abruptos instant´aneamente. ya que necesita un tiempo de carga y descarga que se ve reflejado en estos picos.

Figura 26. Salida del encoder

VI.

C ONCLUSION ES

Un motor el´ectrico de corriente continua es ıa esencialmente una m´aquina que convierte energ´ el´ectrica en movimiento o trabajo mec´ anico, a trav´es de medios electromagn´eticos, que para funcionar se vale de las fuerzas de atracci´on y repulsi´on que existen entre los polos

es del Figura 24. Se n˜ al PWM con duty-cycle configurado al 50 % (despu´ driver)

Mediante modelos matem´aticos es posible conseguir on acertada del funcionamiento de un una aproximaci´ sistema o una planta como es el caso del motor LEGO utilizado en esta pr´actica. Para construir este modelo se necesitan los par´ametros de funcionamiento otorgados por el fabricante adem´as de las leyes f´ısicas que rigen su funcionamiento. El encoder es fundamental al momento de controlar on en...