Inlupp 1envar - Inlämning PDF

Preview

Summary

Inlämning...

Description

Envariabelanalys Inl¨amningsuppgift 1

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Seidon Alsaody

L¨os nedanst˚ aende tv˚ a problem, vardera v¨art 2 po¨ang. Du f˚ ar g¨arna diskutera uppgifterna med dina kollegor (under s¨akra former), men du m˚ aste skriva och l¨amna in dina egna l¨osningar. Dessa ska best˚ a av v¨alskrivna, noga motiverade resonemang som du st˚ ar f¨or, och l¨amnas in senast 2021-02-15 klockan 23.59 p˚ a respektive lektionsgrupps inl¨amningsl¨ank p˚ a Studium/Canvas.

1. Definitionen av lim f (x) = L x→a

kan f¨orst˚ as p˚ a f¨oljande s¨att: om n˚ agon ger oss en felmarginal ε > 0 kring L och kr¨aver att L − ε < f (x) < L + ε, s˚ a kan vi alltid hitta ett tillr¨ackligt litet avst˚ and δ > 0 s˚ a att det kravet ¨ar uppfyllt s˚ al¨ange a − δ < x < a + δ (utom m¨ojligen f¨or x = a). Med andra ord: vi kan v¨alja δ s˚ a att f (x) inte avviker mer ¨an ε fr˚ an L s˚ a l¨ange x befinner sig inom avst˚ andet δ fr˚ an a. H¨ar ska vi studera detta f¨or n˚ agra funktioner med egenskapen att lim f (x) = 0. x→0 1

a) Anv¨and ett datorprogram f¨or att rita upp funktionen g(x) = x sin(1/x) n¨ara x = 0. Ungef¨ar hur stort avst˚ and δ fr˚ an 0 f˚ ar x befinna sig inom f¨or att g(x) inte ska avvika fr˚ an 0 med mer ¨an ε = 0, 05? Hur blir det ist¨allet om ε = 0, 01? b) G¨or samma sak med h(x) = x2 sin(1/x) och j¨amf¨or med svaren i a). Vad blir resultatet, och varf¨or blir det s˚ a? c) G¨or samma sak med j(x) = x2 och j¨amf¨or med svaren i b). Vad ser du? Kan du f¨orklara detta med hj¨alp av n˚ agon sats fr˚ an kursen? d) Kan du l¨osa uppgiften i c) allm¨ant, dvs givet ett allm¨ant ε > 0, ber¨akna vad δ h¨ogst f˚ ar vara f¨or att j(x) inte ska avvika mer ¨an ε fr˚ an 0, s˚ a l¨ange x ¨ar inom avst˚ andet δ fr˚ an 0? (Som en extrauppgift (l¨amnas inte in!) kan du fundera ut ett resonemang med ε och δ kring varf¨or s(x) = sin(1/x) inte har n˚ agot gr¨ansv¨arde d˚ a x → 0. Tips: zooma in i grafen.) 2. I ett experiment studerar man temperaturen i en beh˚ allare, som man vill beskriva som en 3 , funktion f (t) av tiden t. Man finner att n¨ar 0 ≤ t ≤ 1 s˚ a ges temperaturen av f (t) = t+2 √ och n¨ar t ≥ 4 s˚ a ges den ist¨allet av f (t) = t. N¨ar 1 < t < 4 lyckas man inte m¨ata temperaturen p˚ a grund av ett tekniskt fel. Laboratorieassistenten best¨ammer sig d¨arf¨or f¨or att anta att temperaturen i det intervallet ¨okar med konstant takt, dvs f (t) = at + b n¨ar 1 < t < 4, d¨ar a och b ¨ar konstanter. a) Antag att man fr˚ an experimentuppst¨allningen vet att temperaturen ¨ar en kontinuerlig funktion f¨or alla t > 0. Anv¨and det f¨or att best¨amma konstanterna a och b. ¨ f (t) fr˚ ¨ den deriverbar d˚ ¨ den b) Ar an a)-uppgiften deriverbar d˚ a t = 1? Ar a t = 4? Ar deriverbar f¨or ¨ovriga v¨arden p˚ a t > 0? Motivera! c) Laboratorieingenj¨oren ¨ar inte n¨ojd med assistentens arbete: f¨orutom att vara kontinuerlig ¨ detta m¨ojligt att ˚ astadkomma f¨or alla t > 0 m˚ aste f (t) vara deriverbar f¨or alla t > 3. Ar genom att ist¨allet f¨or f (t) = at + b anv¨anda f (t) = ct2 + dt + e med l¨ampliga konstanter c, d och e? Om det g˚ ar: best¨am konstanterna. Om det inte g˚ ar: f¨orklara varf¨or.

1

Till exempel www.desmos.com/calculator...