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Knot Sydsaeter Prentice Hall Peter J. Hammond http://libreria-universitaria.blogspot.com ^üWîIü 11u Ò K3. M o3 iö$' <5 v /J j ilillll MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Knut!Sydsaeter Peter Hammond University o f Oslo Stanford University Traducción: Manuel Jesús Soto Prieto José Luis Vice...

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Knot Sydsaeter Felipe Gaete

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Prentice Hall

Knot Sydsaeter Peter J. Hammond http://libreria-universitaria.blogspot.com

^üWîIü

M o3 iö$'

11u

Ò K3. es una flecha de implicación, y apunta a la dirección de la implicación lógica. Damos algunos ejemplos de implicaciones verdaderas.

Sec. 1.5 / Algunos aspectos de lógica

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Ejem plo 1.7 (a) x > 2 ==> x 2 > 4. (b) x y = 0 ==> x = 0 ó y — 0. (c) x es un cuadrado = > x es un rectángulo. (d) x es una persona sana ==> x

respira.

Nótese que la palabra “o” significa en matemáticas el “o inclusivo”, lo que quiere decir que “P ó Q ” significa “o P , o Q, o ambas”. Todas las proposiciones del ejemplo 1.7 son proposiciones abiertas, como la mayoría de las que encontramos en matemáticas. Una implicación P = > Q significa que, para cada valor de una variable para el que P es verdadera, Q lo es también. En algunos casos en que la implicación (*) es válida, puede deducirse la conclusión lógica en la otra dirección: Q ^ P En estos casos, podemos escribir ambas implicaciones juntas en una única equivalencia lógica:

P P . El símbolo es una flecha de equivalencia. En el ejemplo 1.7 anterior vemos que se puede sustituir la implicación de (b) por una equivalencia, porque también es cierto que x = 0 ó y = 0 implica x y = 0. Nótese que no se puede sustituir ninguna otra implicación de ese ejemplo por una equivalencia. En efecto, de que x 2 sea mayor que 4 no se deduce que x sea mayor que 2 (por ejemplo x = —3). Asimismo, un rectángulo no tiene por qué ser un cuadrado. Finalmente, el hecho de que una persona x respire no significa que esté sana.

Condiciones necesarias y suficientes Hay otras maneras que se usan frecuentemente para expresar que la proposición P implica la pro­ posición Q, o que P es equivalente a Q. Así, si P implica Q, decimos que P es una “condición suficiente” para Q. Después de todo, para que Q sea verdadera, es suficiente que P lo sea. De manera análoga, sabemos que si P se verifica, entonces es cierto que Q también se verifica. En este caso decimos que Q es una “condición necesaria” para P . De hecho, Q debe ser necesariamente cierta si P lo es. Por tanto,

P es una condición suficiente para Q significa: P = > Q Q es una condición necesaria para P significa: P = > Q

Por ejemplo, si formulamos la implicación del ejemplo 1.7 (c) en este lenguaje, se tendría: Una condición necesaria para que x sea un cuadrado es que x sea un rectángulo. o Una condición suficiente para que x sea un rectángulo es que x sea un cuadrado. La expresión verbal correspondiente a P Q es: P es una condición necesaria y suficiente para Q, o P si y sólo si Q. De lo anterior resulta evidente que es muy importante distinguir entre las pro­

Capítulo 1 / Introducción posiciones “P es una condición necesaria para Q " (que significa Q =>■ P ) y “P es una condición suficiente para Q ” (que significa P = > Q ). Para poner de relieve la cuestión, considérense las dos proposiciones siguientes: 1. Respirar es una condición necesaria para que una persona esté sana. 2. Respirar es una condición suficiente para que una persona esté sana. Evidentemente la proposición 1 es cierta. En cambio, la 2 es falsa porque un enfermo (vivo) respira. En las páginas siguientes incluiremos una y otra vez condiciones necesarias y suficientes. El enten­ derlas y entender las diferencias entre ellas es una condición necesaria para comprender el análisis económico. Desgraciadamente no es una condición suficiente.

