Intimpropiapractica - una cosa de lcos peor este orograma necesita edato dasdas sadasias asdasd asdasd PDF

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Integrales impropias

° c

Ejercicios resueltos 2000 CRESLINE, S.L.

Integrales impropias Estudiar la convergencia de la integral impropia

w w w .a pr en de s. co m

Ejercicio 1:

Z +∞

cos 2x dx

0

y en caso de convergencia, calcular su valor.

Solución:

Para

b > 0,

Z

se tiene

b

cos 2x dx =

0

Z +∞

En consecuencia,

0

1

2

1

b

[sin 2x]0 =

cos 2x dx =

1

lim

b→

+∞ 2

límite que no existe, ya que el seno oscila entre

2

sin 2b

sin 2b,

−1 y 1, al tender b hacia +∞.

Ejercicio 2:Estudiar la convergencia de la integral impropia Z +∞ 1

1 + x2

−∞

dx

y en caso de convergencia, calcular su valor.

Solución: Z∞

1

−∞

1 + x2

dx

= =

Z0

1

Z

2 −∞ 1 + x Z0 lim

c → −∞

=

−

=

− −

c

dx + 1

1 + x2

lim (arctan

c → −∞

³ π´ 2

+

π 2

1

=

∞

1

1 + x2

0

Z

dx +

c) + π.

dx =

lim

c→∞

0

c

1

1 + x2

lim (arctan c) =

c→∞

dx =

Ejercicio 3:

Estudiar la convergencia de la integral Z 2

dx , 1 (x − 1)1/3

w w w .a pr en de s. co m

y en caso de convergencia, calcular su valor. Solución: Tomando c tal que 1 < c < 2, se tiene Z 2 Z 2 3 h(x − 1)2/3 i2 = 3 h1 − (c − 1)2/3 i dx −1/3 = ( x − 1) dx = 1/3 c 2 2 c (x − 1) c Al ser lim (c − 1)2/3 = 0 c → 1+ tenemos Z 2 Z 2 3 h1 − (c − 1)2/3 i = 3 dx dx = lim = lim 1 / 3 + 1 / 3 + c→1 2 →1 2 1 (x − 1) c (x − 1) Por tanto, la integral impropia es convergente y su valor es Z 2 dx = 32 . 1 (x − 1)1/3 Ejercicio 4:

Estudiar si es convergente la integral Z +∞

dx

. x −∞ 1 + e Solución: Primero descomponemos la integral en suma de dos integrales, que estudiaremos separadamente: Z +∞

=

Z 0

+

Z +∞

dx = I1 + I2 . 1 + ex −∞ −∞ 0 Para estudiar si I1 converge, aplicaremos el criterio del cociente con la función g(x) = 1: 1 1 =1 1+e lim −∞ 1 + ex x → −∞ 1 = x →lim dx 1 + ex

dx 1 + ex

x

R

0 Por el criterio del cociente, I1 converge si y sólo si −∞ 1 dx converge. Pero R0 −∞ 1 dx es divergente. Por tanto, I1 también es divergente. Así pues, ya podemos concluir que Z +∞ −∞

dx

1 + ex 2

es divergente.

Ejercicio 5:

Estudiar si es convergente de la integral

Z =

I

Solución:

fi

Podemos calcular el valor de la integral usando la de nición de

integral de primera especie:

Z =

I

∞

3

=

x · ln x dx = · 2 x

lim

x · ln x dx.

3

2

lim

x · ln x dx =

M →∞ 3 ¸M

· (ln x − 21)

· =

3

lim

M2 2

M →∞

lim

· 2 x

M →∞

2

· ln x −

x2 4

¸M 3

=

· (ln M − 21 ) − 29 · (ln 3 − 1 )

w w w .a pr en de s. co m

M →∞

M

Z

2

¸ =

Por tanto, la integral es divergente.

También podríamos estudiar si la integral del enunciado es convergente me-

diante el criterio del cociente, comparando con la función

lim

R∞

Como

3

x→∞

g(x) dx =

mos que la integral

R∞ 3

x · ln x x

x dx

= lim ln x = x→∞

g ( x) = x:

∞.

es divergente, por el criterio del cociente sabe-

Z

∞

3

x · ln x dx

también diverge.

Ejercicio 6:

Estudiar si es convergente la integral

Z 1 0

Solución:

x = 0,

dx √4 . 3 x + x2 + x

El polinomio del denominador,

x3 + x2 + x, se

anula sólo cuando

luego se trata de una integral impropia de segunda especie. Observamos

que

1

1

√ ≤ 3/4 4 3 x + x2 + x x

Sabemos que la integral

Z 1 0

para

0

< x ≤ 1.

dx x3/4

es convergente. Por el teorema de mayoración y minoración, concluimos que la integral

Z 1 0

dx √ 4 3 x + x2 + x

es también convergente.

3

∞

Funciones de Euler: Gamma y Beta

R

Ejercicio 7:

Demostrar que la función Γ, definida por Γ(p) = 0∞ xp−1 e−x dx, es convergente si p > 0. R Solución: La integral Γ(p) = 0∞ xp−1 e−x dx es una integral impropia de tercera especie, ya que el intervalo de integración es de amplitud infinita, y la función que se integra no está acotada en x = 0. Por tanto, descomponemos la integral en suma de dos: ·

Z

Γ(p) =

∞

0

xp−1 · e−x dx =

Z

a

0

xp−1 · e−x dx +

Z

∞ a

xp−1 · e−x dx = I1 + I2 ,

donde a es un punto cualquiera del intervalo (0, ∞).

w w w .a pr en de s. co m

I1 es una integral impropia de segunda especie, con un solo punto de impropiedad en x = 0. Aplicaremos el criterio del cociente con g(x) = x11 : lim

xp−1 · e−x

1

x → 0+

x1−p

=

lim

x → 0+

xp−1 ·e−x ·x1−p

=

lim

x → 0+

xp−1+1−p ·e−x

=

−p

lim

x → 0+

e−x

= 1.

