Integrales Inmediatas PDF

Preview

Summary

ejercicios...

Description

Matemáticas II - IES “Clavero Fernández de Córdoba”. Almagro

Integrales Indefinidas

INTEGRALES INDEFINIDAS. 1. INTRODUCCIÓN.  Para comenzar, como ya os he comentado hay que repasar y tener claro las derivadas.  Repasar y tener siempre a mano la tabla de las integrales, para consultarlas.  Antes de empezar, lo fundamental, lo que hay que tener claro es lo siguiente: ¡!!! La derivación es la operación inversa a la integración.!!!!

Si f(x) = sen3 (5x2)

f´(x f´(x)) = 3 · sen2 (5x2) · cos (5x2) ·10x

f(x) = sen3 (5x2) + constante

Entonces:

∫3 · sen2 (5x2) · cos (5x2) · 10x dx = sen3 (5x2) + C ¡!!!!!!!! Esto está claro claro,, lo entendéis !!!!!!!!!!!!

La función F(x) = sen3 (5x2) es una PRIMITIVA de f(x) = 3 · sen2 (5x2) · cos (5x2) · 10x porque F´(x) = f(x) f(x). (Las primitivas son las que nosotros tenemos que determinar o calcular).

1

Matemáticas II - IES “Clavero Fernández de Córdoba”. Almagro

Integrales Indefinidas

2. INTEGRAL INDEFINIDA.  La integral indefinida de una función f es el conjunto de las infinitas primitivas de f. Se representa por:

∫ f (x) dx = F(x) + C y verifica las siguientes propiedades:

1) Integral del producto de una función por un nº real (K):

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx Ejemplo:

  3x

2

(k ∈ R)

dx   3· x 2 dx

Las constantes se pueden introducir o extraer en el integrando multiplicando o dividiendo.  Si la constante está dentro de la integral, se extrae.  Si queremos introducir una constante (multiplicando), fuera se pone su inversa.

2) Integral de la suma (resta) de funciones es la suma (resta) de las integrales:

∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx Ejemplo:

±

∫ g(x) dx

2 1 dx x dx 5 ·cos 5 · cos 2 · x       x dx  5· sen x  2 Ln x  C x

2

Matemáticas II - IES “Clavero Fernández de Córdoba”. Almagro

Integrales Indefinidas

3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. 3.1.- INTEGRACIÓN INMEDIATA. En general, para hacer la integral inmediata de una función compuesta, el integrando tiene que estar formado por:  Una función f(x) (potencial, exponencial, logarítmica, trigonométrica o arco) arco);  La derivada, f´(x), que variará según sea la función anterior y que sólo se puede ajustar con constantes (la parte variable tiene que aparecer).  dx dx,, que indica la variable de integración. Es decir:

∫función· f´(x) · dx = F(x) + C

∫3 · sen2 (5x2) · cos (5x2) · 10x · dx =

Cte f(x) = sen (5x2) f´(x)

sen3 (5x2) + C

F(x)

????? Esto es lo que vamos a aprender

¡!! EMPEZAMOS A INTEGRAR POR ORDEN SEGÚN LA TABLA!!!

3

Matemáticas II - IES “Clavero Fernández de Córdoba”. Almagro

I.

Integrales Indefinidas

INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL.

f es la base de la función potencial:

x5 C Ejemplo-1: Primitiva simple:   3 x dx   3·  x dx   3· 5 4

4

5 1 x 1 5 2 5 · 5 · 5 ·  C Ejemplo-2: Primitiva simple:  2 dx    2 dx    x   x x 1 x

Ejemplo-3: Primitiva compuesta:

2 53  ( 2 x  7)  4 x dx 

f

a

(2 x 2  7) 54  C (C  ) 54

f´

Ejemplo-4: Primitiva compuesta: Integral de un una a función raíz. 1) La podemos transformar en potencial potencial,, 1



x2  7 · 3x dx   (x 2  7) 3 · 3x dx

3

2) Ahora:

f (x) = x2 – 7

f´(x) = 2x

y

a =1/3

Para hacer la integral, necesitamos dentro de la integral: f´(x) = 2x. Esto lo conseguimos mediante un ajuste con constantes de la siguiente forma: 1

(x

2

 7) 3 · 3 x dx 

3 · 2

 (x

2

1 3

3 ( x  7) · 1 2 1 3 2

 7) · 2 x dx 

1 1 3



4 3

3 (x  7) · C 4 2 3 2

4

9  · ( x 2  7) 3  C 8

Extraemos el 3 Introducimos 2 y extraemos 1/2

4

Matemáticas II - IES “Clavero Fernández de Córdoba”. Almagro

Integrales Indefinidas

Haz los siguientes ejercicios y los señalados del libro (mira luego la solución).

1)

 (4 x

3



6 ) dx x3



3 4 3 2) 3x  ( x  1) dx

3)   2· x dx  Ejercicios de Integrales - Libro

5...