Resolución de ecuaciones Damos ahora unos ejemplos de cómo el uso de flechas de implicación y equivalencia puede ayudar a evitar errores al resolver ecuaciones como la del ejemplo 1.6. Ejem plo 1.8 Hallar todos los x tales que (2x — l )2 — 3x2 = 2 (^ — 4 x). Solución: Desarrollando ambos miembros obtenemos una nueva ecuación que tiene, evidente­ mente, las mismas soluciones que la dada: (2x - l )2 - 3 x 2 = 2 ( ¡ - 4 x)

4 x 2 — 4 x + 1 — 3 x 2 = 1 - 8x

Sumando 8x — 1 a ambos lados de la segunda igualdad obtiene la expresión equivalente

y reduciendo términossemejantesse

4 x 2 — 4 x + 1 — 3 x 2 = 1 — 8x x 2 + 4 x = 0 Ahora bien, x 2 + 4 x = x ( x + 4), y el segundo miembro es 0 si y sólo s i x = 0 ó x + 4 = 0. Esto es, x 2 + 4 x = 0 x ( x + 4) = 0 x = 0

ó

x +4 = 0

x =0

ó

x — —4

Resumiendo, hemos construido una cadena de equivalencias que prueba que la ecuación dada se satisface para los dos valores i = 0 y x = —4, y sólo para ellos. Esto es, (2x — l )2 — 3 x 2 = 2 ( - — 4x)

x = 0

ó

x — —4

Ejem plo 1.9 Hallar todos los x tales que x + 2 = \/4 — x (véase Ejemplo 1.6). Solución: Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación se obtiene (x + 2 )2 = ( \/4 - x ) 2 Consecuentemente, x 2 + 4 x + 4 = 4 — x , esto es, x 2 + 5 x — 0. De la última ecuación se deduce que x ( x + 5) = 0 lo que implica que x = 0 ó x — —5. Así, una condición necesaria para que x sea una raíz de x + 2 = V * — x es que x = 0 ó x = —5. Sustituyendo x en la ecuación dada por cada uno de los dos valores posibles se ve que sólo x = 0 verifica la ecuación. Así la ecuación tiene una única solución, que es x = 0.

Sec. 1.5/Algunos aspectos de lógica

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Al buscar la solución al Ejemplo 1.9, ¿por qué era necesario comprobar si los valores que hallá­ bamos daban soluciones, mientras que este paso no era necesario en el Ejemplo 1.8? Para responder a esto debemos analizar la estructura lógica de nuestra solución al Ejemplo 1.9. Ayudándonos con flechas numeradas de implicación y equivalencia, podemos expresar la solución anterior así: /---------

0)

,

(2)

,

x + 2 = \/4 —x = >

(x + 2) = 4 — x = > x + 4x + 4

=>

^ n (5) x (x + 5) = 0 = > x = 0 ó x = —5

(3)

,

= 4 — x ==> x + 5x = 0

La implicación (1) es cierta (porque a — b = > a2 — b1 y { \ / a ) 2 = a). Es importante observar que no se puede sustituir esta implicación por una equivalencia. Si a2 = b2 entonces, bien a = b ó a = —b\ no es necesariamente cierto que a = b. Las implicaciones (2), (3), (4) y (5) son también ciertas; más aún, todas ellas son equivalencias, aunque esto no sea necesario para hallar la solución. Hemos obtenido, por tanto, una cadena de implicaciones que van de la ecuación x + 2 = \/4 — x a la proposición “x — 0 ó x = —5”. Puesto que la implicación (1) no se puede invertir, no hay una cadena de implicaciones en la dirección opuesta. Así hemos comprobado que si el número x verifica x + 2 = \ / 4 — x, entonces x debe ser 0 ó —5; ningún otro valor puede verificar la ecuación dada. Sin embargo, aún no hemos probado que 0 ó —5 verifiquen realmente la ecuación. Hasta que no sustituyamos, en la ecuación, x por 0 y —5, no podremos ver que solamente x = 0 es una solución. Nótese que, en este caso, el test que hemos propuesto no sólo sirve para comprobar nuestros cálculos, sino también su necesidad lógica, Volviendo al Ejemplo 1.6, vemos ahora que cometimos dos errores. En primer lugar, la impli­ cación x 2 + 5x = 0 = > x + 5 = 0 e s falsa porque x = 0 es también una solución de x 2 + 5x = 0. En segundo lugar, es lógicamente necesario comprobar si 0 ó —5 verifican realmente la ecuación. El método que hemos usado para resolver el Ejemplo 1.9 es el más común. Se establece una cadena de implicaciones que comienza en la ecuación dada y acaba en un conjunto de soluciones posibles de ella. Comprobando cada úna de estas soluciones encontramos cuáles verifican realmente la ecuación. Aun si la cadena de implicaciones es una cadena de equivalencias (como en el Ejem­ plo 1.8), esta comprobación es un test útil de la validez, no sólo de los cálculos, sino de la lógica.