Por el critRerio del cociente, I1 converge si lo hace R0a x11 dx. Sabemos que la integral 0a x11 dx es convergente si 1 − p < 1. Por tanto, I1 es convergente si 1 − p < 1, es decir, si p > 0. −p

−p

Por otro lado, I2 es una integral impropia de primera especie. Aplicaremos el criterio de cociente con g(x) = x12 : lim

x→∞

xp−1 · e−x

1 x2

= lim

x→∞

xp−1 · e−x · x2

xp+1 x → ∞ ex

= lim

=0

para todo p.

R

Sabemos que la integral a∞ x1 dx es convergente. Por el criterio del cociente, deducimos que la integral I2 es convergente para toda p. I1

e I2 convergen simultáneamente si p > 0. Por consiguiente, Z

Γ(p) =

∞

0

xp−1 · e−x dx

es convergente si p > 0. Ejercicio 8:

Calcular la integral Z 1

0

Solución:

xn (ln x)m dx.

Aplicamos el cambio de variable x = e−t

dx = −e−t dt.

⇒

4

Calculamos los extremos del nuevo intervalo de integración: x = 0 ⇒ t = ∞, x = 1 ⇒ t = 0. Sustituyendo, obtenemos: Z0 Z∞ I= (e−t )n (ln(e−t ))m (−e−t) dt = e−tn (−t)m e−t dt = 0 ∞ Z∞ = (−1)m e−t(n+1) tm dt 0 Aplicamos un nuevo cambio de variable: 1 dz t(n + 1) = z ⇒ dt = n+1 Los extremos del intervalo de integración no varían. Sustituyendo, obtenemos: Z∞ Z∞ 1 ( −1)m z m m −z I= z m e−z dz = (−1) e ( n + 1 ) n + 1 dz = (n + 1)m+1 0 0 m (−1)m m ! Γ(m + 1) = = (n(+−1) m +1 1) (n + 1)m+1 Por tanto, Z1 (−1)m m ! I= xn (ln x)m dx = (n + 1)m+1 . 0 ·

·

·

·

w w w .a pr en de s. co m

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Ejercicio 9: Demostrar que la función β, definida por β (p, q) = x)q−1 dx, es convergente si p > 0 y q > 0. Solución: La integral Z1 β (p, q ) = xp−1 (1 − x)q−1 dx

R1

p−1 0 x (1 −

·

0

es una integral de segunda especie, ya que la función que se integra no está acotada en x = 0 (si p < 1) ni en x = 1 (si q < 1). Por tanto, descomponemos la integral en suma de dos: Z1 Za Z1 β (p, q ) = xp−1 (1−x)q−1 dx = xp−1 (1−x)q−1 dx+ xp−1 (1−x)q−1 dx = I1 +I2 , ·

0

·

0

·

a

donde a es un punto cualquiera de (0, 1). I1 es una integral impropia de segunda especie con un solo punto de impropiedad, en x = 0. Aplicamos el criterio del cociente con g(x) = x11 : p−1 q−1 lim x (1 − x) = lim xp−1 (1 − x)q−1 x1−p = lim (1 − x)q−1 = 1. −p

x → 0+

·

1

x1−p

x → 0+

·

·

5

x → 0+

R

Por el criterio Rdela cociente, I1 es convergente sólo si lo es 0a x11 dx lo es. Sabemos que 0 x11 dx es convergente si 1 − p < 1, es decir, si p > 0. Por tanto, I1 es convergente si p > 0 (para cualquier valor de q). −p

−p

I2 es una integral impropia de segunda especie con un solo punto de impropiedad, en x = 1. Aplicamos el criterio del cociente con h(x) = (1−x1)1 : −q

lim x→1

xp−1 · (1 − x)q−1

1 (1−x)1−q

xp−1

= x→ lim1

· (1 − x)q−1 · (1 − x)1−q = x → liml

xp−1 = 1.

R

Por el criterio del cociente, I2 es convergente sólo si lo es a1 (1−x1)1 dx lo es. R Sabemos que a1 (1−x1)1 dx es convergente si 1 − q < 1, es decir, si q > 0. Por tanto, I2 es convergente si q > 0 (para cualquier valor de p). −q

w w w .a pr en de s. co m

−q

I1 e I2 convergen simultáneamente si p > 0 y q > 0. Por consiguiente, la integral Z 1 β (p, q ) = xp−1 · (1 − x)q−1 dx 0 es convergente si p > 0 y q > 0.

Ejercicio 10:

Calcular la integral I

=

Z

π/2

0

(sin x)4 · (cos x)5 dx.

Solución:

I

=

donde p y q cumplen: Por tanto, I

Z

0

(sin x)4 · (cos x)5 dx = 21 · β (p, q),

π/2

2p − 1 = 4 2q − 1 = 5

⇒

⇒

5 2 q = 3. p=

5 1 3 1 = 12 · β ( 52 , 3) = 21 · Γ(2 ) ·11Γ)(3) = 12 · 9 27 · 52 · Γ3 ( 21) · 2! 1 ) = 24 . 945 Γ( 2 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · Γ( 2

6...