Problemas 1 Las implicaciones y equivalencias se pueden expresar de formas que difieren de las ya mencionadas. Usar flechas de implicación o equivalencia para marcar en qué dirección cree el lector que van las conclusiones lógicas en las siguientes proposiciones: (a) La ecuación 2x — 4 = 2 se verifica sólo cuando x = 3. (b) Si x = 3, entonces 2x — 4 = 2. (c) La ecuación x 1 — 2x + 1 = 0 se satisface si x = 1. (d) Si x 2 > 4, entonces x > 2 ó x < —2 y recíprocamente. 2 Considérense las seis implicaciones siguientes y decídase en cada caso: (i) si la implicación es cierta y (ii) si la implicación contraria es cierta, (x, y, z son números reales.) (a) (c) (e)

x = 2 e y = 5 => x + y = 7 x 2 + y 2 = 0 ==> x = 0 ó y = 0 x y = x z ==> y — z

(b) (d) (f)

(x — l)(a; — 2)(x — 3) = 0 = > x = 1 x = 0 e y = 0 = > x 2 + y2 = 0 x > y2 = > x > 0

3 Considérese la proposición 2x + 5 > 13. (a) ¿Es x > 0 una condición necesaria, suficiente, o necesaria y suficiente para que la proposición sea cierta?

Capítulo 1 / Introducción (b) Responder a la misma pregunta cuando se sustituye x > 0 por x > 50. (c) Responder a la misma pregunta cuando se sustituye x > 0 por x > 4.

4 Resolver la ecuación

(x + l )2 (x — l )2 3x + 1 + ----- —— 2—--- r = 0 x (x — 1) x (x + 1) x2 —1

5 Resolver las siguientes ecuaciones: (a) x + 2 = y/4x + 13

(b) \x + 2\ = \/4 — x

(c) x 2 — 2\x\ —3 = 0

6 Resolver las siguientes ecuaciones: (a) y/x — 4 = \ / x + 5 —9

(b) \Ae —4 = 9 — %/a; + 5

7 Rellenar las casillas con “si y sólo si” cuando el resultado sea un enunciado cierto o, en otro caso, con “si” o “sólo si.” (a) x = \[4

8

x =2

(b) x 2 > 0

x > 0

(c) x 1 < 9

x —3

Considérese el siguiente intento de resolver la ecuación x + \Jx + 4 = 2:

“De la ecuación dada se deduce que y/x + 4 = 2 — x. Elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene £ + 4 = 4 —4x + x 2. Después de simplificar se ve que esta ecuación implica que x 2 — 5x — 0. Cancelando x, obtenemos x - 5 = 0 y esta ecuación se verifica cuando x = 5.” (a) Escribir en forma de flechas las implicaciones o equivalencias del razonamiento anterior. ¿Cuáles son correctas? (b) Resolver correctamente la ecuación. 9

Enunciar la negación de cada una de las 6 proposiciones siguientes, de la forma más simple posible. (a) x > 0 e y > 0. (b) Todo x verifica x > a. (c) Ni x ni y es menor que 5. (d) Para cada e > 0, existe un 5 > 0 tal que se verifica B. (e) Nadie puede evitar que le gusten los gatos. (f)

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Cada uno ama a alguien algunas veces.

“El Tribunal Supremo no admite a trámite el recurso a una decisión de un tribunal inferior, en la que se aprueba el rechazo de un juez a permitir que un acusado se niegue a hablar”. ¿Tiene el acusado derecho a negarse a hablar?

Sec. 1 .6 /Demostración matemática

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1.6 DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA En ciencia, lo que se puede probar no debe ser creído sin demostración.4 —R.Dedekind (1887) Los resultados más importantes de cualquier rama de las matemáticas se llaman teoremas. La cons­ trucción de demostraciones lógicamente válidas de estos resultados puede ser, a menudo, complicada. Por ejemplo, el “Teorema de los cuatro colores” dice que cualquier mapa plano puede ser coloreado con cuatro colores, a lo más, de tal manera que regiones contiguas tengan colores distintos. La demostración necesita la comprobación de cientos de millares de casos distintos, una tarea que sólo es posible con la ayuda de un complicado programa de computador. En este libro omitimos a menudo las demostraciones formales de los teoremas. En su lugar ponemos el énfasis en indicar cómo se puede captar de forma intuitiva lo que los teoremas nos dicen. Sin embargo, aunque las demostraciones no constituyen una parte importante de este libro, es útil entender algo sobre los distintos tipos de demostración que se usan en matemáticas. De hecho, una demostración que es legible se basa, hasta cierto punto, en la intuición del lector. Aunque muchos lógicos matemáticos se toman la molestia de escribir cada paso y cada razonamiento (y esto puede ser una técnica necesaria para programar computadores para que comprueben demostraciones) el resultado suele ser algo ilegible para la mayoría de la gente. Todo teorema matemático se puede formular como una implicación P=>Q

(*)

donde P representa una o varias proposiciones, llamadas premisas (“lo que sabemos”), Q representa una o varias proposiciones que se llaman las conclusiones (“lo que queremos saber”). Se puede considerar a un enunciado de la forma P Q como dos teoremas. Normalmente es más natural demostrar un resultado del tipo (*) empezando en las premisas P y procediendo sucesivamente hasta la conclusión Q. Esta técnica se llama una demostración directa. Sin embargo, a veces hay que dar una demostración indirecta de la implicación P ==>- Q. En este caso partimos de que Q no es cierta y, sobre esta base, probamos que P tampoco puede ser cierta. Esto es absolutamente legítimo porque se tiene la siguiente equivalencia:

P ==>- Q

es equivalente a

no Q = > no P

( 1.6 )

Es útil ver cómo esta regla de la lógica se aplica a algunos ejemplos concretos: Si llueve, la hierba se moja afirma exactamente lo mismo que Si la hierba no se moja, entonces no llueve. Si T designa a un triángulo, entonces La igualdad de ángulos en la base de T implica que T es isósceles afirma exactamente lo mismo que Si T no es isósceles, entonces sus ángulos en la base son distintos. Hay un tercer método de demostración que es útil a veces. Se llama demostración por contra­ dicción. Se basa en un principio lógico fundamental: es imposible que una cadena de inferencias válidas vaya de una proposición verdadera a una falsa. Por tanto, si tenemos una proposición R 4 Damos la frase original en alemán: “Was beweisbar ist, solí in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt wertfen.”

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Capítulo 1 / Introducción y deducimos una contradicción de la suposición de que R sea falsa, se deduce que R debe ser verdadera. Ejemplo 1.10 Usar tres métodos distintos para probar que —x 2 + 5x — 4 > 0 =$■ x > 0 Solución: (a) Demostración directa: Supongamos que —x 2 + 5x — 4 > 0. Sumando x 2 + 4 a cada miembro de la desigualdad se tiene 5x > x 2 + 4. Puesto que x 2 + 4 > 4, para todo x, tenemos que 5 x > 4, y así x > 4 /5 . En particular, x > 0. (b) Demostración indirecta: Supongamos que x < 0. Entonces 5 x < 0 y así —x 2 + 5 x — 4 es < 0 por ser la suma de tres números no positivos. (c) Demostración por contradicción: Supongamos que el enunciado no es cierto. Entonces tiene que existir un x tal que —x 2 -\- 5 x — 4 > O y x < 0. Pero si x < 0, entonces —x 2 + 5x — 4 < —x 2 — 4 < —4, y así hemos llegado a una contradicción.

Razonamientos deductivo e inductivo Los tres métodos de demostración que acabamos de describir someramente son ejemplos de razona­ miento deductivo, esto es, razonamiento basado en reglas lógicas. Por otra parte, muchas ramas de la ciencia usan razonamiento inductivo. Este tipo de proceso saca conclusiones generales basándose sólo en unas pocas (o muchas) observaciones. Por ejemplo, la afirmación de que “el índice de precios ha aumentado cada año durante los últimos n años; por tanto aumentará el año próximo también” muestra un razonamiento inductivo. Los propietarios de casas en California saben lo peligroso que este razonamiento puede llegar a ser en economía. Este proceso inductivo es, no obstante, de una importancia fundamental en las ciencias experimentales y empíricas, a pesar de que nunca se puedan considerar como absolutamente ciertas las conclusiones a que se llega. El razonamiento inductivo no se considera una forma de demostración matemática. Supon­ gamos, por ejemplo, que se pide a estudiantes de un curso de geometría probar que la suma de los ángulos de un triángulo vale 180 grados. Si miden fatigosamente, lo más exactamenteposible, 1.000 (o incluso un millón) de triángulos distintos, probando en cada caso que la suma de los ángulos es 180, ¿no serviría esto como demostración? No. Aunque estas medidas representarían una buena indicación de que la proposición es cierta, no constituyen una demostración matemática. Análogamente, en economía de la empresa, el hecho de que los beneficios de una compañía hayan crecido durante los últimos 20 años no es garantía de que crecerán el presente año. No obstante, hay una forma matemática de inducción que se usa bastante para crear demostra­ ciones válidas. Se expone en la Sección B.5 del Apéndice B.

Problemas 1 Considerar el siguiente enunciado (dudoso): “Si la inflación crece, el paro disminuye”. ¿Cuáles de los enunciados siguientes son equivalentes a él? (a) Para que disminuya el paro, la inflación debe crecer. (b) Una condición suficiente para que disminuya el paro es que la inflación crezca. (c) El paro disminuye solamente si la inflación crece. (d) Si el paro no disminuye, la inflación no crece.

Sec. 1.7 / Teoría de conjuntos

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(e) Una condición necesaria para que crezca la inflación es que el paro disminuya. 2 Analizar el siguiente epitafio: (a) usando la lógica y (b) desde un punto de vista poético. Los que lo conocieron lo amaron. Los que no lo amaron no lo conocieron. 3 Dar los detalles de la siguiente demostración de que y/2 is irracional. Supongamos que \[2 = p/q , donde p y q son enteros primos entre sí. Entonces p2 = 2q2, lo que significaría que p 2, y por tanto p, serían divisibles por 2. Así, p = 2s para un entero s, luego 4s2 = 2q2. Por tanto, q2 = 2s2. De aquí se sigue que q sería también divisible por 2, lo que contradice la hipótesis de que p y q son primos entre sí.

1.7 TEORÍA DE CONJUNTOS Si sabes teoría de conjuntos hasta el fondo, y nada más de matemáticas, no sirves de nada a nadie. Si supieras muchas matemáticas, pero nada de teoría de conjuntos, podrías conseguir mucho. Pero si supieras un poco de teoría de conjuntos, tendrías una comprensión mucho mayor del lenguaje de las matemáticas. — I. Stewart (1975) En la vida diaria agrupamos continuamente objetos de la misma naturaleza. Por ejemplo, nos refe­ rimos al profesorado universitario significando todo el personal académico de la universidad. Un jardín significa todas las plantas que crecen en él. Hablamos de todas las empresas con más de 1.000 empleados, de todos los contribuyentes de Los Ángeles que ganaron entre 50.000 y 100.000 dólares en 1992, y así sucesivamente. En todos estos casos tenemos una colección de objetos que se ve como una globalidad. En matemáticas, una tal colección se llama un conjunto, y los objetos se llaman sus elementos o miembros. ¿Cómo se define un conjunto? La manera más sencilla es dar una lista de sus elementos, en cualquier orden, entre las dos llaves { y }. Un ejemplo de conjunto es S = {a, b, c} cuyos elementos son las tres primeras letras del alfabeto de la mayoría de las lenguas de origen europeo. O bien podría tratarse de un conjunto con tres elementos representados por las letras a, b, c. Por ejemplo, si a = 0, b = 1 y c = 2, entonces S = { 0 ,1 ,2 }. También S designa al conjunto de las raíces de la ecuación cúbica (.x — a) ( x — b)(x — c) = 0 en la incógnita x, donde a, b y c son tres números reales cualesquiera. De otra forma, supongamos que el lector come en un restaurante que ofrece varias alternativas para el plato fuerte. Podrían ser cuatro: pescado, pasta, tortilla y pollo. Entonces el conjunto de las posibilidades, E , tiene estos cuatro elementos y está completamente definido por E = {pescado, pasta, tortilla, pollo} Nótese que el orden en la lista de los platos no importa. El conjunto de posibilidades es el mismo, aun cuando se cambie el orden de los elementos del menú. Se considera que dos conjuntos A y B son iguales si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B ...